MODELIROVANIE_metodichka

Дифференцируя последнее уравнение по переменным X1 , X 2 и λ, составим систему уравнений по форме (5):

Для решения последней системы уравнений с последую- щим вычислением значения функции отклика воспользуемся ин- тегрированным пакетом MAPLEW 8. Расчет проводим при изме- нении радиуса сферы в диапазоне от 1,41 до 0 (табл. 3).

На основании результатов см. табл. 3 оптимальным следует принять режим, полученный на 7-м шаге оптимизации (X1 = -0,00023 и X2 = 0,19), при этом значение параметра оптимиза- ции – содержание свободных липидов в какао крупке – достигает максимального значения 59,26 %.

Выполним переход от кодированных значений факторов к натуральным, используя соотношение

xi = X i ×εi + xi0 ,

122

где xi – натуральное значение i–го фактора; Xi – кодированное значение i–го фактора; xi0 – натуральное значение i–го фактора

на основном уровне; εi – интервал варьирования i–го фактора.

С учетом натуральных значений факторов на основных уровнях и интервалов варьирования (см. табл. 1) имеем опти- мальные параметры электрохимической обработки какао-крупки: сила тока х1 = 0,59 А и продолжительность электрохимической обработки х2 = 25,95 мин.

Задание

Для уравнения регрессии второго порядка, которое получе- но в практической работе № 11, сформулировать условие опти- мизации, выбрать ограничения для независимых переменных и методом неопределенных множителей Лагранжа выполнить оп- тимизацию целевой функции. Привести уравнение регрессии второго порядка к канонической форме. Построить линии равных

значений функции отклика и выполнить анализ конфигурации поверхности отклика.

Контрольные вопросы

1.Какие ограничения накладываются на использование ме- тода неопределенных множителей Лагранжа?

2.Что представляет собой оптимизация методом неопреде- ленных множителей Лагранжа?

3.В чем заключается особенность метода неопределенных множителей Лагранжа при решении оптимизационных задач с несколькими целевыми функциями?

4.В каком виде записываются ограничения при использо- вании метода неопределенных множителей Лагранжа?

5.Как связаны между собой число независимых перемен- ных и количество ограничений, которые накладываются на них при использовании метода неопределенных множителей Лагранжа?

123

Практическая работа № 14 ОПТИМИЗАЦИЯ МЕТОДОМ “РИДЖ-АНАЛИЗ”

Цель работы: 1) ознакомить с методами оптимизации целе- вых функций; 2) овладеть практическими навыками оптимизации.

Рекомендуемая литература: [1, 7].

Теоретические сведения

Метода оптимизации “ридж-анализ” базируется на методе неопределенных множителей Лагранжа. Для выбора оптималь- ных условий целевой функции, полученной по результатам цен- трального композиционного ротатабельного планирования, со- ставляют следующую систему уравнений:

где λ – неопределенный множитель Лагранжа.

Количество уравнений в системе (1) равно числу факторов. Решить (1) можно только при заданных значениях λ. Выбор зна-

чений неопределенных множителей Лагранжа зависит от типа задачи. В случае задачи на максимум параметра оптимизации ре- комендуется выбирать величину λ таким образом, чтобы она бы- ла больше максимального из канонических коэффициентов. В случае задачи на минимум – значение λ должно быть меньше наименьшего из канонических коэффициентов.

На величину λ накладывается ограничение, определяемое

параметром Хорля

132

где Bminmax – максимальный или минимальный (в зависимости от

условий задачи) канонический коэффициент; bnn – коэффициент регрессии при n-ом квадратичном члене.

Использование параметра Хорля дает возможность сузить интервал изменения значений неопределенного множителя Ла- гранжа до величины, определяемой следующим неравенством:

При этом изменение параметра оптимизации в желаемую сторону соответствует изменению λ в направлении от параметра Хорля к соответствующему каноническому коэффициенту.

На практике обычно задаются несколькими значениями не- определенного множителя Лагранжа и затем, после решения сис- темы (1), полученные условия подвергают экспериментальной проверке. При значительном количестве факторов систему (1) решают с помощью ЭВМ.

В случае двухфакторной задачи расчеты проводят по сле- дующим формулам:

откуда

Полученные кодированные значения факторов Х1 и Х2 за- тем переводят в натуральные.

133

Метод неопределенных множителей Лагранжа может быть с успехом применен при решении “компромиссной” задачи в слу- чае, когда изучаемый технологический процесс описывается не- сколькими уравнениями регрессии. Примером такой задачи может быть определение параметров получения продукта заданного ка- чества (кислотности, влажности, объема, формоудерживающей способности и пр.) при максимальном выходе или производи- тельности. Обозначив через y1 выход продукта, а через y2 – его качество, запишем следующие уравнения регрессии:

Для вычисления оптимальных параметров составляют сис- тему уравнений, включающую неопределенный множитель Ла- гранжа,

которую затем решают, при фиксированном значении λ, относи- тельно факторов Х1, Х2, …, Хn.

В случае двухфакторной задачи оптимизации уравнения

134

В соответствии с системой (9), учитывая частные произ- водные (12), система уравнений примет вид

Систему уравнений (13) решают относительно факторов Х1, Х2 при фиксированном значении неопределенного множителя Лагранжа λ и заданном значении целевой функции y2 в соответ- ствии с требованиями к качеству готовой продукции.

Пример

Для построения математической модели, отражающей за- висимость формоустойчивости тестовой заготовки y при расстой- ке от продолжительности x1 (мин) и температуры x2 (°С) расстой- ки, было проведено центральное композиционное ротатабельное планирование (табл. 1).

135

Результаты ЦКРП обрабатывали по типовой методике. При этом были рассчитаны коэффициенты уравнения регрессии, оп- ределена значимость каждого из них: в соответствии с критерием Стьюдента коэффициент b12 – не значим, остальные коэффициен- ты – значимы. Адекватность полученного уравнения регрессии устанавливали по критерию Фишера. Сравнение расчетного зна- чения критерия Фишера с табличным показало, что уравнение регрессии адекватно описывает поверхность отклика.

Полученное уравнение регрессии в кодированных пере- менных выглядит следующим образом:

y = 5,06 + 0,52X1 + 0,757X2 -1,28X12 -1,32X 22 .

Исследование поверхности отклика начинаем с вычисления канонических коэффициентов. Для этого составим характеристи- ческое уравнение:

решая которое, находим его корни B11 = -1,40 и B22 = -1,20 . Дифференцируя уравнение регрессии по X1 и X 2 , соста-

вим систему алгебраических уравнений:

¶Y = 0,52 - 2×1,28X1 = 0 ;

¶X1

¶¶Y = 0,757 - 2×1,32X 2 = 0 . X2

136

Решая эту систему относительно X1 и X 2 методом опре- делителей, находим координаты центра поверхности: X1s = 0,223

и X 2s = 0,298 .

Подставляя найденные значения в исходное уравнение, най- дем значение функции отклика в центре поверхности Ys = 5,230 .

Уравнение регрессии в канонической форме примет вид:

Y− 5,230 = −1,4Z12 −1,2Z22 ,

акоэффициенты канонической формы имеют положительные одинаковые знаки. Это дает основание считать, что исследуемая поверхность является экстремальной и имеет вид «вершины».

Для определения оптимальных параметров воспользуемся методом “ридж-анализ”.

Вычисляем значение параметра Хорля по формуле (2):

λ= 2(−1,4 +1,32) = −0,156 .

Допустимые значения неопределенного множителя Лагранжа ле- жат в пределах -1,4 ≤ λ ≤ -0,156.

Задаемся несколькими значениями λ и по (5) и (6) вычисля- ем значения факторов Х1 и Х2 и функции отклика (табл. 2).

На основании результатов см. табл. 2 с учетом критических значений независимых переменных оптимальным следует счи- тать режим при λ = -1,35 (X1 = 0,194 и X2 = 0,320). При указанных значениях независимых переменных формоустойчивость тесто- вых заготовок при окончательной расстойке составит 5,238 ед.

137

Выполним переход от кодированных значений факторов к натуральным, используя соотношение

xi = X i ×εi + xi0 ,

где xi – натуральное значение i–го фактора; Xi – кодированное значение i–го фактора; xi0 – натуральное значение i–го фактора

на основном уровне; εi – интервал варьирования i–го фактора.

С учетом натуральных значений факторов на основных уровнях и интервалов варьирования (см. табл. 1) имеем опти- мальные параметры проведения окончательной расстойки тесто- вых заготовок: продолжительность расстойки х1 = 47,91 мин и температура расстойки х2 = 37,92 °С.

Задание

Методом “ридж-анализ” выполнить оптимизацию уравне- ния регрессии второго порядка, которое получено в практической работе № 11. Привести уравнение регрессии второго порядка к канонической форме. Построить линии равных значений функ- ции отклика и выполнить анализ конфигурации поверхности от- клика.

Контрольные вопросы

1.Какие ограничения накладываются на неопределенный множитель Лагранжа?

2.Что представляет собой оптимизация методом “ридж- анализа”?

3.В чем заключается особенность метода неопределенных множителей Лагранжа при решении оптимизационных задач с несколькими целевыми функциями?

4.Что отличает метод “ридж-анализа” от метода неопреде- ленных множителей Лагранжа?

5.От чего зависит выбор значений неопределенного мно- жителя Лагранжа при использовании метода “ридж-анализ”?

138

Практическая работа № 15 МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

Цель работы: 1) ознакомить с методами оптимизации целе- вых функций; 2) овладеть практическими навыками оптимизации.

Рекомендуемая литература: [2, 3, 6, 7].

Теоретические сведения

При решении ряда оптимизационных задач исследователь сталкивается с ситуацией, когда изучаемый процесс характеризу- ется несколькими критериями оптимизации, которые, как прави- ло, находятся в «конфликте» друг с другом.

Так, например, повышение производительности технологи-

ческого аппарата или поточной линии приводят к повышению затрат на производство готового продукта.

Другим примером являются задачи, связанные с разработ- кой рецептуры пищевого продукта. Например, с целью повыше- ния пищевой и биологической ценности хлебобулочных или кон-

дитерских изделий в их рецептуру вводят нетрадиционные виды сырья. При этом необходимо получить готовое изделие с показа- телями качества (влажность, пористость, удельный объем и пр.), на которые наложены определенные ограничения.

Рассмотренные задачи многокритериальной оптимизации решаются с применением комплексных критериев оптимизации.

Одним из комплексных критериев является обобщенная функция желательности D, которая представляет собой среднее геометрическое желательностей отдельных параметров оптими-

зации

метра оптимизации (изменяется от 0 до 1); q – количество пара- метров оптимизации.

139