4.3. Основной закон динамики вращательного движения. Момент силы

Запишем второй закон Ньютона для элемента массы m_iвращающегося с угловым ускорениемтела, рис. 5.

m_ia_i=F_i, (4.8)

где a_i– ускорение данного элемента тела, зависящее от расстояния до оси вращения (a_i=r_i), аF_i– суммарная сила, действующая на данный элемент тела. Умножим векторно «слева» данное уравнение на радиус векторr_iрассматриваемого элемента:

m_i [r_ia_i] = [r_iF_i] = N_i. (4.9)

Рис. 4.5. Рис. 4.6.

Величина N, стоящая справа, называется моментом силы относительно оси вращения, которую условно назовем осьюZ. Векторное произведение [rF] можно записать:

[rF] =nrFsin=n Fl, (4.10)

где – угол между направлением силыFи радиус векторомr,n– направление нормали к плоскости, в которой лежат вектораr иF. Величинаl=rsinназывается плечом силы относительно осиZи является кратчайшим расстоянием (перпендикуляром) от оси до направления действия силы, рис. 4.6 (осьZна рисунке направлена перпендикулярно плоскости листа вверх).

Далее запишем проекции левой и правой частей уравнения (4.9) на ось Zи просуммируем по всем частицам тела учитывая, чтоa_i=r_i:

 m_i r_i²  =   m_i r_i² = I = N_i = N, (4.11)

где N– суммарный момент всех действующих на тело сил, аI– момент инерции тела (4.5, 4.6).

Уравнение:

I=N(4.12)

называется основным уравнением динамики твердого тела. Из него, в частности следует, что если на тело не действуют внешние силы или суммарный момент их равен нулю, тоI= 0 и, поскольку=d/dt,

I=const, (4.13)

что является частным случаем закона сохранения момента импульса тела.

Отметим, что момент инерции человека, стоящего с прижатыми к телу руками примерно 1,2 кг·м², в стойке «арабеск» (ласточка) – 8 кг·м², а в горизонтальном положении – 17 кг·м². Этим на основании (4.13) объясняется изменение скорости вращения фигуристов и гимнастов при изменении позы.

Глава 5. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции

5.1. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции

Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Относительно всех инерциальных систем данное тело движется с одинаковым ускорениема. Любая неинерциальнаясистема отсчета движется относительно инерциальных систем с некоторым ускорением, поэтому ускорение тела в неинерциальной системе отсчета а будет отлично от а. Обозначим разность ускорений тела в инерциальной и неинерциальной системаха_in:

а–а =а_in. (5.1)

Для поступательно движущейся неинерциальной системы а_inодинаково для всех точек пространства и представляет собой ускорение неинерциальной системы отсчета относительно инерциальных систем. Для вращающейся неинерциальной системы а_in в разных точках пространства будет различным, и зависеть от расстояния до оси вращения относительно неинерциальной системы отсчета.Пусть результирующая всех сил, обусловленных действием на данное тело со стороны других тел, равнаF. Тогда согласно второму закону Ньютона ускорение тела относительно любой инерциальной системы отсчета равно

аm=Fилиа=F/m. (5.2)

Ускорение же тела относительно некоторой неинерциальной системы можно в соответствии с (1) представить в виде

а =а – а=F/m–а_in(5.3)

Отсюда следует, что даже при F = 0 тело будет двигаться по отношению к неинерциальной системе отсчета с ускорениема_in, то есть так, как если бы на него действовала сила, равнаяF_in= –mа_in. Это означает, что при описании движения в неинерциальных системах отсчета можно пользоваться уравнениями Ньютона, если наряду с силами, обусловленными воздействием тел друг на друга, добавить силы,равные произведению массы тела на взятую с обратным знаком разность его ускорений по отношению к инерциальной и неинерциальной системам отсчетаа_in, которые называютсясилами инерции:

F_in= –m(а–а) = –mа_in. (5.4)

Уравнение второго закона Ньютона в неинерциальной системе отсчета тогда будет иметь вид:

mа=F+F_in. (5.5)