MODELIROVANIE_metodichka
.pdfТаким образом, для технологического процесса замеса пшеничного теста наиболее важными являются факторы X1 – удельная интенсивность замеса; X 2 – удельная работа замеса; X3
– эффективная вязкость теста; X 4 – температура теста.
Указанные показатели должны быть включены в математи- ческую модель, описывающую процесс замеса теста.
Задание
В соответствии с результатами практической работы № 1, в форме деловой игры, выполнить процедуру экспертного оцени- вания факторов, влияющих и характеризующих протекание изу- чаемого технологического процесса. Провести статистическую обработку результатов экспертного оценивания, определив коэф- фициент конкордации и установив степень достоверности полу- ченных результатов. Построить априорную гистограмму рангов и выбрать наиболее информативные факторы для изучаемого тех- нологического процесса.
Контрольные вопросы
1.Что показывает коэффициент конкордации? Как его оп- ределить?
2.Что характеризует гистограмма рангов? Как проводится
еепостроение?
3.В чем заключается сущность экспертного оценивания?
4.Что характеризует критерий Пирсона?
5.В чем заключается обработка результатов экспертного оценивания?
6.Что показывает коэффициент Линка - Уоллеса? Как его определить?
7.Как оценить различие между средними рангами факто- ров, включенных в одну группу?
12
Практическая работа № 3 ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
Цель работы: провести статистическую обработку резуль- татов измерений.
Рекомендуемая литература: [1, 2, 7, 9, 11, 12].
Теоретические сведения
Предварительная обработка результатов измерений или на- блюдений необходима для того, чтобы в дальнейшем с наиболь- шей эффективностью, а главное корректно использовать стати- стические методы для построения эмпирических зависимостей.
Основная задача обработки – это отсеивание грубых по- грешностей измерения (сильно выделяющихся значений) или по- грешностей, неизменно имеющих место при проведении экспе- римента.
Грубые погрешности измерения (аномальные, или сильно выделяющиеся, значения) очень плохо поддаются определению, хотя каждому экспериментатору ясно, что это такое.
Другим важным моментом обработки данных является проверка соответствия результатов измерения закону нормально- го распределения. Если эта гипотеза не принимается, то следует найти, какому закону распределения подчиняются эксперимен- тальные значения и, если это возможно, привести распределение к нормальному. Только после выполнения перечисленных выше опе- раций можно перейти к построению эмпирических зависимостей.
Обработку экспериментальных данных начинают с расчета характеристик эмпирического распределения.
Пусть имеется ряд наблюдений x1 , x2 , … xn случайной ве- личины x (выборка объемом n ). Среднее арифметическое зна-
_
чение x наблюдаемой величины определяют по формуле
21
|
|
|
_ |
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
å |
|
|
|
||
|
|
|
x = |
1 |
|
x . |
|
(1) |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда отклонение каждого наблюдения di |
от среднего |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
di |
= xi |
- x . |
|
(2) |
||||
Величину |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
n æ |
|
_ ö2 |
|
S |
|
= |
|
|
|
åç xi - x÷ |
(3) |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
n -1 i=1 è |
|
ø |
|
||||
называют выборочной дисперсией случайной величины. Выборочное среднеквадратичное отклонение S находят по
формуле
S = S2 . |
(4) |
Выборочное значение коэффициента вариации K (%), яв- ляющееся мерой относительной изменчивости наблюдаемой слу- чайной величины, вычисляют следующим образом:
K = |
S |
100 . |
(5) |
|
x |
||||
|
|
|
Последний параметр имеет важное значение, так как позво- ляет судить о характере распределения случайной величины.
После этого приступают к отсеву грубых погрешностей. Имеется большое количество различных рекомендаций для ис- ключения грубых погрешностей наблюдения. Например, метод, основанный на использовании критерия Стьюдента. Отсев гру- бых погрешностей в этом случае проводят в несколько этапов.
22
Предварительно вычисляют наибольшее отклонение dmax случайной величины xmax (min) от среднего значения
dmax = |
xmax(min) − x |
(6) |
и статистику τ по формуле
τ = |
dmax |
. |
(7) |
|
|||
|
S |
|
|
Затем по таблице распределения Стьюдента (прил. 3) опре- деляют процентные точки t-распределения Стьюдента t(p,n−2) при
заданном уровне значимости p и для числа степеней свободы f = n − 2 .
После этого вычисляют соответствующие точки t-распределения
τ (p,n) = |
|
t(p,n−2) |
n −1 |
|
|
. |
(8) |
|
|
|
|
|
|
||||
(n − 2)+ (t(p,n−2))2 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
Далее проверяют условие
τ > τ(p,n) |
(9) |
и принимают окончательное решение об отсеве грубой погрешности (случайной величины xmax (min) ), если условие (9) выполняется.
После этого пересчитывают характеристики x и S для но- вого массива данных (без отсеянного значения xmax (min) ) при объ-
еме выборки n −1 , а затем повторяют процедуру расчета по фор- мулам (6 – 9) для следующего по абсолютной величине наиболь- шего отклонения dmax .
23
Для статистических методов построения эмпирических за- висимостей очень важно, чтобы результаты наблюдений подчи- нялись закону нормального распределения, поэтому такая про- верка – основное содержание предварительной обработки экспе- риментальных данных.
Гипотезу нормального распределения проверяют по пока- зателям асимметрии и эксцесса.
Показатель асимметрии вычисляют по формуле
q1 = |
m3 |
, |
(10) |
(m2 )3 2 |
где m3 и m2 – третий и второй центральные моменты соответ- ственно, рассчитываемые по формулам:
|
|
|
1 |
|
n |
æ |
|
_ ö3 |
|
m3 = |
|
|
|
|
åç xi - x÷ ; |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n -1 i=1 |
è |
|
ø |
|
|||
|
2 |
|
|
1 |
n |
æ |
_ ö |
2 |
|
m2 = S |
|
|
= |
|
|
åç xi - x÷ . |
|||
|
|
n |
|
||||||
|
|
|
|
-1 i=1 |
è |
ø |
|
||
Для симметричных распределений m3 = 0 и q1 = 0.
Показатель эксцесса рассчитывают по формуле
q2 = m4 2 - 3,
(m2 )
где m4 – четвертый центральный момент, вычисляемый как
|
|
1 |
n |
æ |
_ ö |
4 |
m4 |
= |
|
åç xi - x÷ . |
|||
|
||||||
|
|
n -1 i=1 |
è |
ø |
|
|
(11)
(12)
(13)
(14)
24
После этого находят несмещенные оценки для показателей асимметрии и эксцесса:
|
G = |
|
|
|
|
q ; |
|
(n -1)n |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
n - |
2 |
1 |
||
|
n -1 |
|
|
||||
G2 = |
|
[(n +1)q2 + 6]. |
|||||
(n - 2)(n - 3) |
|||||||
(15)
(16)
Среднеквадратичные отклонения несмещенных оценок для показателей асимметрии и эксцесса находят по формулам
|
|
|
|
|
|
|
|
SG |
= |
|
G1(n -1)n |
; |
|
|
|
|
(n - 2)(n +1)(n + 3) |
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SG2 = |
|
|
24(n -1)2 n |
|
|
|
. |
|
(n - 3)(n - 2)(n + 3)(n |
+ 5) |
|||||
|
|
|
|||||
Затем проверяют условия:
G1 £ 3SG1 ;
G2 £ 5SG2 .
(17)
(18)
(19)
(20)
Когда они выполняются, гипотеза нормального распреде- ления может быть принята. Если она не принимается, то данное
эмпирическое распределение не подчиняется закону нормального распределения и его следует привести к нормальному, используя известные преобразования.
После исключения грубых погрешностей и проверки гипо- тезы нормального распределения вычисляют абсолютную ошиб- ку δ для среднего арифметического значения
δ = |
tт |
× S |
, |
(21) |
||
|
|
|
||||
n |
||||||
|
|
|
|
|||
25
где tт – табличное значение критерия Стьюдента (см. прил. 3) при выбранном уровне значимости p и числе степеней свободы f = n −1.
Результаты вычисления среднего арифметического значе-
ния при выбранном значении уровня значимости представляют в виде доверительного интервала x ± δ .
Относительную ошибку δотн среднего арифметического значения, т. е. отношение абсолютной ошибки δ к определяемой
величине, выражают в процентах |
|
|
|
δотн = |
δ |
100 . |
(22) |
|
x |
|
|
Пример
В лабораторных условиях изучали процесс вибродозирова- ния сахара-песка. В ходе эксперимента методом контрольных взвешиваний определяли производительность вибродозатора. Количество измерений (объем выборки) n = 10 . Эксперимен- тальные значения производительности вибродозатора по сахару- песку при частоте колебаний вибролотка 30 Гц представлены в табл. 1. Выполним предварительную обработку этих данных.
По формуле (1) вычисляем среднее арифметическое значе- ние x = 2,48. Предварительно рассчитав по формуле (2) отклоне- ние каждого измерения от среднего значения (см. табл. 1), по
формуле (3) |
находим |
дисперсию |
случайной |
величины |
S2 = 0,00059 . По выражению (4) вычисляем выборочное средне- |
||||
квадратичное |
отклонение |
S = 0,024 . |
Коэффициент |
вариации, |
рассчитанный по формуле (5), равен K = 0,97 %.
Следовательно, абсолютная величина квадратичной ошибки определения производительности вибродозатора составляет ± 0,024 . Таким образом, имеем среднее значение производительности виб- родозатора 2,48 г/с, среднеквадратичное отклонение ± 0,024 , коэф- фициент вариации 0,97 %.
26
По этим данным на основании правил статистики можно сказать, что в 2/3 случаях (68 %) значения производительности вибродозатора варьируются в пределах 2,45 ÷ 2,50 %, а в 95 % случаев – в пределах 2,43 ÷ 2,52 %.
|
Результаты эксперимента и расчетов |
Таблица1 |
||
|
|
|||
№ |
|
Отклонение каж- |
Квадрат |
|
Производительность |
дого измерения |
|||
измере- |
отклонения |
|||
вибродозатора xi , г/с |
от среднего зна- |
|||
ния |
2 |
|||
|
чения di |
(xi − x) |
||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
2,50 |
0,02 |
0,0004 |
|
2 |
2,52 |
0,04 |
0,0016 |
|
3 |
2,47 |
-0,01 |
0,0001 |
|
4 |
2,48 |
0,00 |
0,0000 |
|
5 |
2,50 |
0,02 |
0,0004 |
|
6 |
2,51 |
0,03 |
0,0009 |
|
7 |
2,50 |
0,02 |
0,0004 |
|
8 |
2,49 |
0,01 |
0,0001 |
|
9 |
2,46 |
-0,02 |
0,0004 |
|
10 |
2,44 |
-0,04 |
0,0016 |
|
Сумма |
24,8 |
|
0,0059 |
|
Выполним процедуру выявления и отсеивания грубых по- грешностей. В качестве грубой погрешности принимаем величи- ну 2,44 (минимальное значение выборки, см. табл. 1). Наиболь- шее отклонение, рассчитанное по формуле (6), составит dmax = 0,04 . Статистика τ по (7) равна τ = 1,66 . С помощью таб-
лицы распределения Стьюдента (см. прил. 2) при уровне значи- мости p = 0,05 и числе степеней свободы f = 8 находим табули-
рованное значение критерия Стьюдента |
τ(5%,8) = 2,01 . Используя |
||
формулу (8), |
вычисляем |
процентную |
точку t-распределения |
τ(5%,10) = 5,22 . |
Проверяя |
условие (9), устанавливаем, что |
|
τ < τ(5%,8) .Следовательно, величина 2,44 не является грубой по-
грешностью и отсеиванию не подлежит. Аналогично можно убе- диться в том, что максимальное число 2,52 рассматриваемой вы- борки также не является грубой погрешностью.
27
Проверим гипотезу нормального распределения экспери- ментальных данных процесса вибродозирования сахара-песка (см. табл. 1). Для этого по формулам (12), (11) и (14) вычисляем второй, третий и четвертый центральные моменты m2 = 5,90×10-4;
m3 = 4,31×10-6; m4 = 6,59×10-7.
Показатели асимметрии и эксцесса, рассчитанные по фор- мулам (10) и (13), соответственно равны q1 = 0,30 и q2 = -1,11.
Предварительно можно сделать вывод о том, что для эмпириче- ского распределения характерны асимметрия и эксцесс.
С помощью выражений (15) и (16), определяем несмещенные оценки показателей асимметрии и эксцесса G1 = 0,36 и G2 = - 0,98.
Среднеквадратичные отклонения, найденные по формулам
(17) и (18), равны SG1 = 0,17 и SG2 = 1,33.
Затем проверяем условия (19) и (20). Так как они выполня- ются (|0,36| £ 3.0,17 и |-0,98| £ 5.1,33), то гипотеза нормального распределения может быть принята.
По таблице распределения Стьюдента (см. прил. 2) при уровне значимости p = 0,05 и числе степеней свободы f = 9 на-
ходим табличное значение критерия Стьюдента tт = 1,8331. Абсо- лютная ошибка для среднего арифметического значения, рассчи- танная по формуле (21), составляет δ = 0,0139 г/с. По формуле (22) определяем относительную ошибку среднего арифметиче- ского значения производительности дозатора δотн = 0,56 %.
Таки образом, с доверительной вероятность 95 % (уровень значимости p = 0,05 ) значения производительности вибродозато-
ра по сахару-песку при частоте колебаний вибролотка 30 Гц бу- дут находиться в доверительном интервале x ± 0,0139 г/с.
Задание
Провести предварительную обработку экспериментальных данных (табл. 2), проведя вычисления выборочных характеристик эмпиричного распределения, отсев грубых погрешностей и про- верку гипотезы нормального распределения. Уровень значимости статистических критериев принять p = 0,05.
28
|
|
Исходные данные для расчета |
|
Таблица 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
№ |
|
|
|
Вариант |
|
|
|
|
|
изме- |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
8 |
рения |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
83,10 |
25,20 |
58,31 |
75,21 |
0,20 |
43,21 |
87,81 |
|
63,01 |
2 |
70,31 |
26,30 |
55,42 |
73,40 |
0,61 |
40,20 |
89,20 |
|
68,10 |
3 |
76,62 |
27,82 |
56,63 |
75,77 |
0,05 |
49,73 |
86,44 |
|
69,21 |
4 |
78,73 |
32,09 |
56,77 |
75,08 |
0,25 |
46,45 |
87,60 |
|
60,55 |
5 |
76,5 |
24,64 |
56,91 |
72,91 |
0,34 |
42,90 |
88,40 |
|
60,61 |
6 |
80,30 |
20,30 |
55,35 |
66,05 |
0,42 |
40,80 |
80,21 |
|
64,33 |
7 |
85,42 |
31,54 |
66,01 |
75,22 |
0,40 |
36,91 |
84,25 |
|
70,41 |
8 |
69,49 |
23,06 |
57,09 |
76,31 |
0,28 |
39,82 |
90,33 |
|
58,18 |
9 |
66,40 |
22,22 |
56,92 |
74,08 |
0,34 |
43,21 |
89,11 |
|
63,14 |
10 |
85,01 |
29,15 |
56,38 |
78,10 |
0,28 |
44,99 |
88,31 |
|
56,29 |
11 |
80,22 |
28,45 |
56,15 |
78,45 |
0,45 |
40,15 |
88,12 |
|
69,45 |
12 |
81,08 |
23,12 |
54,18 |
75,15 |
0,48 |
40,68 |
87,48 |
|
68,7 |
13 |
78,09 |
27,15 |
56,88 |
75,98 |
0,44 |
39,48 |
89,45 |
|
69,33 |
14 |
85,04 |
26,45 |
57,14 |
75,48 |
0,43 |
39,89 |
88,46 |
|
68,14 |
15 |
87,54 |
26,15 |
55,12 |
75,60 |
0,48 |
41,04 |
88,93 |
|
69,46 |
16 |
82,45 |
24,11 |
55,89 |
74,18 |
0,44 |
40,55 |
87,45 |
|
70,01 |
17 |
83,16 |
22,13 |
57,14 |
75,06 |
0,45 |
41,07 |
88,46 |
|
68,17 |
18 |
84,01 |
25,07 |
55,66 |
75,88 |
0,47 |
39,88 |
88,03 |
|
68,93 |
Контрольные вопросы
1.В чем заключается предварительная обработка экспери- ментальных данных?
2.Что такое грубые погрешности измерений? Как и почему они появляются?
3.Что отражает закон нормального распределения?
4.Что характеризуют показатели асимметрии и эксцесса?
5.Как проводят отсев грубых погрешностей с использова- нием критерия Стьюдента?
6.Что показывают доверительная вероятность и уровень значимости?
7.Как рассчитать величину доверительного интервала для случайной величины?
8.Как изменится величина доверительного интервала при увеличении доверительной вероятности?
29