7.3.2. Истечение жидкости из отверстия

Применим уравнение Бернулли к случаю истечения жидкости из

небольшого отверстия в широком открытом сосуде. Выделим в жидкости трубку тока, имеющую своим сечением с одной стороны открытую поверхность жидкости в сосуде, а с другой стороны – отверстие, через которое жидкость вытекает (рис. 7.6). Скорость и высоту первого сечения примем равными v₁ и h₁, а второго – v₂ и h₂. Давления в обоих сечениях одинаковы и равны атмосферному. Кроме того,

скорость перемещения открытой поверхности в широком сосуде можно положить равной нулю, а v₂ = v. Отсчет высоты вести относительно отверстия: h₂ = 0, h₁ = h. Тогда уравнение (9) можно записать в виде:

gh= (v²)/2, (7.12)

откуда

v=2gh. (7.13)

Таким образом скорость вытекания воды из отверстия на глубине h под открытой поверхностью совпадает со скоростью, которую приобретает любое тело, падая с такой же высоты. Выражение (7.13) носит название формулы Торричелли. Следует помнить, что этот результат получен в предположении, что жидкость идеальна. Для реальных жидкостей скорость истечения будет меньше, причем тем сильнее отличается от значения (7.13), чем больше вязкость жидкости.

Струя жидкости, вытекающая из отверстия в сосуде, уносит с собой определенный импульс. Этот импульс сообщается вытекающей жидкости сосудом. По третьему закону Ньютона сосуд получает от вытекающей жидкости такой же импульси называется реакцией вытекающей струи. Если сосуд поставить на тележку, то в результате онапридет в движение в направлении, противоположном направлению струи.

На реакции вытекающей струи газа основано действие реактивных двигателей и ракет. Реактивное движение, не нуждаясь длясвоего осуществления в наличии атмосферы, используется для полетов в космическом пространстве.

7.4. Силы внутреннего трения

Идеальная жидкость, т. е. жидкость без трения, является в общем случае абстракцией. Всем реальным жидкостям и газам в большей или меньшей степени присуща вязкость или внутреннее трение. Вязкость проявляется в том, что возникшее в жидкости или газе движениепосле прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается.

Для выяснения закономерностей, которым подчиняются силывнутреннего трения, рассмотрим следующий опыт. В жидкость погружены две параллельные друг другу пластины (рис. 7.7),линейные размеры которых

Рис. 7.7.

а верхняя приводится в движение относительно нижней с некоторой скоростьюv₀. Опыт дает, что для перемещения верхней пластины с постоянной скоростью v₀ необходимо действовать на нее с вполне определенной постоянной по величине силой F. Поскольку пластина не получает ускорения, значит, в соответствии с первым законом Ньютона действие этой силы должно уравновешиваться равной ей по величине противоположно направленной силой, которая, очевидно, есть сила трения, действующая на пластину при ее движении в жидкости. Обозначим ееF_тр. Варьируя скорость пластиныv₀, площадь пластинSи расстояние между нимиd, можно установить, что

F= (v₀S)/d, (7.14)

где  – коэффициент пропорциональности, зависящий от природы жидкости и ее состояния, например, температуры. Он называется коэффициентом внутреннего тренияиликоэффициентом вязкости, или простовязкостьюжидкости (газа).

Нижняя пластина при движении верхней также оказывается подверженной действию силыF, равной по величинеF_тр. Для того чтобы нижняя пластина оставалась неподвижной, силуF_трнеобходимо уравновесить с помощью силыF'. Таким образом, при движении двух погруженных в жидкость пластин друг относительно друга между ними возникает взаимодействие, характеризуемое силой (1). Воздействие пластин друг на друга осуществляется, очевидно, через жидкость, заключенную между пластинами, передаваясь от одного слоя жидкости к другому. Если в любом месте зазора провести мысленно плоскость, параллельную пластинам (см. пунктирную линию на рис. 1),то можно утверждать, что часть жидкости, лежащая над этой плоскостью, действует на часть жидкости, лежащую под плоскостью,с силой F_тр, а часть жидкости, лежащая под плоскостью, в свою очередь действует на часть жидкости, лежащую над плоскостью,с силой F_тр, причем значения этих сил также определяются формулой (1). Таким образом, формула (1) определяет не только силу трения, действующую на пластины, но и силу трения между соприкасающимися слоями жидкости.

Если исследовать скорость частиц жидкости в разных слоях, то оказывается, что она изменяется в направлении z, перпендикулярном к пластинам (рис. 1), по линейному закону:

v(z) = (v₀z)/d. (7.15)

Частицы жидкости, непосредственно соприкасающиеся с пластинами, как бы прилипают к ним и имеют такую же скорость, как и сами пластины. Учитывая, чтоv₀/dв формуле (1) это естьdv(z)/dz, формулу (1) можно переписать в более общем виде:

F=Sdv(z)/dz ). (7.16)

Знак модуля поставлен по той причине, что если бы мы закрепили верхнюю пластину, а двигали нижнюю или изменили направление осиz на обратное, то производнаяdv(z)/dzстала бы отрицательной. Величина же v₀/d.всегда положительна. Формула (3) определяет модуль силы трения. Величина dv(z)/dz показывает, как быстро изменяется скорость в направлении осиz, и представляет собой модуль градиента скорости.

Формула (3) получена для случая, когда скорость изменяется по линейному закону, однако она остается справедливой и для любого другого закона изменения скорости от слоя к слою. В этом случае для определения силы трения между двумя граничащими друг с другом слоями нужно брать значение dv(z)/dz)в том месте, где проходит воображаемая поверхность раздела слоев.

Все сказанное относится не только к жидкостям, но и к газам.Единицей вязкости в СИ служит такая вязкость, при которой градиент скорости с модулем, равным 1 м/с на 1 м, приводит к возникновению силы внутреннего трения в 1 Н на 1 м² поверхности касания слоев. Эта единица называетсяпаскаль-секундой (обозначается Пас^-1). В системе СГС единицей вязкости являетсяпуаз(П). Между пуазом и паскаль-секундой имеется соотношение 1 Пас = 10 П. Вязкости некоторых жидкостей при комнатной температуре приведены в таблице.

Таблица

Вещество	Ацетон	Бензин	Вода	Глицерин
Вязкость, Пас	0,33	0,53	1,002	1499
Вещество	Керосин	Ртуть	Эт. спирт	Эт. эфир
Вязкость, Пас	1,8…1,9	1,55	1,2	0,23

Коэффициент вязкости зависит от температуры, причем характер этой зависимости существенно различен для жидкостей и газов. У жидкостей коэффициент вязкости сильно уменьшается с повышением температуры. У газов, напротив, коэффициент вязкостис температурой растет. Отличие в характере поведения при изменениях температуры указывает на различие механизма внутреннего трения в жидкостях и газах.