MODELIROVANIE_metodichka

В ходе однофакторного эксперимента независимую пере- менную x (вид муки) варьировали на трех уровнях (табл.3). В ка- честве функции отклика y приняли предел прочности макаронно- го теста при растяжении (кПа). При каждом уровне варьирования фактора опыты проводили в пятикратной последовательности.

Выполнить статистическую обработку результатов одно- факторного дисперсионного анализа.

Контрольные вопросы

1.Каким условиям должны удовлетворять результаты на-

блюдений случайной величины для проведения дисперсионного анализа?

2.Как формируется матрица наблюдений для проведения однофакторного дисперсионного анализа?

3.В чем заключается основная идея однофакторного дис- персионного анализа?

4.Каким образом устанавливают степень влияния контро- лируемого фактора на изучаемый процесс?

5.Какого типа практические задачи обычно решают мето- дом однофакторного дисперсионного анализа?

6.Влияет ли изменение диапазона варьирования изучаемо- го фактора на результаты однофакторного дисперсионного ана- лиза?

7.Из каких составляющих складывается оценка «общей» дисперсии случайной величины?

8.Какой статистический критерий используют для оценки влияния факторов на изучаемый технологический процесс?

32

Практическая работа № 5 МНОГОФАКТОРНЫЙ ЛИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

Цель работы: 1) ознакомить с методом многофакторного дисперсионного анализа; 2) овладеть практическими навыками

анализа технологических процессов методом многофакторного дисперсионного анализа.

Рекомендуемая литература: [4, 8, 11, 12].

Теоретические сведения

Реальные технологические процессы пищевых производств протекают в условиях воздействия двух и более факторов, влия- ние которых, в ряде случаев, приводит к нестабильности протека- ния технологического процесса.

Пусть в предыдущем примере с анализом влияния квали- фикации оператора (фактора х1) на влажность продукта все пока- зания снимались в различное время суток (в первой, второй и третьей смене – фактор х2). В этом случае требуется выяснить, обусловливается ли рассеивание полученных значений влажно- сти продукта и их средних значений в группах различием в ква- лификациях операторов (фактора х1) или различием между вре- менем суток (фактор х2).

Рассмотренные и аналогичные задачи могут быть решены также с применением методов дисперсионного анализа.

Задача многофакторного дисперсионного анализа (МДА) формулируется следующим образом (на примере задачи с двумя факторами). Пусть изучается влияние на технологический про- цесс двух одновременно действующих факторов х1 и х2. Предста- вим в табл. 1 результаты эксперимента, состоящего из M = u1u2m

наблюдений yjgl, где j – порядковый номер уровня варьирования фактора х1 (j = 1, 2,…, u1); g – порядковый номер уровня варьиро- вания фактора х2 (g = 1, 2,…, u2); l – порядковый номер парал- лельного опыта в серии на каждом jg-ом сочетании уровней двух факторов (l = 1, 2, ..., mjg).

41

При указанном расположении наблюдений их рассеяние в каждой серии относительно среднего той же серии обусловлено действием только случайных причин. Рассеяние самих средних в сериях по всем возможным сочетаниям уровней х1 и х2 вокруг общего среднего помимо фактора случайности вызывается влия- нием фактора взаимодействия х1х2.

42

Кроме этих факторов на рассеяние средних по строкам ока- зывает влияние только один фактор х1, а на рассеяние средних по столбцам – только один фактор х2, так как все уровни другого фактора в каждом из этих случаев осреднены.

Таким образом имеем равенство

j=1 g=1 l=1

сумму квадратов итогов (сумм) по строкам, деленную на число наблюдений в строке,

43

сумму квадратов итогов (сумм) по столбцам, деленную на число наблюдений в столбце,

сумму квадратов итогов (сумм) по сериям, деленную на число наблюдений в серии,

квадрат общего итога (суммы), деленный на число всех наблюде- ний,

«Общая» сумма квадратов, характеризующая рассеяние от- дельных наблюдений y jgl в общей совокупности за счет влияния

всех факторов

Сумма квадратов отклонений «внутри серий», характери- зующая рассеивание отдельных наблюдений y jgl в сериях толь-

ко за счет влияния фактора случайности, так как на протяжении серии факторы х1 и х2 остаются неизменными

44

Сумма квадратов отклонений «между строками». Сумма S x1 (u2 m) характеризует рассеяние средних по строкам в ре-

зультате действия фактора случайности, фактора х1 и фактора

взаимодействия

Сумма квадратов отклонений «между столбцами». Сумма S x2 (u1m) характеризует рассеяние средних по столбцам в ре-

зультате действия фактора случайности, фактора х2 и фактора

взаимодействия

действия фактора случайности и фактора взаимодействия.

оценку соответствующей дисперсии, входящей в формулу (1): оценка «общей» дисперсии по всем M = u1u2m наблюдениям

оценка дисперсии рассеивания «внутри серий», или оценка оста-

точной дисперсии

45

Правильность подсчета числа степеней свободы проверяют

с помощью соотношения f0 = fε + f x1 + f x2 + f x1x2 .

Анализ существенности влияния факторов х1, х2 и их взаи- модействия х1х2 производят на основании критерия Фишера при выбранном уровне значимости p.

Для оценки существенности влияния каждого фактора в отдельности рассчитывают соответствующие значения критериев Фишера:

46

Если выполняется условие Fр > Fт, то влияние фактора на изучаемый процесс признают существенным.

Для оценки существенности влияния взаимодействия х1х2 рассчитывают значение критерия Фишера:

S 2

Fр12 = x1х2 . (19)

Sε2

Влияние взаимодействия х1х2 на изучаемый процесс при- знают существенным, если выполняется условие Fр > Fт.

Пример

Смешивание сыпучих и жидких рецептурных компонентов в порошковой технологии помадных конфет является одним из основных технологических процессов. Характеристикой процесса смешивания помадной массы является энергоемкость процесса, т. е. величина удельной работы смешивания. Значение последней, как известно, зависит от рецептурного состава помадной массы, конструкции камеры смешивания, конфигурации месильных ор- ганов и их частоты вращения.

Предварительные эксперименты показали, что при перио- дическом смешивании помадной массы величина затрат механи-

ческой энергии значительно изменяется при изменении условий дозирования – способа и последовательности подачи жидких и сыпучих рецептурных компонентов в смеситель.

Однако предварительные эксперименты не позволили од- нозначно сказать, что является причинами значительной неста- бильности удельной работы смешивания – неконтролируемые изменения технологических параметров смешивания, случайные ошибки измерений или изменения условий дозирования рецеп- турных компонентов.

47

Всвязи с этим были проведены дополнительные экспери- менты, в ходе которых периодическим способом путем смешива- ния жидких и сыпучих компонентов в универсальной смеситель- но-формующей машине (УСФУ) готовили помадную массу на основе порошкообразного сахаропаточного полуфабриката.

Вкачестве переменных, влияющих на энергоемкость про- цесса смешивания были приняты: способ дозирования сыпучих компонентов (х1), способ дозирования жидких компонентов (х2).

Вкачестве выходной величины использовали удельную работу смешивания y (кДж/кг).

Помадную массу с массовой долей влаги 9 % готовили в

УСФУ в течение 10 мин при частоте вращения месильных орга- нов 100 мин-1. Каждый из факторов варьировался на двух уров- нях: уровень 1 – мгновенное внесение всего заданного количества твердой (жидкой) фазы; уровень 2 – дозирование всего заданного количества твердой (жидкой) фазы в течение продолжительности смешивания (10 мин). В ходе смешивания рецептурных компо- нентов измеряли удельную мощность смешивания. По окончании смешивания определяли удельную работу смешивания. При каж-

дом сочетании уровней варьирования факторов было проведено по три параллельных опыта. В табл. 2 представлены значения удель- ной работы смешивания, полученные в параллельных опытах.

Статистическую обработку экспериментальных данных проведем с помощью метода многофакторного дисперсионного анализа (МДА).

48

Для этого по формулам (2) определяем сумму Yj по строкам для каждого уровня фактора х1.

Для уровня j = 1

2 3

Y1 =ååy1gl =740,2+742,0+744,9+628,7+630,0+636,6= 4122,4 .

g=1 l=1

Для уровня j = 2

2 3

Y2 =ååy2gl =392,3+390,7+398,0+310,0+310,4+311,6=2113 .

g=1 l=1

Определяем сумму Yg′ по столбцам для каждого уровня

фактора х2.

Для уровня g = 1

j=1 g=1 l=1

Сумму квадратов итогов (сумм) по строкам, деленную на число наблюдений в строке, определяем по (4)

49