Часть I. Механика

Глава 1. Кинематика

1.1. Общие понятия

Кинематиказанимается описанием законов движения, не касаясь причин вызывающих это движение.

Механическим движением является перемещение тела относительно других тел. Простейшие виды движения это поступательное и вращательное движения. В первом случае прямая, соединяющая две любые точки тела перемещается параллельно самой себе, а во втором – все точки движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой – оси вращения.

Движение всегда должно происходить относительно других тел, т.е. не имеет смысла говорить о движении в пространстве, где нет других тел. Кроме этого движение происходит во времени. Для описания движения необходимо ввести понятие системы отсчета. Система отсчета – совокупность неподвижных друг относительно друга тел, относительно которых рассматривается движение и отсчитывающих время часов. Систем отсчета может существовать бесконечное множество и движение в каждой из них может иметь различный характер.

Для более детального описания движения с каждой системой отсчета необходимо связать систему координат, например декартову: три взаимно перпендикулярных направления и соответствующий масштаб для измерения расстояний. Поскольку мы коснулись проблемы измерений, рассмотрим ее немного подробнее. Измерить какую-либо физическую величину – значит сравнить ее с выбранным заранее эталоном. В принципе эталон можно выбрать для каждой величины, но очевидно, что различные величины связаны между собой определенными соотношениями или законами. Минимальный набор эталонов, при помощи которого можно представить любую другую величину (всего их 7) называют системой единиц. Системы, включающие в себя в качестве минимального набора таких величин единицы длины, массы и времени называются абсолютными. В настоящее время в физике принята международная система единиц СИ, где в качестве единицы длины взят метр, массы – килограмм, времени – секунда. Размерности длины, массы, времени обозначаются соответственно буквамиL,M,T. Размерности других физических величин записываются через них, например, следующим образом: [V] =L/T=LT^-1, [F] =ML/T²=MLT^-2и т.д.

Для упрощения описания ряда процессов использууются некоторые физические абстракции, такие как материальная точка – это точка где сконцентрирована вся масса тела, а размеры ее пренебрежимо малы по сравнению с другими размерами системы, абсолютно твердое тело – тело, расстояние между любыми точками которого не меняется и.т.д. Описать движение тела – это значит, в каждый момент времени определить координаты каждой его точки и ее скорость.

1.2. Векторные величины. Действия над векторами

Очень многие величины в физике являются векторами. Вектором называется величина, характеризующаяся численным значением (модулем) и направлением; сложение векторов происходит по правилу параллелограмма. Обозначаются вектора в печатных изданиях жирными, как правило, латинскими буквами (a, b, c, F, G …)или над буквой ставится стрелка. Численное значение вектора называется его модулем и характеризует длину отрезка:а = а.

Рис. 1.1

Умножение вектора на число. Произведением вектораана числоявляется векторb, модуль которогоb=a, а направление совпадает с направлением вектораа, еслибольше нуля и противоположно, если меньше нуля. Все сказанное пояснено на рис. 1.1, а. Нетрудно заметить, что умножение на –1 изменяет направление вектора на противоположное.

Из правила умножения вектора на число следует, что для любй вектор можно представить, как:

а = аe_a, (1.1)

где а – модуль вектора а, аe_a– вектор с модулем равным 1 и по направлению совпадающий с векторома. Называется онединичнымвектором или ортом вектораа. Для единичного вектора соответственно можно записать:

e_a=а/а. (1.2)

Единичные вектора или орты можно сопоставлять не только векторам, но и любым направлениям, например осям координат – e_x, e_y, e_z, нормали к поверхности –e_n(илиn), касательной к кривой –e_.(или).

Сложение и вычитание векторов. Как уже говорилось в определении, векторы складываются по правилу параллелограмма (рис. 1.1, б), однако из этого рисунка видно, что для сложения двух векторовa иb можно отложить второй вектор из конца первого. Вектор суммыстогда будет направлен из начала первого вектора в конец второго. Особенно удобно пользоваться этим правилом при сложении более чем двух векторов (рис. 1.2, в).

Два вектора считаются равными друг другу, если равны их абсолютные значения, а направления совпадают. Легко показать, что a+ba+b. При работе с векторами, их можно параллельно переносить из одной точки в другую, сохраняя при этом их длину.

Разность двух векторов a иbпросто получить, если к векторуаприбавить векторb,умноженный на (–1), рис 2, г:

a–b =a+ (–1)b. (1.3)

Аналогично модулю суммы, модуль разности векторов не равен разности модулей векторов.

Проекция вектора на направление.Направление, в отличие от вектора не имеет численного значения, а задает только направление. Обозначается обычно буквамиl, m, n… Проекция вектораа на направлениеlэто число:

а_l = асos . (1.4)

Проекция вектора на направление может быть больше нуля, если угол находится в пределах от 0до 90, равна нулю, если угол равен 90и отрицательна, если угол находится в пределах от 90до 180(рис. 1.2).

a

a_l > 0 a_l = 0 a_l < 0 l

Рис. 1.2.

Представление вектора через его проекции на оси координат.Если рассмотреть проекции произвольного вектораана оси координат (рис. 1.3, а), то очевидно, что он может быть записан следующим образом:

a = a_xe_x+ a_ye_y+ a_ze_z, (1.5)

где e_x,e_yиe_z– единичные вектора соответствующих координатных осей.

Y а Y б

a y Р c

a_y a_ye_y

a_xe_x r b

e_y e_y n 

О e_x a_x X О e_x x X a

а б в

Рис. 1.3.

Особо следует выделить так называемый радиус-вектор– это вектор, проведенный в произвольную точку пространства Р из начала координат (рис. 1.3, б). Он запишется следующим образом:

r=xe_x+ye_y+ze_z. (1.6)

Скалярное произведение двух векторов.Скалярным произведением векторовaиbявляется число

с = ab сos = а_b b = a b_a , (1.7)

где  – угол меду направлениями векторов. Здесь учтено, чтоaсos= а_b, иbсos=b_aТак же, как и проекция вектора на направление, скалярное произведение может быть больше нуля, меньше нуля или равно нулю в зависимости от значения угла.

Векторное произведение двух векторов. Векторным произведением векторовaиbявляется векторс, модуль которого

с = absin, (1.8)

а направлен он перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектора aиbв сторону, определяемую правилом буравчика при вращении его от вектораaк векторуb, рис. 1.3, в. Векторное произведение можно записать следующим образом:

c=nabsin, (1.9)

где n– единичный вектор, направленный по нормали к поверхности в направлении, определяемом, как было сказано выше.