MODELIROVANIE_metodichka
.pdfх, с |
0 |
25 |
50 |
75 |
100 |
125 |
150 |
175 |
y, °С |
24,0 |
27,0 |
28,0 |
29,0 |
29,5 |
30,0 |
31,0 |
32,0. |
Вариант 8
Моделируются реологические свойства ржаной закваски. В качестве функции отклика y принята вязкость ржаной закваски y (Па×с), в качестве независимой переменной x – плотность заква- ски (кг/м3). Результаты даны ниже:
х, кг/м3 |
750 |
775 |
800 |
825 |
850 |
875 |
900 |
925 |
y, Па.с |
2,25 |
2,30 |
2,35 |
2,50 |
2,65 |
2,80 |
3,05 |
3,30. |
Вариант 9
Моделируются адгезионные свойства теста. В качестве функции отклика y принята адгезионная прочность теста (кПа); в качестве независимой переменной x – продолжительность обдув- ки теста воздухом (мин). Результаты опыта представлены ниже:
х, мин |
0,25 |
0,50 |
0,75 |
1,00 |
1,25 |
1,50 |
1,75 |
2,00 |
y, кПа |
3,0 |
3,2 |
3,6 |
4,0 |
4,2 |
4,5 |
4,9 |
5,1. |
Контрольные вопросы
1.Как вычисляют коэффициенты уравнения регрессии?
2.Как устанавливают адекватность уравнения регрессии?
3.В чем заключается сущность метода наименьших квадра-
тов?
4.Что показывает коэффициент парной корреляции и как он рассчитывается?
5.Что показывает остаточная дисперсия и как ее вычисля-
ют?
6.Что показывают коэффициенты, входящие в уравнение регрессии линейного вида?
160
Практическая работа № 17 РАСЧЕТ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ,
ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ ПО ЭКСПОНЕНТЕ
Цель работы: овладеть практическими навыками расчета предельных значений функций, изменяющихся по экспоненте.
Рекомендуемая литература: [1, 7, 9].
Теоретические сведения
При изучении процессов хлебопекарного, макаронного и кондитерского производств можно встретить величины, изме-
няющиеся по экспоненте (рис. 1). |
Такая |
величина |
имеет |
||||||
|
|
|
y |
||||||
|
|
|
|
|
|
начальное |
значение |
y0 |
при |
|
|
|
|
|
|
x = 0, предел (относительное |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
y протн или абсолютное y прабс |
пре- |
||
|
|
отн |
дельное значение), к которо- |
||||||
yпрабс yпр |
му величина y асимптотиче- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
ски стремится в бесконечно- |
|||
|
|
y0 |
сти при x = ∞ и имеет тен- |
||||||
|
|
денцию роста (или спада) с |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
х |
увеличением x, однако ясно, |
|||
|
|
|
|
|
|
что это изменение имеет зату- |
|||
|
|
Рис. 1. К расчету предельного |
хающий характер. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
значения |
Подобными экспонен- |
|||
|
|
|
|
|
|
циальными |
зависимостями |
||
описываются процессы релаксации напряжений в пищевых мас- сах, газообразования и кислотонакопления в тесте при брожении, сушки макаронных изделий, стркутурообразования конфетных масс при охлаждении и ряд других процессов.
Кривая, приведенная см. рис. 1, может быть аналитически
описана уравнением
y = y0 + yпротн (1 − e−bx ), |
(1) |
161
где y0 – значение функции y при x = 0; y отнпр – относительное пре-
дельное значение функции при x = ∞ ; b – коэффициент.
При построении математических моделей в виде уравне- ния (1) определенные сложности представляет вычисление отно- сительного предельного значения, что связано с отсутствием экс- периментальных данных в области x → ∞ , однако, используя методику парного регрессионного анализа, излагаемую ниже,
можно попытаться предсказать предельные значения изучаемых переменных.
Относительное предельное значение функции yотнпр находят
следующим образом. Финишные участки экспоненциальных за- висимостей (при x → ∞ ) хорошо аппроксимируются гиперболи-
ческой зависимостью вида
y − y0 |
= |
|
x |
|
, |
|
(2) |
||
a0 |
+ a1x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
где a0, a1 – некоторые коэффициенты. |
|
|
|
||||||
Разделив числитель |
и знаменатель правой части выраже- |
||||||||
ния (2) на x , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y − y0 = |
1 |
|
|
. |
(3) |
||||
a0 |
+ a |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||
x |
1 |
|
При x → ∞ кривая (см. рис. 1) стремится к асимптоте
и y − y0 → y отнпр :
y − y0 |
= |
|
1 |
→ yпротн = |
1 |
. |
(4) |
a0 |
|
|
|||||
|
|
+ a1 |
a |
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
||
x
162
|
Формулу |
(2) |
|
|
преобразуем |
следующим образом: |
|||||||||||||
|
a0 |
|
æ |
1 |
|
öæ |
|
x |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
֍ |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x = - a |
|
|
|
|
|
. Введем линеаризующую замену пере- |
|||||||||||||
+ ç a |
֍ y - y |
|
÷ |
||||||||||||||||
1 |
|
è 1 |
|
øè |
|
|
0 |
ø |
x |
|
|
a0 |
|
1 |
|
|
|||
менных: |
x' = x ; |
y' = |
|
|
|
; - |
= b' ; |
|
® y отн . В результате |
||||||||||
y - y |
|
a |
a |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
пр |
|||||
получим выражение |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x' = b' + yотн y' . |
(5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
пр |
|
|
|
|
|
Построив график зависимости по выражению (5) в коорди- |
||||||||||||||||||
натах x' - y' , |
определяют |
коэффициент |
y протн , входящий в это |
||||||||||||||||
уравнение как тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс.
Для нахождения коэффициента b , входящего в уравнение (1),
представим это уравнение в виде
|
|
|
|
|
|
yотн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пр |
|
= ebx . |
(6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
y0 + yпротн - y |
|
||
|
|
После |
логарифмирования |
уравнение (6) в |
координатах |
||||
é |
|
yпротн |
|
ù |
- x дает прямую линию, тангенс угла наклона |
||||
lnê |
|
|
|
ú |
|||||
y |
+ yотн |
- y |
|||||||
ë |
|
пр |
|
û |
|
|
|
|
|
ê 0 |
|
ú |
|
|
|
|
|
||
которой равен коэффициенту b .
Пример
Чтобы изучить зависимость плотности помадной массы y (кг/м3), приготовленной “холодным” способом, от избыточного давления x (МПа), провели эксперимент на цифровом структуро- метре, оснащенном цилиндром и поршнем. Результаты представ- лены ниже:
х, МПа |
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
y, кг/м3 |
1261,0 |
1283,1 |
1298,5 |
1308,0 |
1314,2 |
1318,1 |
1320,0 |
163
График на рис. 2 представляет собой экспоненциальную за- |
|||||||
висимость. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1320 |
|
|
|
|
|
|
|
кг/м3 |
|
|
|
|
|
|
|
1310 |
|
|
|
|
|
|
|
1300 |
|
|
|
|
|
|
|
1290 |
|
|
|
|
|
|
y |
1280 |
|
|
|
|
|
|
|
1270 |
|
|
|
|
|
|
|
1260 |
|
|
|
|
|
|
|
1250 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
МПа0,5 |
0,6 |
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
Рис. 2. Зависимость плотности помадной массы |
||||||
|
|
от избыточного давления |
|
|
|||
Для описания экспериментальных данных воспользуемся уравнением (1). Из графика (см. рис. 2) определяем плотность помадной массы при атмосферном давлении ( y0 = 1261 кг/м3). В
качестве финишного участка выбираем диапазон изменения дав- ления 0,45 – 0,6 МПа. Вычисляем значения линеаризованных пе-
ременных x' и y' (табл. 1).
|
Вычисление линеаризованных переменных |
|
Таблица 1 |
||||
|
|
|
|
||||
x |
|
y |
x' = x |
|
y' = |
x |
|
|
|
y − y0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
0,45 |
|
1315,1 |
0,45 |
|
0,0080 |
|
|
0,50 |
|
1318,1 |
0,50 |
|
0,0087 |
|
|
0,55 |
|
1319,3 |
0,55 |
|
0,0092 |
|
|
0,60 |
|
1320,0 |
0,60 |
|
0,0100 |
|
|
На координатной плоскости точки с координатами x' и y' при-
близительно располагаются на прямой линии (рис. 3), уравнение которой имеет вид (5).
164
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
Вычисляя |
тангенс |
||||
|
|
|
|
|
|
|
угла наклона прямой к оси |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0,575 |
|
|
|
|
|
абсцисс, |
|
устанавливаем |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0,55 |
|
|
|
|
|
относительное предельное |
||||||
' |
, |
|
|
|
|
|
значение плотности y протн = |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
xх |
|
0,525 |
|
|
|
|
|
= 72,5 кг/м3 или абсолют- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ное предельное |
значение |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0,475 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
y прабс =y протн +y0=1333,5 кг/м3). |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0,45 |
|
|
|
|
|
Для нахождения |
коэффи- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0,0076 0,0084 |
0,0092 0,01 |
|||||||||||
|
|
циента b, входящего в |
||||||||||||
|
|
|
|
y ' |
|
|
|
уравнение (1), |
представим |
|||||
|
|
|
Рис. 3. Зависимость |
это уравнение в виде вы- |
||||||||||
|
|
|
ражения |
(6), |
после чего |
|||||||||
|
|
линеаризованной переменной |
||||||||||||
|
|
выполним его логарифми- |
||||||||||||
|
|
|
|
x' от |
y' |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
рование (табл. 2). |
|
|
||||
|
|
|
|
Вычисление коэффициента b |
|
|
|
Таблица 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
y |
|
|
y |
|
|
é |
|
yпротн |
ù |
||
|
|
|
|
|
|
|
lnê |
|
|
|
ú |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê y0 |
+ yпротн - y ú |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
û |
|
|
|
0,0 |
|
1261,0 |
|
|
0 |
|
|
|||||
|
|
0,1 |
|
1283,1 |
|
|
0,380 |
|
||||||
|
|
0,2 |
|
1298,5 |
|
|
0,742 |
|
||||||
|
|
0,3 |
|
1308,0 |
|
|
1,084 |
|
||||||
|
|
0,4 |
|
1314,2 |
|
|
1,421 |
|
||||||
|
|
0,5 |
|
1318,1 |
|
|
1,580 |
|
||||||
|
|
0,6 |
|
1320,0 |
|
|
1,757 |
|
||||||
é |
|
|
yпротн |
ù |
- x точки с рассчитан- |
В координатах lnê |
|
|
|
ú |
|
y |
|
+ yотн - y |
|||
ê |
|
0 |
пр |
ú |
|
ë |
|
|
|
û |
|
ными координатами располагаются приблизительно на прямой линии (рис. 4), тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен коэффициенту b . Вычисляя, получим b = −3,13 .
165
-y)] |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0+y пр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
пр /(y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ln[y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
0,2 |
0,4 |
|
0,6 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
|
Рис. 4. Зависимость |
|
|
|||||||||
величины |
é |
|
|
yпротн |
ù |
от x |
||||||
lnê |
|
|
|
|
ú |
|||||||
y |
+ yотн - y |
|||||||||||
|
|
|
|
ë |
û |
|
|
|||||
|
|
|
|
ê 0 |
пр |
ú |
|
|
||||
Задание
Таким образом,
уравнение для описания зависимости плотности по-
мадной массы от давления в диапазоне от 0 до 0,6 МПа
имеет вид
y = 1261+ 72,50(1− e−3,13x ).
Адекватность полу- ченного уравнения устанав- ливают с помощью крите- рия Фишера, предваритель-
но рассчитав дисперсию относительно среднего и остаточную дисперсию.
Выполнить обработку экспериментальных данных, произ- ведя вычисление предельного значения функции отклика, регрес-
сионных коэффициентов и установив адекватность уравнения регрессии в виде экспоненциальной зависимости.
Вариант 1
Моделируются структурно-механические свойства помад- ной массы. В качестве функции отклика y принята плотность сли- вочной помадки (кг/м3); в качестве независимой переменной x – давление (МПа). Результаты эксперимента представлены ниже:
х, МПа |
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
y, кг/м3 1254 |
|
1275 |
1288 |
1292 |
1298 |
1300 |
1302 |
1303. |
166
Вариант 2
Моделируются структурно-механические свойства прали- новой массы. В качестве функции отклика y принята плотность пралиновой массы (кг/м3); в качестве независимой переменной x
– давление (МПа). Результаты даны ниже:
х, МПа |
0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
1,2 |
1,4 |
y, кг/м3 |
1200 |
1300 |
1330 |
1350 |
1355 |
1360 |
1363 |
1365. |
Вариант 3
Моделируется процесс структурообразования помадной массы при охлаждении. В качестве функции отклика y принята пластическая прочность помадной массы (кПа); в качестве незави- симой переменной x – продолжительность выстойки (мин). Результа- ты эксперимента представлены ниже:
х, мин |
0 |
2,5 |
5,0 |
7,5 |
10,0 |
12,5 |
15,0 |
17,5 |
y, кПа |
24 |
150 |
345 |
390 |
400 |
406 |
409 |
411. |
Вариант 4
Моделируется процесс окончательной расстойки тестовых заготовок. В качестве функции отклика y принята температура тестовой заготовки (°С); в качестве независимой переменной x – продолжительность расстойки (мин). Результаты опыта пред- ставлены ниже:
х, мин |
0 |
20 |
40 |
60 |
80 |
100 |
120 |
140 |
y, °С |
27 |
33 |
37 |
40 |
42 |
43 |
44 |
45. |
Вариант 5
Моделируется процесс замеса теста. В качестве функции отклика y принята температура пшеничного теста (°С), в качестве независимой переменной x – продолжительность замеса (с). Резуль- таты эксперимента представлены ниже:
х, с |
0 |
25 |
50 |
75 |
100 |
125 |
150 |
175 |
y, °С |
24,0 |
27,0 |
28,0 |
29,0 |
29,5 |
30,0 |
30,5 |
30,7. |
167
Вариант 6
Моделируется процесс уваривания мармеладной массы. В качестве функции отклика y принято содержание сухих веществ в мармеладной массе (%); в качестве независимой переменной x – продолжительность уваривания (мин). Результаты эксперимента представлены ниже:
х, мин |
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
y, % |
50,0 |
60,0 |
70,0 |
74,0 |
78,0 |
81,0 |
83,0 |
84,0. |
Вариант 7
Моделируется процесс сбивания кремовой конфетной мас- сы. В качестве функции отклика y принята температура кремовой конфетной массы (°С); в качестве независимой переменной x – продолжительность сбивания (с). Результаты опыта даны ниже:
х, с |
0 |
100 |
200 |
300 |
400 |
500 |
600 |
700 |
y, °С |
28,0 |
29,0 |
29,5 |
29,9 |
30,3 |
30,6 |
30,8 |
30,9 |
Вариант 8
Моделируются адгезионные свойства теста. В качестве функции отклика y принята адгезионная прочность теста (кПа), в качестве независимой переменной x – продолжительность кон- тактирования (с). Результаты представлены ниже:
х, с |
0 |
25 |
50 |
75 |
100 |
125 |
150 |
175 |
y, кПа |
2,4 |
2,7 |
2,8 |
2,9 |
2,95 |
3,0 |
3,05 |
3,07 |
Контрольные вопросы
1.Что такое предельное значение экспоненциальной функции?
2.Как рассчитать коэффициенты экспоненциального уравнения?
3.Какие Вы можете привести примеры технологических процессов отрасли, которые описываются экспоненциальными зависимостями?
168
|
|
|
Практическая работа № 18 |
|
|
|
||||
ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ |
||||||||||
И ОПТИМИЗАЦИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ |
||||||||||
|
|
|
ПИЩЕВЫХ ПРОИЗВОДСТВ |
|
|
|
||||
|
Цель работы: рассмотреть примеры математического мо- |
|||||||||
делирования и оптимизации процессов отрасли. |
|
|
|
|||||||
|
Рекомендуемая литература: [1, 7, 9, 10]. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Пример 1 |
|
|
|
|
|
|
С целью моделирования процесса структурообразования |
|||||||||
помадной массы при охлаждении, приготовленной “холодным” |
||||||||||
способом, был проведен эксперимент. Готовили помадную массу |
||||||||||
с массовой долей влажности 7, 8, 9, 10 и 11 %, после чего формо- |
||||||||||
вали методом выпрессовывания конфетные жгуты, которые затем |
||||||||||
охлаждали в шкафу. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Проведенные исследования позволили установить измене- |
|||||||||
ние скорости структурообразования отформованных конфетных |
||||||||||
жгутов с массовой долей влаги 7 – 11 %, о которой судили по на- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
растанию |
|
пластиче- |
|
,кПа |
450 |
|
|
1 |
|
|
ской прочности жгутов |
|||
400 |
|
|
|
|
P при охлаждении их |
|||||
|
|
2 |
|
|
||||||
прочность |
350 |
|
|
|
|
|
в шкафу |
воздухом с |
||
300 |
|
|
3 |
|
|
температурой 8 °С. |
||||
250 |
|
|
|
|
|
Анализ |
измене- |
|||
|
|
4 |
|
|
ния пластической проч- |
|||||
200 |
|
|
|
|
||||||
Пластическая |
|
|
|
|
|
ности (рис. |
1) |
показал, |
||
150 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
5 |
|
|
что на первоначальном |
|||||
100 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
этапе охлаждения пла- |
|||||
50 |
|
|
|
|
|
стическая |
|
прочность |
||
0 |
|
|
|
|
|
изменяется |
|
незначи- |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
тельно. Затем за срав- |
|||
|
Продолжительность охлаждения, мин |
нительно короткий про- |
||||||||
|
межуток |
времени на- |
||||||||
|
Рис. 1. Зависимость пластической |
блюдается |
|
ее |
резкое |
|||||
|
прочности конфетных жгутов |
|
увеличение, |
после чего |
||||||
|
от продолжительности охлаждения: |
пластическая прочность |
||||||||
|
1 – массовая доля влаги 7 %; 2 – 8 %; |
остается |
практически |
|||||||
|
|
3 – 9 %; 4 – 10 %; 5 – 11 % |
|
постоянной. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
169 |