книги / Статистический анализ временных рядов

236 ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПАРАМЕТРОВ Гл. 5.

матрица этой квадратичной формы положительно полуопределена. Квадратичная форма

является суммой двух неотрицательных квадратичных форм и поэтому может равняться нулю, только если обе они обращаются в нуль. Поскольку F положительно определена, то из хТх =0 следует, что х = 0 . Поэтому, для того чтобы (105) равнялось нулю, необходимо, чтобы у'Му = 0. Последнее выполняется лишь при

У = 0- ■

Т еорема 5.5.11. Если в условиях теоремы 5.5.10 матрица F положительно определена, а матрица М из соотношения (94) не вырождена, то

в ZkT не будут одинаково распределенными, даже если и, одинаково

распределены. Если моменты четвертого порядка и, равномерно ограничены по t, легко показать, что будут равномерно ограничен­

ными и четвертые моменты слагаемых в Y~TZkT. Сложнее показать (с использованием неравенства Гёльдера), что если Л | ы«|2+е равномерно ограничены, то будут равномерно ограниченными и моменты порядка 2 + е этих слагаемых.

и все характеристические корни матрицы — В лежат в единичном

имеет в пределе нормальное распределение с нулевым средним и кова­ риационной матрицей

Невырожденность матриц F и М предполагается, так что обрат­ ная матрица в (117) существует. Если 2 вырождена, то вырожден­ ным будет и предельное нормальное распределение. Если zt есть

240 ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПАРАМЕТРОВ Гл. 5.

зуемые суммы квадратов и попарных произведений будут вклю­ чать отклонения от соответствующих средних. (Мы опустили знак ~ у F, Н, и L, так как в § 5.6 общий векторный случай не рассмат­

щимися к началу и концу ряда. Поскольку мы занимаемся теорией больших выборок, то этими «концевыми» эффектами можно пре­ небречь и использовать матрицу, на диагоналях которой стоят одинаковые элементы. Кроме того, можно изменить и нормировоч­

менты матрицы из (3). Из обычной теории регрессии можно вывес­ ти, что каждая из статистик в (10) имеет распределение, близкое к нормальному с нулевым средним и единичной дисперсией. Поэтому для проверки гипотез относительно или ус и построения дове­ рительных интервалов для этих параметров можно использовать обычные методы.

Пусть нас интересует некоторая совокупность коэффициентов,

приводит к соответствующим критериям и доверительным интер­ валам. (Можно, кроме того, использовать и F-распределение с g + h и Т — (р + д) степенями свободы.)

5.6.3. Проверка гипотез о порядке процесса авторегрессии

Порядок стохастического разностного уравнения определяется входящим в него (с ненулевым коэффициентом) переменным, име­ ющим наибольшее запаздывание. При той форме записи урав­ нения, которую’мы используем, порядок равен просто р (РР Ф 0 ). Если не считать влияния «независимых переменных» 2«, то непос­ редственно на значение yt влияет самое большее р запаздыва­ ющих переменных, именно y t - ь . . . . yt-p. Поэтому для прогно­ зирования следует использовать только такие переменные.

Р = г/<0), а У(() задается соотношением (17) из §5.4. [Уравнения (13) соответствуют (18) из § 5.4. ]

Рассмотрим сначала задачу выбора между решениями о том, что порядок уравнения равен р или р — 1 соответственно. Иными словами, требуется решить, будет ли |$р = 0. Мы поставим эту задачу как задачу проверки нулевой гипотезы Н: рр = 0 против альтернативы рр ф 0 . Критерий отношения правдоподобия будет здесь аналогичен двустороннему ^-критерию, использовавшемуся при исследовании регрессии. Мы отвергнем нулевую гипотезу, если

ка стандартного нормального распределения. При достаточно больших значениях Т уровень значимости этого критерия будет

= рр. Статистика критерия, стоящая в левой части (16), ведет себя

примерно как V T \ $ p\l(aVfpp)- Это утверждение можно сделать строгим и использовать его для доказательства состоятельности указанного критерия. Иными словами, можно доказать, что для заданной альтернативы рр Ф 0 вероятность отвергнуть нулевую гипртезу с ростом Т приближается к единице.