книги / Статистический анализ временных рядов

стохастическому разностному уравнению (1) и все характеристи­ ческие корни этого уравнения лежат в единичном круге, то прог­

5.3.РЕДУКЦИЯ ОБЩЕГО СКАЛЯРНОГО УРАВНЕНИЯ

КВЕКТОРНОМУ УРАВНЕНИЮ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Для изучения стохастического разностного уравнения (1) § 5.2 его удобно записать в форме векторного уравнения первого порядка. Положим

Тогда указанное стохастическое разностное уравнение можно пере­ писать в виде

(1) из § 5.2, а все остальные являются тождествами. Таким обра­ зом, скалярное стохастическое разностное уравнение порядка р оказывается частным случаем векторного стохастического разност­ ного уравнения первого порядка.

Рассмотрим теперь общее стохастическое разностное уравнение первого порядка относительно вектора с р компонентами:

(5) У, + Ву<_, = nt.

Здесь и, — случайный вектор с нулевым средним и ковариационной

ч?

\о 6 .... к

Вэтом параграфе, а также в § 5.5 и 5.6 мы получим ряд результатов, справедливых в случае, когда все характеристические корни

х) Если существует р линейно независимых характеристических векторов, то (10) является канонической формой матрицы —В. Более общей является Жорданова каноническая форма, имеющая диагональные блоки вида

в которых Я — корень характеристического уравнения (8). (См. Халмош (1958) йли Тернбулл и Эйткен (1952). Они называют такую форму классической канони­ ческой формой.) Каждому из линейно независимых характеристических векторов будет при этом соответствовать ровно один такой блок. (См. упр. 17 и 18.)

5.3. РЕДУКЦИЯ ОБЩЕГО СКАЛЯРНОГО УРАВНЕНИЯ 205

матрицы В (или В) лежат в единичном круге. Так как вычисления с использованием общей жордановой канонической формы трудо­ емки, будем доказывать соответствующие результаты исходя из диагонального характера матрицы А. Что касается общего случая, то здесь мы предлагаем читателю обратиться к подстрочным приме­

Ряд в правой части сходится тогда и только тогда (в среднеквадра­

не зависит ни от t, ни от s. Поэтому ковариационная матрица раз­

Поскольку каждый элемент матрицы (16) является линейной комби­ нацией элементов (%i‘Kj)s+l, он будет сходиться к нулю при s -> оо,

и необходимым для сходимости ряда в (13), требуется невырожден­ ность ковариационной матрицы вектора уг )

Обратимся снова к соотношению (4), представляющему собой векторную форму записи скалярного уравнения порядка р. Пока­ жем, что корни характеристического уравнения (23) из § 5.2. сов­

легко вычислить последовательно, прибавляя к каждому (/ + 1)-му столбцу i-й столбец, предварительно умноженный на Я, i =* 1, ...

При этом получим

(19)

а это и есть характеристический полином из (23) § 5.2. Поскольку предполагается, что все корни этого полинома лежат в единичном круге, то таковыми же будут и характеристические корни матрицы

—В. Отсюда вытекает, что сумма

является определенной (т. е. ряд (2 0 ) сходится в среднем).

5.3. РЕДУКЦИЯ. ОБЩЕГО СКАЛЯРНОГО УРАВНЕНИЯ 207

(28) § 5 .2 . Таким образом, представление (28) можно получить еще одним способом. Именно, для этого следует найти матрицу С, столбцы которой являются характеристическими векторами мат­

рицы —В, и использовать (2 2 ). (См. упр. 2 0 .)

В случае общего векторного уравнения соотношение (13) можно

Из упр. 19 вытекает, что если имеются кратные корни, то при этом не существует р линейно независимых характеристических векторов и каноническая форма состоит из диагональных блоков, как это было указано в предыдущих примечаниях.

.... о (р — 1) — UP = fpi-

Если умножить (5) на транспонированное (7), а также на тран­

Беря последнее выражение при s — 1 и подставляя его в транспони­ рованном виде в (25) вместо Sy<_iy<, получим соотношение

Решение системы линейных уравнений (29) является, таким обра­ зом, еще одним способом отыскания матрицы F. При этом F0 = 2 можно взять в качестве начального приближения и применить

это даст нам возможность вычисления а (h).

В векторное уравнение независимые переменные можно ввести, полагая

При этом модель принимает вид

5.4.ОЦЕНКИ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ

ВСЛУЧАЕ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Одной из первоочередных задач при статистическом исследова­ нии модели стохастического разностного уравнения является оценка коэффициентов (Зь ..., и дисперсии <т2 по наблюдениям отрезка ряда уъ ..., ут. Если щ распределены нормально и модель описы­ вается разностным уравнением (1) из § 5.2 для всех /, то набор этих коэффициентов вместе с дисперсией а 2 (при — 0 ) полностью определяет распределение величин yt. Мы займемся более общей задачей оценки коэффициентов в модели

рч

известные числа. Тогда совместное распределение величин иъ ..., ит будет полностью определять совместное распределение наблюда­ емых величин уъ ..., ут (заметим, что zn , ..., zqU ..., Z\T, ..., гдт— заданные числа). Указанное предположение сделано для удобства отыскания оценок максимального правдоподобия. (В гл. 6 рассмот­ рены трудности, возникающие при отсутствии такого предположе­ ния.) Заметим, что любая процедура оценивания для этой модели является оценкой максимального правдоподобия или ее незначи­ тельной модификацией. Во всяком случае при больших Т влияние такого предположения невелико, а в асимптотической теории оно и вовсе не требуется. Оценки максимального правдоподобия и соот­ ветствующая асимптотическая теория для рассматриваемой модели были предложены Манном и Вальдом (1943b).

Обозначим

(2)

Полагая р0= 1, уравнение (1) запишем в виде

210 ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПАРАМЕТРОВ Г л . 5.

При фиксированных значениях #~р+ь • ••, Уо соотношение (3) опре­ деляет взаимно однозначное отображение переменных уъ ут на переменные иъ ...» ит. Якобиан этого преобразования есть

1 0 0

Отсюда следует, что при заданных значениях у~р+\, ..., у9 сов­ местная плотность вероятностей значений ylt ..., ут есть

Если это выражение рассматривать как функцию правдоподобия по отношению к параметрам р и у, то для получения оценок мак­ симального правдоподобия для этих параметров необходимо мак­ симизировать последнее выражение на множестве всех возможных значений Р и у. Для этого в свою очередь достаточно найти значе­ ния параметров Р и у, при которых достигает минимума сумма

Таким образом, мы приходим к обычной задаче наименьших квад-

• А

ратов. Нормальными уравнениями относительно значений Р == Р

л

иу = у, минимизирующих сумму (7), будут здесь уравнения

(8)i H $ « . » ( - ! ! ) - £ * ( » -

Их можно записать в матричной форме следующим образом:

Оценкой максимального правдоподобия для а2 будет

(И)> = - f - S ( f c + P'y*-' + v V -

Непосредственно видно, что плотность (6 ) зависит от значений наблюдаемых переменных через выражение (7). Последнее же равно

i = 1, • • •, р,

212 л и н е й н ы е Мо д е л и с к о н е ч н ы м чи сло м п а ра м етро в Г л . 5.

Суммы по t в (19), соответствующие одному и тому же значе­ нию разности (i — /), отличаются только добавлением или вычита­ нием крайних членов. Эти суммы можно различным образом видо­ изменять, Например, можно вместо (19) записать уравнения

Из соображений удобства и для согласования с последующим изложением определим входящие сюда величины следующим обра­ зом:

..., ут) и уравнениями (2 0 ), (2 1 ), (2 2 ) (включающими только наблю­ дения уи .... ут) становится незначительным. При этом последние уравнения обладают большей симметрией. Каждая диагональ матрицы коэффициентов состоит в этом случае из одинаковых эле­ ментов. Что касается правых частей, то они образованы из тех же элементов, к которым добавляется еще один.