2.11. Тело на наклонной плоскости
Для того чтобы составить уравнение движения тела, нужно прежде всего установить, какие силы действуют на рассматриваемое тело. При этом необходимо выяснить, действие каких других тел на данное тело следует принять во внимание. Так, например, для тела, на наклонной плоскости (рис. 8), существенно воздействие со стороны Земли (оно характеризуется силой тяжестиFg=mg) и воздействием со стороны плоскости (силой реакцииFr).
Fr а
Fn
Fтр
mgx
mgn
Х
Fg
= mg
б
Fr
Fn
Fтр
mgx
mgn
Х
Fg
= mg 
а б
Рис. 2.12.
Все силы нужно характеризовать по «источнику», вызвавшему появление силы. Это означает, что за каждой силой нужно видеть тело, воздействием которого обусловлена сила. Как видно из рис. 2.12, а, силу реакции Frудобно разложить на две составляющие – силу нормального давленияFnи силу тренияFтр. Это, в частности, полезно в связис тем, что сила трения пропорциональна модулю силы Fn (2.19). Определив силы, действующие на тело, составляют уравнение движения. В данном случае оно имеет вид:
ma=mg+Fr=mg + Fn + Fтр(2.26)
Чтобы производить дальнейшие вычисления, нужно перейти от векторов к их проекциям на соответствующим образом выбранные направления. В данном случае это поверхность наклонной плоскости и нормаль к ней.
Запишем проекции векторов, входящие в уравнение (2.26), на направление х, указанное на рис. 2.12. Проекция вектораах= а, проекция вектора (Fg)х=mgsin, проекция (Fr)х=Fтр=Fn=mgcos. Следовательно, окончательно приходим к уравнению:
ma=mgsin–mgcos, (2.27)
из которого легко найти ускорение а. Приравняв ускорение к нулю, можно определить момент начала движения (угол, при котором движение начинается).
ma = 0 = mg sin – mg cos , откуда tg = (2.28)
При меньших углах сила трения и проекция (Fg)хравны, аFrсовпадает сFn(рис. 2.12, б).
В более сложных случаях приходится проектировать векторы на несколько направлений и решать получившуюся систему алгебраических или дифференциальных уравнений.
Глава 3. Законы сохранения
3.1. Сохраняющиеся величины
Пользуясь законами Ньютона можно полностью описать движение материальной точки, если известны силы, действующие на нее и ее начальное положение. Однако часто бывает, что точное решение уравнений движения оказывается крайне сложным. В этих случаях удобнее пользоваться более общими законами –законами сохранения. Спомощью законов сохранения можно и без решения уравнений движения получитьряд важных данных о протекании механических явлений. Законы сохранения не зависят от характера действующих сил, поэтомус их помощью можно получить ряд важных сведений о поведении механических систем даже в тех случаях, когда силы оказываются неизвестными.
Рассматриваемые тела (или тело) будем называть механической системой. Тела, образующие механическую систему, могут взаимодействовать как между собой (внутренние силы) так и с телами, не принадлежащими данной систем (внешние силы).В случае,если внешние силы отсутствуют, система называется замкнутой.
Для замкнутых систем существуют такие функции координат и скоростей образующих систему частиц, которые сохраняют при движении постоянные значения, то есть сохраняются.
Наиболее важными из них являются энергия, импульс и момент импульса.
Законы сохранения этих величин для замкнутых систем тесно связаны с основными свойствами пространства и времени.
В основе сохранения энергии лежит однородность времени,то есть равнозначность всех моментов времени. Равнозначность следует понимать в том смысле, что замена момента времени t1 моментом t2 без изменения значений координат и скоростей частиц не изменяет механические свойства системы.
В основе сохранения импульса лежит однородность пространства, то есть одинаковость свойств пространства во всех точках. Одинаковость следует понимать в том смысле, что параллельный перенос замкнутой системы из одного места пространства в другое без изменения взаимного расположения и скоростей частиц не изменяет механические свойства.
Наконец, в основе сохранения момента импульса лежит изотропия пространства, то есть одинаковость свойств пространства по всем направлениям. Одинаковость следует пониматьв том смысле, что поворот замкнутой системы как целого не отражается на ее механических свойствах.
Законы сохранения можно получить исходя из уравнений Ньютона. Однако следует иметь в виду, что законы сохранения обладают гораздо большей общностью, чем законы Ньютона. Подчеркнем, что законы сохранения энергии, импульса и момента импульса являются точными законами, строго выполняющимися также и в релятивистской области.