3.8. Закон сохранения импульса

Рассмотрим теперь систему, состоящую из Nвзаимодействующих частиц, на каждую из которых, кроме того, может действовать внешняя сила. Внутреннюю силу, действующие наi– тую частицу со стороныk– той частицы обозначимF_ik, а суммарную внешнюю силу –F_i.Тогда система уравнений, записанная для всех частиц согласно второму закону Ньютона будет иметь вид:

N

dP₁/dt = F₁₂ + F₁₃ +...+ F_lk +...+ F_1N + F₁= F_1k + F₁

k = 2

N

dP₂/dt = F₂₁ + F₂₃ +...+ F_2k +...+ F_2N + F₂= F_2k + F₂

k = 1, k  2

………………………………………………………….. (3.30)

N

dP_i/dt = F_i1 + F_i2 +...+ F_ik +...+ F_iN + F_i= F_ik + F_i

k = 1, k  i

……………………………………………………………...

N

dP_N/dt = F_N1 + F_N3 +...+ F_Nk +...+ F_NN-1 + F_2N= F_Nk + F_N.

k = 1, k  N

Сложим вместе эти Nуравнений. Вследствие того, что для любой пары внутренних сил, в соответствии с третьим законом Ньютона будет выполняться условиеF_ik+F_ki= 0, справа останутся только внешние силы. Таким образом, мы приходим к соотношению

N

d/dt(P₁+P₂+ …+ P_k … + P_N) = F₁ + F₂ + … + F_k + …. + F_N = F_i (3.31)

I = 1

Сумма импульсов частиц, образующих механическую систему, называется импульсом системы. Обозначив этот импульс P, получим, что

N N

P=P_i=m_iV_i(3.32)

I = 1 I = 1

Из (3.31) и (3.32) следует, что при условии F_i = 0 импульс системы не меняется. Таким образом для замкнутой системы можно сформулировать закона сохранения импульса в следующем виде: импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

Отметим, что импульс остается постоянным и для незамкнутой системы при условии, что внешние силы в сумме дают нуль. В случае, когда сумма внешних сил не равна нулю, но проекция этой суммы на некоторое направление равна нулю, сохраняется составляющая импульса в этом направлении.

Точка С положение которой задается радиусом-векторомR_С, определяемым следующим образом:

R_C = (m₁r₁ + m₂r₂ + …. + m_Nr_N)/(m₁ + m₂ + …. +m_N) (3.33)

называется центром масс(илицентром инерции) системы.

Отметим, что в однородном поле сил тяжести центр масс совпадает с центром тяжести системы.

Если импульс системы частиц представить в виде произведения суммарной массы частиц на скорость центра масс системы:

P = mV_C , (3.34)

то скорость центра масс получается путем дифференцирования радиуса-вектора (33) по времени:

V_C=dR_C/dt. (3.35)

Для замкнутой системы Р=mV_C =const. Следовательно, центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным.

Система отсчета, в которой центр масс покоится, называется системой центра масс. Эта система, очевидно, инерциальная.Система отсчета, связанная с измерительными приборами, называется лабораторной системой.

3.9. Соударение двух тел

При соударении тел друг с другом они претерпевают деформации. При этом кинетическая энергия, которой обладали тела перед ударом, частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и в так называемую внутреннююэнергию тел. Увеличение внутренней энергии тел сопровождается повышением их температуры.

Существуют два предельных вида удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий. Абсолютно упругим называется такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие, немеханические, виды энергии. При таком ударе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энергию,и тела разлетаются со скоростями, величина и направление которых определяются двумя условиями – сохранением полной энергии и сохранением полного импульса системы тел.

Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальной энергии деформации не возникает; кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию; после удара столкнувшиеся тела либо движутся с одинаковойскоростью, либо покоятся. При абсолютно неупругом ударе выполняется лишь закон сохранения импульса, закон же сохранения механической энергии не соблюдается: имеет место закон сохранения суммарной энергии различных видов – механической и внутренней.

Рассмотрим наиболее простой случай – абсолютно неупругий удар двух частиц (материальных точек), образующих замкнутую систему. Пустьмассы частиц равны m₁ и m₂, а скорости до удара V₁₀ и V₂₀. В силу закона сохранения суммарный импульс частиц после удара должен быть таким же, как и до удара:

m₁V_l0 + m₂V₂₀ = m_lV+m₂V = (m₁ + m₂)V, (3.36)

где V– скорость обеих частиц после удара. Из (36) следует, что

V=( m₁V_l0 + m₂V₂₀)/(m₁ + m₂). (3.37)

Для практических расчетов нужно спроектировать соотношение (3.37) на соответствующим образом выбранные направления.

Для совершенно упругого удара будут соблюдаться как закон сохранения импульса, так и закон сохранения энергии:

m₁V₁₀+m₂V₂₀=m₁V₁+m₂V₂, (3.38)

(m₁V₁₀²)/2 + (m₂V₂₀²)/2 = (m₁V₁²)/2 + (m₂V₂²)/2. (3.39)