книги / Статистический анализ временных рядов

5.6. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЫВОДЫ О МОДЕЛЯХ АВТОРЕГРЕССИИ 243

Больший интерес может представлять изучение мощности ука­ занного критерия для последовательности конкурирующих гипотез

например, нормально распределенными). Тогда PP/(sj/а"рр) имеет в пределе нормальное распределение с единичной дисперсией и сред­

ним, равным ф/(а'|/г/рр). Для того чтобы сделать это утверждение (а вместе с ним и ряд последующих) строгим, надо было бы дока­

зать, что Y T (В — Вг) имеет в пределе нормальное распределение

при PP — 0 соответствуют вполне определенному разностному урав­ нению порядка р — 1, и они должны удовлетворять следующему

Соотношение (2 0 ) принимает при этом вид [см. (47) из § 5.2]

Это и доказывает лемму. а

В свою очередь доказанная лемма приводит к следующей теореме.

Рассмотрим теперь задачу проверки нулевой гипотезы о том, что порядок стохастического разностного уравнения равен т , про­ тив конкурирующей гипотезы, состоящей в том, что порядок этого

уравнения равен р (> т). Пусть матрица А* = (аЗу) разбита на блоки с выделением т и р — т строк и столбцов и пусть соответст-

вующим образом разбивается вектор Р, так что

(24)

Тогда статистика критерия отношения правдоподобия для про­ верки гипотезы о том, что pm+i = ... = Рр = 0 , будет монотонной функцией статистики

(25)

имеющей в случае истинности нулевой гипотезы предельное Х2-рас- пределение с р — m степенями свободы. Имеющаяся здесь аналогия с обычными регрессионными методами позволяет предположить, что мощность этого критерия зависит главным образом от некоторой функции параметров, измеряющей увеличение среднеквадратичной

леттом и Дианандой (1950), а также другими авторами. Для просто­ ты изложения положим у = 0 и используем в связи с этим матрицу А вместо А*. Если {yt} является стационарным процессом авто­ регрессии произвольного порядка, например р, с коэффициентами Pl> ..., Pm> 0 .......0 ) то величины

имеют нулевые средние и матрица их ковариаций (порядка р) рав­ на о2F = о2 [a (i — /)]. Из теоремы 5.5.5 вытекает, что gb ..., gp имеют в пределе совместное нормальное распределение. Если yt нормально распределены, то предельное совместное распределение любого набора случайных величин gt совпадает с распределением аналогичного набора случайных величин ayt. При этом совместное распределение случайных величин

является в пределе нормальным. При любом Т оно имеет нулевое среднее. Ковариации его вычисляются с использованием соотно­ шения

случайных величин hm+i/o2, hm-\-2 /о2...... hpla2 имеет нулевое сред­ нее и единичную матрицу ковариаций. В пределе при Т -*■ оо это распределение является стандартным нормальным.

Исходя из указанных результатов, статистики hj можно было бы

имеет ^-распределение с р — m степенями свободы. Для большей эффективности этой процедуры А. Уолкер (1952) предложил добав­ лять еще одну статистику с тем, чтобы предельное распределение

значениях остальных параметров было предложено использовать статистику (30) в несколько измененном виде с заменой неизвестных

параметров в (30) их оценками. Положим

т. т

указанные в § 5.4 (с заменой р на /л). Рассмотрим критерий 2J Лу/s4 /=m-f1

и убедимся в том, что при нулевой гипотезе он асимптоти-

Л

чески эквивалентен критерию (30). Действительно, поскольку pft

является состоятельной оценкой для Р* и plim ац!Т — о (г — /), Г-*о©

Поэтому

(34)plim (hr ^ h i) =

T-+OQ

Поскольку к тому же s2 (построенная в предположении, что поря­ док стохастического разностного уравнения равен т) является состоятельной оценкой для а2 при нулевой гипотезе, то из этих двух фактов и следует упомянутая асимптотическая эквивалент­ ность.

Т еорема 5.6.2. Если все корни характеристического уравнения, соответствующего стохастическому разностному уравнению, по

коэффициенту при Р/, если предварительно из системы нормальных

уравнений исключить первые / — 1 неизвестных р,-. Таким образом, мы имеем ситуацию, подобную соотношению (20) § 2.3, где b) =

= c)la)j. В данном случае коэффициент при Р/ равен Tsf—\, a S/_i определяется соотношением (45) при т = / — 1. Поэтому, как по­ казано в § 2.3, числитель уменьшаемого в (46) равен

Д оказательство. Это вытекает из лемм 5.6.2, 5.6.3 и из соотно­

шений (48) и plim s2 = <тг.и

Т-*оо

Если справедлива нулевая гипотеза, то каждый из этих крите­ риев при у = 0 имеет в пределе ^-распределение с р — m степеня­ ми свободы. Если у Ф 0, то матрица А заменяется на А*.

Эти статистики имеют нулевые средние и дисперсии а4. Они не коррелированы, а их предельное совместное распределение является нормальным. Однако если в таком определении h,- параметры р1( ...

.... Р,п заменить их оценками, то соответствующее предельное рас­ пределение изменится.

А. Уолкер (1952) рассмотрел предельную мощность перечислен­ ных критериев против альтернатив, сближающихся с нулевой ги­ потезой.

Указанная асимптотическая теория не изменяется при изменении крайних членов сумм. В частности, при у ф 0 матрицу А* можно заменить матрицей

стоящего параграфа соответствует уравнению (31) § 5.4 (с пере­ ставленными индексами р и т).

Пусть матрица С* разбита на блоки,

Нормальные уравнения для оценки Р (р), использующие в качестве оценок для а (/), / = 0 , 1....... р, статистики с], имеют вид

Решением (54) относительно —Ьр (р) является (53). Таким образом, с точностью до эффекта, вносимого крайними членами, оценка па­ раметра Рр в предположении, что порядок равен р, совпадает с коэффициентом частной корреляции между у( и yt+p при фиксиро­ ванных значениях yt+i, ..., yt+p- ь

Теперь следует рассмотреть вопрос о выборе надлежащей сте­ пени стохастического разностного уравнения. Аналогия с обычной регрессией (§ 3.2) наводит на мысль о том, что если исследователь

5.7. МОДЕЛЬ СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО 251

в состоянии установить наибольший р и наименьший т возможные порядки уравнения, то он может последовательно проверять гипо­ тезы Рр = 0, Рр_1 = 0 и т. д . Мы изучим этот вопрос в гл. 6 с по­ мощью видоизмененной модели, позволяющей использовать точную теорию, подобную теории § 3.2.

При больших Т можно использовать ту же теорию, что и в пред­ положении нормальности. Максимальный порядок р может быть выбран достаточно большим, скажем 7710 или 774, если значения i = р , р — 1, ..., m + 1, берутся достаточно малыми, такими,

как КГ-3. Ряды изучаются, как правило, по той причине, что на­ блюдения оказываются зависимыми. Поэтому минимальный поря­ док m следует выбирать положительным, но малым, например рав­ ным 2. Для проверки гипотезы Рр = 0 при больших выборках нуж­

на только оценка Рр (р). Фактически для выполнения процедуры

со многими решениями здесь нужны только оценки |3/ (/) для / = р и для тех меньших значений /, при которых гипотеза р/ = 0 еще при­ нимается, вплоть до значения /, при котором она впервые отвергает­

5.7.МОДЕЛЬ СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО

5.7.1.Модель

Пусть

Такой вид моментов первого и второго порядков определяется по существу только некоррелированностью величин vt. Соотношение (1) можно записать также в виде

252 ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПАРАМЕТРОВ Гл. 5.

2 ° (Л) 2 Лназовем производящей функцией ковариаций. Ковариация

h—~co

а (k) является коэффициентом при zk в этом разложении. Для про­ цесса скользящего среднего (1), имеющего ковариации (2 ), произ­ водящая функция ковариаций принимает вид

[Отметим, что это уравнение, а вместе с ним и соотношение (2 ) мо­ гут быть получены из леммы 3.4.1.] Если коэффициенты а 0 =

=1, <*1, ..., aqзаданы, то для вычисления ковариаций можно обра­

зовать произведение, стоящее в правой части (5), и найти коэффи­ циенты при соответствующих степенях переменной г. Поскольку а, действительны, то корни г1( ..., zq уравнения

(6 ) М (г) = О

либо действительны, либо образуют пары комплексно сопряженных

Если корень по абсолютной величине меньше 1, то кратности этого корня и корня, обратного ему, совпадают (по той причине, что в этом случае при обращении в нуль производной некоторого порядка в точке х,- та же производная будет обращаться в нуль и в точке l/xj). Таким образом, корни, отличные по абсолютной величине от единицы, можно объединить в пары (х/, 1Ixj). Более того, любой ко­ рень, лежащий на единичной окружности, должен иметь четную

кратность. Дело в том, что если |z | = 1 , например г — еа , то

ч

2 о (g) г87 является при этом спектральной плотностью, и поэтому г=-9