2.5. Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона гласит, что скорость изменения импульса тела равна действующей на тело силе F:

dp/dt=F. (2.4)

Заменив в уравнении (6) р на mV получим:

d(mV)/dt = m (dV/dt) = m(d²r)/dt² = F. (2.5)

Таким образом, зная силу, действующую на тело, можно определить характер его движения r(t). Поэтому второй закон Ньютона в виде (2.5) называют уравнением движения.

Если в (2.5) заменить dV/dtна ускорение телаа, получится еще один вид закона:

d(mV)/dt=mа=F, (2.6)

или словами: произведение массы тела на его ускорение равно действующей на тело силе.

В частном случае, когда F= 0 (т. е. при отсутствии воздействия на тело со стороны других тел), ускорение, как следует из (2.6),также равно нулю. Этот вывод совпадает с утверждением первого закона Ньютона. Поэтому первый закон входит во второй как его частный случай. Несмотря на это, первый закон формулируется независимо от второго, так как в нем, кроме того, заключается постулат о существовании инерциальных систем отсчета.

2.6. Третий закон Ньютона

Всякое действие тел друг на друга в природе носит характер взаимодействия: если тело 1 действует на тело 2 с силой F₁₂ то и тело 2 в свою очередь действует на тело 1 с силойF₂₁.Третий закон Ньютона при этом утверждает, что силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине и противоположны по направлению. Используя приведенные выше обозначения сил, содержание третьего закона можно представить в виде равенства:

F₁₂ = – F₂₁. (2.7)

Из третьего закона Ньютона вытекает, что силы возникают попарно: всякой силе, приложенной к какому-то телу, можно сопоставить равную ей по величине и противоположно направленную силу, приложенную к другому телу, взаимодействующему с данным.

На рис. 2.2 в качестве примера приведены гравитационные силы, действующие между двумя телами массами m₁ и m₂, находящимися на расстоянии r друг от друга.

2.7. Преобразования Галилея. Принцип относительности Галилея

Преобразования Галилея связывают значения координат и скоростей материальной точки в двух системах отсчета, движущиеся друг относительно друга с постоянной скоростью V₀. Одну из этих систем, обозначенную на

рис. 2.3 буквой К,будем считать неподвижной. Тогда вторая система К будет двигаться прямолинейно и равномерно относительно К. Выберем координатные осиx,y,z системыK и осиx,y, иz системы К так, чтобы осиxиx, совпадали, а осиy, иy, атакжеzи z были параллельны друг другу. Найдем связь между координатамиx,y,z некоторой точки Р в системе К и координатамиx,y, иz той же точки в системе К.Если начать отсчет времени

с того момента, когда начала координат обеих систем совпадали, то, как видно из рис. 3, x = x+V₀t, y = y,z=z. Добавив к этим соотношениям принятое в классической механике предположение, чтовремя в обеих системах течет одинаковым образом, то есть t = t, получим совокупность четырех уравнений:

x = x +V₀t, y = y, z = z, t = t, (2.8)

называемых преобразованиями Галилея для координат и времени.

Первое и последнее из соотношений (10) оказываются справедливыми лишь при значениях V₀ , малых по сравнению со скоростью света в вакууме, которую мы будем обозначать буквой С (V₀<<C).При V₀ сравнимых c C преобразования Галилея должны быть заменены более общими преобразованиями Лоренца. Продифференцировав соотношения (2.8) по времени, найдем связь между скоростями точки P по отношению к системам отсчетаK иK:

dx/dt=dx/dt+V₀илиV_x=V_x+V₀,

dy/dt = dy/dt или V_y = V_y , (2.9)

dz/dt = dz/dt или V_z = V_z .

Три скалярных соотношения (2.9) эквивалентны следующему соотношению между вектором скорости V по отношению к системе K и вектором скоростиVпо отношению к системеK.

V=V+V₀(2.10)

Формулы (2.9) и (2.10) дают правило сложения скоростей в классической механике. Следует иметь в виду, что соотношение(2.10), как и любое другое векторное соотношение, остается справедливым при произвольном выборе взаимных направлений координатных осей систем K и K. Соотношения же (2.9) выполняются только при выборе осей, показанном на рис. 2.3.

Как уже отмечалось, любая система отсчета, движущаяся относительно некоторой инерциальной системы с постоянной скоростью, будет также инерциальной. Теперь мы имеем возможность доказать это утверждение. Для этого продифференцируем по времени соотношение (2.10). Учтя, чтоV₀постоянна, получим:

dV/dt=dV/dtилиa=a.(2.11)

Отсюда следует, что ускорение какого-либо тела во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно, оказывается одним и тем же. Поэтому если одна изэтих систем инерциальна (это значит, что при отсутствии сил a = 0), то и остальные будут инерциальными (aтакже равно нулю).

Сила F, действующая на частицу в системе К, совпадает с силойF, действующей на частицу в системе К: F = F. Это следует из того, что сила зависит от расстояний между данной частицейи действующими на нее частицами (и, возможно, от относительных скоростей частиц), а эти расстояния (и скорости) полагаются в ньютоновской механике одинаковыми во всех инерциальных системах. Масса также одинакова во всех системах.

Из всего сказанного следует вывод, что уравнения динамики не изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. С механической точки зрения все инерциальные системы отсчета совершенно эквивалентны:ни одной из них нельзя отдать предпочтение перед другими. Практически это проявляется в том, что никакими механическими опытами, проведенными в пределах данной системы отсчета, нельзя установить, находится ли она в состоянии покоя или в состоянии равномерного и прямолинейного движения. Находясь, например,в вагоне поезда, движущегося без толчков прямолинейно и равномерно, мы, не выглянув в окно, не сможем определить, движетсявагон или покоится. Свободное падение тел, движение брошенных нами тел и все другие механические процессы будут в этом случае происходить так же, как и в случае, если бы вагон был неподвижен. Указанные обстоятельства были выяснены еще Галилеем. Положение о том, что все механические явления в различных инерциальных системах отсчета протекают одинаковым образом, вследствие чего никакими механическими опытами невозможно установить, покоится данная система отсчета или движется прямолинейно и равномерно, носит название принципа относительности Галилея.