Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Статистический анализ временных рядов

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

47.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 7635 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 > Следующая >>>

6.7.

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЕРИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ

343

и равна 0 в противном случае. Поверхности постоянной плотности представляют собой части гиперплоскостей, заключенные в положи тельном ортанте:

(35)	2 x h = с, Хк > 0, h = 1, , . , , Я,
	h=\

для с > 0. Таким образом, условное распределение случайных ве личин xlt ..., хн при условии (35) будет равномерным распределением на соответствующем (Я — 1)-мерном правильном тетраэдре. (Если Н — 3, то это распределение равномерно на равностороннем тре угольнике.)

Соответствующая условная вероятность для коэффициента г, определенного в (33), равна

	н			я	н
	н			2	н
(36) Рг	г > Я 2 ч	= с] =	Рг	А=1	> R Е	*н =
(36) Рг	г > Я 2 ч	= с] =	Рг	Я	> R Е	*н =
	Н— 1	J			h=~A
				2 J *h
				Н	н
		=	Рг		*h > R
				/1=1	А=1
Здесь величины xjc,		..., хн!с имеют условное равномерное распре-
					н
деление	на (Я — 1)-мерном		тетраэдре		2 (xh/c)	= I, xhlc > О,

h=1

h = 1, ..., Я. (Это частный случай теоремы 6.7.2.) Таким образом, условная вероятность (36) не зависит от значения с, и из соображе

ний удобства можно положить с — 1. Это показывает, что коэффи-

циент г распределен независимо от суммы 2			хн-
		Н—1
Исходя из сказанного, займемся отысканием вероятности
(37)	Рг { / • > # } = Рг <2	> R 2	xh = i
	\h=\	Л=1

где случайные величины хъ ..., хн предполагаются равномерно рас пределенными на (Я — 1)-мерном тетраэдре

(38)	2 хь = 1, xh > 0, h — 1, . . . , Я.
	Н~1

Вероятность (37) равна отношению (Я — 1)-мерного объема тела, образованного пересечением тетраэдра (38) с множеством

(39)	2	>/?,
	А=1

к (Я — 1)-мерному объему правильного тетраэдра (38).

344 СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ Гл. 6.

Вершины правильного

тетраэдра (38) находятся в точках Х г, ...

..., Хн, причем все координаты точки

равны

нулю, за исклю

чением /-й координаты, которая равна

1, j — 1.......Я. Гиперплос

кость

vhxh = R

пересекает

ребро

X tX j

(определяемое соотно

Л=1

; -f Xj =

1, xk — 0 , k Ф

i, k Ф /, i Ф j)

или его продол

шениями

жение за границу положительного ортанта в некоторой точке

с координатами

(40)*,

- ^

- .

Vi —R

0 ,

jy i

Vi —

(Заметим, что Wij =

Wji.)

Характеристические числа удобно здесь

перенумеровать так,

чтобы

(41)

Уя < уя-1<

• • • <

v2 <

уг.

vhxh <

R <. vlf

Отметим,

что

при

этом

v# <

vi-

Если

v2 <

то указанная

гиперплоскость

h —1

каждое

из

ребер XxXj,

пересекает

j — 2.......Я, в промежутке между вершинами

и Xj.

Иными сло

вами, в этом случае координаты хг и Xj точек W\j неотрицательны и отсекаемое от тетраэдра (38) условием г >• R множество является тетраэдром с вершинами X lt W12, ..., Ww- Покажем, что для произ вольных значений R отсекаемое условием г R множество также может быть представлено с помощью тетраэдров. Тогда вероятность

(37)можно выразить через объемы тетраэдров. См. рис. 6.1 и 6.2.

Лемма 6.7.2. Пусть Т представляет собой (Я — 1 )-мерный тет

раэдр с вершинами в точках Vlt V2, V3, ...,	VH, a (H — 1)-мерный
тетраэдр T* имеет вершинами точки	VH, где точка

Области для v8 < R ^ vi.

6 .7 .

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЕРИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ

345

V\ лежит на прямой VxV2. Пусть длина отрезка УгУ1 равна kl дли нам отрезка УхУ2. Тогда (Н — 1)-мерный объем тетраэдра Т* ра

вен kl, умноженному на (Н — 1)-мерный объем тетраэдра Т. ш

Д оказательство. Пусть уъ .... уц—2 — произвольные	(прямо
угольные) координаты на (Н — 2 )-мерной гиперплоскости,	ортого

нальной к прямой УгУ2. Пусть h (уъ ..., ун-г) представляет собой длину части прямой, принадлежащей тетраэдру Т, проходящей че рез точку (ylt ...,уН- 2) параллельно ребру УгУ2, ah* (ух.......уН- 2) — длину части той же прямой, принадлежащей тетраэдру Т*.

(Если пересечение прямой с тетраэдром отсутствует,				то соответ
ствующая длина равна нулю.) Тогда h* (уъ ..., у н -2) =				k2 h	(yt, ...
.... у н -2) и объем тетраэдра Т* равен
	00	00
(42)	V (Т*) = J	• • • J h*(ylt	у н -2) dyx ... йун- 2		~
	' —00	—оо

оооо

= kl j • • • j h (ylt . . . . у н -2) dyx ... dyH- 2 =

—co —00

=&2 V (T).u

Лемма 6.7.3. Пусть T представляет собой (Н — 1)-мерный

тетраэдр с вершинами в точках Уг, У2, ..., Ун, а (Я — \)-мерный тетраэдр Т* имеет вершинами точки Уг, У2, ..., Ун, где точка V]

346 СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ Гл. 6.

лежит на прямой V^Vj, / = 2, .... Н. Пусть длина отрезка \'\У] равна k*j длинам отрезка V^Vj, / = 2, Н. Тогда (Н — \)-мерный

объем тетраэдра Т* равен k\ ... к*н, умноженному на (Н — ^-мер ный объем тетраэдра Т.

Доказательство. Эта лемма вытекает из леммы 6.7.2 по индукции. н

Пусть множество S

представляет собой пересечение (38) и (39).

Потребуем теперь, чтобы 2

*/, “

1 и предположим, что 2 < m <

< Я — 1. Если vOT+i <

Л=1

R <

v~, то вершины Х ъ ..., Хт лежатвЗ,

а вершины Хт+1.......Хн вне S. (Строго говоря,

в 5 лежит и

Хт+1,

если R =

Vm+i.)

Определим множества Uх, ..., 1)т следующим об

разом:

и г:

2 \ x h > R, x2> 0 , . , . , хн > 0 ,

h=1

и*

2 УьХк >

0 ,

*3 >

0 ,

. . . ,

xH > 0 ,

h=l

(43)

U3:

2 \ x h >

X\ <

0 ,

*2 <

0 ,

x4>

0 , . ..

• • •,

Хн ^ О

Um- {

vbxb>

хг<

0 ,

. . , , х т _

2 < 0

, хт>

h = \

> 0 ,

. . . . х н > 0 ,

U m :

2 y h x h > R ,

Х \ <С 9 , , , . , Х щ —1 <

0 , Х т ~ \~ \

> о,

...,

Хн > 0.

Каждое из них является тетраэдром с вершинами

Ut: X lt

Wn , Г 13,

. . . ,

U2: Wt l, X v

r 23,

. •.,

ww,

(44)

U3. W31,

W3%, X 3,

. ..,

W^H, j

m—1« Wm—1,1»

1,2» Wm—1,3»

• • •

>Wm—l,m~2> X m—\9

^«1»

^ m2»

Wm—\,m . . . ,

1.Я,

W/пЗу • • • >Wmtm—li

»• • . , WmH,

'6.7.

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЕРИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ

347

Поскольку X} >

в Uj- 1 и Xj <

в £//+/,

i >

1, то

(45) t/;_i П

Uj+i =

о,

i==l,

— I ,

/ =

т — 1( > 2)

пустое

множество.

Кроме

того,

(46)

U, с

i//_i

U t//+i,

j =

2, . . . .

m — 1 (>

2).

Поскольку

.... л:т _1

и xmj-i >

0, .... хн > 0 в(/т , соот-

ношения 2

vm+i

2 *A— 1

влекут за

собой

А =1

Л=1

неравенство

т — 1

(47)

(vA—

V m + l) Xh >

2 (V m +1 —

vft) xh >

Л = т

A = l

а из него вытекает, что х > 0 в t/m, так что

(48)

Л емма 6.7.4.

(49) S = t/x U

U •••

•••

если m нечетное,

(50) S = £/х и U ••• U ^ * - i - ( ^ i U ^ U	U * U
	вела m четное.

Д оказательство. И з соотношений (46) и (48) вытекает, что обе операции вычитания осмысленны. Поскольку 5 cz U1 и S П £// = 0, / > 1, то 5 содержится в правой части (49) или (50). С другой сто роны, всякая точка, принадлежащая правой части одного из этих соотношений, должна содержаться в 5. Действительно, всякая точка из правой части должна содержаться в одном из множеств t/2/~i (поскольку Uly U3 и т. д.— непересекающиеся множества) и не должна содержаться ни в каком из U2j. Ввиду соотношений (46) и (48) такая точка обязана тогда принадлежать части множества^, не содержащей точек множества U2f а потому лежит в 5. Это и до казывает лемму. ш

Л емма 6.7.5. Отношение (Н — 1 )-мерного объема тетраэдра U( к (Н — I)-мерному объему тетраэдра (38) равно

348	СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ			Гл. 6.
Д оказательство.	Координаты	вершины		Wq (/ Ф i) тетраэдра
11( указаны в (40). Отношение длины			ребра	XtWq к длине ребра
ХЬХ} равно — (V, — R)I(vt — vy)		для	/ < i	и (v, — R)!{vi — vy)

для / >■ i. Утверждение леммы вытекает теперь из леммы 6.7.3.^

Т еорема		6.7.4.	Распределение коэффициента г дается соотноше
ниями
	Рг {г >	У?} =	1,	R <	V//,
			т	Н
(52)	Рг {г>/?} =		1=1 /=1 ‘		vm+,	< Я < vm,	т — l, . ..
			1=1 /=1 ‘		'		L7	1
				/Vs*			, , . , /7	1,
	Pr {г > /?} =		0,	Vj < /?.
Д оказательство.				Утверждение теоремы вытекает из лемм 6.7.4,
6.7.5 и соотношения (45). я
Следствие 6.7.3.				Плотность распределения коэффициента				г
равна
(53)			(v; — г) ^ ~ 2		vm+] < г <	vOT, т =	1...........Я — 1,
(53)	(Я — 1) 2 ~~н----------- »				vm+] < г <	vOT, т =	1...........Я — 1,
		‘= 1	П (V/ — V/)

и равна нулю вне интервала (VH, Vx).

Распределение сериального коэффициента корреляции для слу чая, когда кроме двойных корней имеется еще и один простой, мож но получить из (52). Представляется удобным доказать некоторый более общий результат, а из него уже в качестве следствия получить интересующее нас распределение. Пусть ц1э ..., рм, обозначают здесь произвольные веса.

Т еорема 6.7.5.			Положим
		м		М	M+L
		2 ^		2 И/*/ +	Им+1 2	ZJ
(54)	S =	/=1		/=1__________/=М+1		’
(54)	S =	М		м+Г		’
		2	А	2	4
cue clf		/=1		/= 1		кйждая U3	КО-
cue clf	..., см-\-ь — ncjuouuumoLc			случайные	величины,	кйждая U3	КО-
У	У , , . .		U D a i 1 ttu
торы х распределена по стандартному нормальному закону N (0,							1).

6.7. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЕРИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ 349

Тогда

(55) Рг {/ > Т) =

P r { s > T + (Т — \|лд1+]) и}				Г ((М +		L)/2}	uL/2_1
				Г (М/2) Г (L/2)			( 1 + в) < " + ^
Д оказательство. Имеем
j	М			M+Z,			Af-f-Z. )
(56) Р г { / > Г } = Рг	2	^	+ цл + 1		2	г ) > . Т Ъ г )			=
1/=1				/=М+1			/=1	i
( М			М				A f+ L		^
~ Pr I S			т 2 2/ + (Г — ^ + 1) 2						г/ [ ^
I/ — 1			/ — 1				/= А !+ 1		J
							M+Z.
= Рг	2	w?					2	г,2
	/=1		> 7 '	+	(7’-F M + .)-fcsAf±i
	м		> 7 '	+	(7’-F M + .)-fcsAf±i
	2	2,2					2	4
	/=1						/=1
— Рг { s> T + (Т — Цм+i) и},

где и, есть отношение двух независимых случайных величин, имею щих распределения X2 с L и М степенями свободы соответственно.

Таким образом, случайная величина (М/Ь)и		имеет ^-распределение
с L и М степенями свободы. В (56) использован тот факт, что от-
ношение s распределено независимо от	м	г/-
	2
	/=*■
Следствие 6.7.4. Если L = 1, а М =	2Н, то
(57) Р г { / > Л =

=	?		Г(Я+ 4 -)м~,/г
=	J P r{s> T + (Г — Ц.2Я+ 0 и]-----------Y T \---------------- ^и.
	О	Г (Д) Г ( . 1 ) (!+ « )" + * /.
Для того чтобы вычислить (57)		при	s,	равном г,	используется
частный случай следующей леммы.
Л емма 6.7.6.
c / d	Г {(М + L)/2)
	Г {(М + L)/2)	и^		+ и Г ^	' 8** ==
(58) j	(с— du)M,2~x Г (М/2) Г (L/2)	и^	1	+ и Г ^	' 8** ==
0

^ ciM+L)/2~l (с + d)~L/2 .

350 СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ Гл. 6.

Д оказательство.		Произведя в левой части (58) замену
(59)		w =	с 4- d	и
			с	Т + Т ’
приведем ее к виду

(60)	Т {(М + Щ2)	м/2-1		( l - w ) M/2~'wL/2- ' dw.
	Г (М/2) Г (L/2)

Но последнее выражение есть в точности правая часть (58), посколь ку входящий в него интеграл представляет собой бета-функцию

В(М/2, L/2).

Следствие 6.7.5.

Г ( н + — )

(с — du)H 1 — :----- у -L и~1/а(1 + и Г {Н+1/,) du =

Г ( Я ) г ( Т )

= сн '/a(c + d) 1/г.

Т еорема 6.7.6. Пусть

		2	(z 2 h - \	+ z 2h)	+
(62)	г	h = 1		2Я4-1
(62)	г			2Я4-1
				2	4
				h=\
где z1.......z2n+i — независимые				случайные величины,			каждая из ко
торых распределена по стандартному нормальному закону N (0, 1),
и \н +1 < ун <. ... <		Vj.	Тогда
(63)Рг{г>/?}	= 2	---------{Vi-		R)7	U--------- v„+, <		^	v„,
	, - 1	У Vi —VH + , П			(V ,— V/)	Я	= 1 ,	. . . , # .

/=1

\Ф'1

Д оказательство. Заменим	в	правой части	(52)	на #
+ (Л — v«+i)«. Если v„+i < R	<	v„, то v„+i <	R + (R — v«+i)
ввиду того что vH+i < R и и >	0. Для vm+i ^ R + (R — vH+i) и

<. vOT, т — 1, .... n — 1, имеем

У/ » +

(64)	vm+l	-	Vm — R
(64)	^ —VW+I <		« < R — v H+}
	^ —VW+I <		« < R — v H+}
а для v„+ i < / ? + ( / ?		— v/y+])	M < v„ справедливо 0 < и <
	— #)/(/? — VH+J). Отсюда, используя (57), получаем перестанов-

6/7. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЕРИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ 351

кой порядка суммирования			по	т и i для	п = 1, ...,	Я — 1:
(65)	Р г { г > £ } =
	_ ,	(Vm-/?)/(« -V H + l )
=	2	$	2	tv, ~ н (/?~	V//+i)“]	X
	m=1 (vm+i-«)/(R^vH+1) ‘=1			П (V/ — V/)
				/5‘

		X			(»+ т)			• d u	-j-
				Г (Я) Г (-L )			(1 + и)Н+1/'-
+	(vn^R)№-vH+1) n	[V/ — R - ( R -				г я + 1 )«] H—\
+					н
					П (Vi— V/)
					/Й
			X		( я + 4 )			~xfi
			X					du =
				Г (Я) Г				(1 + U)H+t/*
						( т )
	[v; — 1? — (R — vH+I) и]И—\							X
- 2	S			н				X
1=1	о			П (Vi—V/)
				X	( - + т )				du.
				X		± \		(1 +«)"+•/.	du.
						± \		(1 +«)"+•/.
					Г (Я) г (т)
Это доказывает (63) для		л =	1,		Я — 1.			Чтобы доказать
справедливость (63) и для п =			Я,	необходимо произвести интегри
рование по тем значениям ц, для которых						/? + (/? — VH+I) и <			v«.

Чтобы обосновать справедливость (65) для этого случая, убедимся в том, что (52) при т = Я выполняется для /? < VH и соответствует

соотношению Рг {г > 7?} =	1 для Р <4	v«. Последнее же есть част
ный случай следующей леммы, щ
Л емма 6.7.7.
н	(Vi — X)Н- 1
(66)	(Vi — X)Н- 1	1.
(66)	н	1.
/=1	П (V/ — V/)

/5 ‘

352 СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ Гл. 6.

Д оказательство.		Если	в (52) положить			R — V H , получим
Рг {г >	v//} = 1. Если в этом соотношении заменить Я на Я +							1,
a vx,	VH на vx,	\ н, х, оно		примет вид
(67)	1	- 2	—		—	,
		1=1	(Vi — X) П ( V i — V/)
что совпадает с (6 6 ). Поскольку				это имеет место для			всех х <	v«
и левая	часть (6 6 ) представляет собой полином от х,						то равенство
(6 6 ) является тождеством			и сохраняется для всех х. в
Следует отметить, что			вероятность		Рг {г <	R} =	1 — Рг (г >
> R] может быть получена из леммы					6.7.7 и теоремы 6.7.4 и вы
ражается формулой,		подобной (52). (См. упр. 35.) Следует также от

метить, что теорему 6.7.4 можно доказать по индукции, используя теорему 6.7.5. Впервые соотношение (52) было найдено именно та ким методом Р. Андерсоном (1942) (при выводе совместного распре деления величин г и Q0). (См. упр. 36.)

Другой метод доказательства теоремы 6.7.4 состоит в обращении соответствующей характеристической функции. (См. Купменс

(1942).)	Именно
(6 8 )		Р г { г ># } = Рг	( н	(vf ~ R ) Xi> 0
(6 8 )		Р г { г ># } = Рг	2	(vf ~ R ) Xi> 0
и			l/=i
и		н
	%ехр	н		П 11 — 2it (\j — #)]
(69)	%ехр	и 2 (v/ • R)xj		П 11 — 2it (\j — #)]
	.	/=1		/=i

Ввиду того что корни \ образуют пары и имеется Я различных корней V/, то характеристическая функция (69) имеет простые по люсы и для ее обращения может быть использован обычный метод вычетов. (См. упр. 37.)

6.7.5. Распределения циклических сериальных коэффициентов корреляции

В циклической модели характеристические корни матрицы Ах равны cos 2яt/T, t = 1....... Т. Все они образуют пары, за исклю чением простого корня cos 2пТ1Т — 1 и (в случае четного Т) прос того корня cos 2п (772) !Т = —1. Поскольку единичный вектор в является здесь характеристическим вектором матрицы Ах, соот ветствующим характеристическому корню 1, то веса для остатков

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 7635 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202310.29 Mб4Статистические методы анализа и обработки наблюдений..pdf
#
12.11.202318.02 Mб6Статистические методы в строительной механике..pdf
#
12.11.20232.4 Mб1Статистические методы интеллектуального анализа данных..pdf
#
12.11.2023410.65 Кб3Статистические методы исследования качества объектов производства..pdf
#
12.11.20231.76 Mб0Статистические методы принятия решений с элементами конфлюентного анализа..pdf
#
19.11.202347.02 Mб4Статистический анализ временных рядов..pdf
#
12.11.202314.8 Mб1Статистический анализ геофизических полей..pdf
#
12.11.202314.63 Mб6Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1.pdf
#
12.11.202319.38 Mб0Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2.pdf
#
12.11.20236.88 Mб2Статистическое управление качеством технологических процессов..pdf
#
12.11.20239.13 Mб3Статическая выносливость элементов авиационных конструкций..pdf