книги / Статистический анализ временных рядов

Характеристическим вектором, соответствующим характеристи­ ческому корню 1, является (1, 1, ..., 1)'. Характеристические век­ торы., соответствующие характеристическим корням cos 2яsIT (s ф О, 772), равны

Если Т четное, то характеристическим вектором, соответствую­

Отсюда следует, что характеристические корни матрицы В являют-

4 _ ew Us+ 4 - e- ‘^ 4 =

Если эти векторы нормировать, они будут образовывать те же орто тональные матрицы, что и в разд. 4.2.2, а именно:

дит /-ю квадратичную форму к виду

S=1

(Заметим, что значения cos 2njs/T при s = 0 и s = Т совпадают.) Если наблюдения yt независимы и нормально распределены с нуле­ выми средними и дисперсиями а2 (у0 = 1/а2, ух = ... — ур =■* 0), то подобным же образом будут распределены и переменные zt.

Циклический сериальный коэффициент корреляции /-го порядка определяется как

где yt-j = yt-i+т, t = 1, j, j = 1, p. Он называется так потому, что квадратичная форма Q,- строится здесь с участием всех попарных произведений, отстоящих на / единиц значений наблюде­ ний yt, и при этом сами наблюдения уъ ..., ут как бы располагаются вдоль Некоторой окружности на равных расстояниях друг от друга.

Для большей наглядности можно расположить на единичной окружности Т равноудаленных друг от друга точек, так чтобы од­ ной из них была точка (1, 0). Веса cos 2JTSIT будут абсциссами по­ следних.

Преимуществом циклической модели является то, что при рас­ смотрении в такой модели коэффициента сериальной корреляции первого порядка соответствующие характеристические корни об­ разуют пары1>, за исключением, быть может, одного или двух, и все используемые матрицы имеют одни и те же характеристические век­ торы. В § 6.7 будет показано, что если все корни двойные, за исклю­

чением, быть может, одного или двух, то распределение гг или г\ можно записать в явном виде. Практическое неудобство добавле­ ния слагаемых вида угут состоит в том, что такие слагаемые никак не связаны с взаимной зависимостью элементов последовательности. Если при этом имеется тренд (который мы игнорировали), то подоб­ ные слагаемые могут оказаться большими по абсолютной величине

иэто поведет к ошибкам в оценке меры зависимости.

6.5.3.Модель, использующая последовательные разности

Займемся теперь другой системой матриц А0, Аь ..., Ар. В § 3.4 мы рассматривали использование сумм квадратов разностей для

является несмещенной оценкой для а2. Если средние значения мо­ гут отличаться от нуля (но yt по-прежнему некоррелированы), то отношение VJVq (q > г) можно использовать для проверки ну­ левой гипотезы о том, что тренд / (t) = %yt удовлетворяет условию

Д7'(9 = 0 , в предположении, что A9/ (t) — 0 . Если средние равны нулю, а величины yt могут быть коррелированы, то изменение раз­ ностей будет отражать эту корреляцию. В частности, для г = 1 математическое ожидание 2 (Т — 1)УХравно

Если последовательные пары значений yt будут положительно за­

Для проверки гипотезы о сериальной корреляции можно ис­ пользовать статистику, являющуюся отношением суммы квадратов

равной числителю дроби в правой части (40). Матрицей квадратич­ ной формы Qi является

0 0 0 0 ••• 1

xt = 0. Остальные значения Я являются характеристическими кор­ нями матрицы Ах, и, поскольку у нее существует всего Т характе­ ристических корней, эти значения Я образуют полную совокупность характеристических корней матрицы Ах. Для получения t-й компо­ ненты s-ro характеристического вектора удобно домножить выра-

Т еорема 6.5.4. Характеристические корни матрицы Аь ука­ занной в (41), равны cos JTS/Г, s = 0, 1, ..., Т — 1, а соответствую­ щие им характеристические векторы равны

cos (2T — 1) ns

2Г

С ледствие 6.5.1. Характеристические корни матрицы А/, по­ лучаемой по формулам (16) и (17) из матрицы k lt указанной в (41), равны cos njs/T, s = 0, 1, ..., Т — 1. Соответствующие им харак­ теристические векторы имеют вид (54).

Таким образом, и здесь все матрицы приводятся к диагональному виду с помощью одной и той же ортогональной матрицы. Переходя к преобразованным переменным, найдем, что /-я квадратичная фор-

а :5 . МОДЕЛИ: СИСТЕМЫ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 321

ма принимает в этих переменных вид

Матрицы, используемые в этом параграфе, тесно связаны с ма­

но, эти матрицы отличаются только элементами с индексами s, t < г, и (Т — s + 1), (Т — t + 1) < г. Матрицы С1( С2, С3 и С4 были при­ ведены в (43), (44), (45) и (46) § 3.4 (и обозначались там как Ах, А2, А3 и А4 соответственно). Мы имеем:

(61)« = ( * ) ' + 2 ( § < - Ч + / ) А''

6.5.4.Другая модель

Представляет определенный интерес брать в качестве Qx квад-

т

ратичную форму 2 Ш/<-ь поскольку она и есть желательная <=2

сумма запаздывающих произведений. Соответствующая матрица

Взяв эту матрицу в качестве исходной и воспользовавшись уравне­ ниями (18) (вытекающими из (16) и (17)), получим новую систему матриц. Так,

о 0 0 0 0 ... о