книги / Статистический анализ временных рядов

Индекс m в (27) соответствует 2g + 1 в (32) и 2q + 2 в (33). Оценки наименьших квадратов коэффициентов даются соотношениями

т

а (va) = — 2d У< cos

(34)

(35)а0 = у

и, если Т четное,

+ йг/г(— I)1-

Циклический сериальный коэффициент корреляции /-го порядка, использующий остатки от подобранного периодического тренда, есть

В некоторых случаях матрицы В/ таковы, что P t является квадра­

тичной формой от разностей между у и некоторой более общей функ­ цией регрессии. При этом

(3)В;- = (I — V* (V*'V*)-1 V*') А, (I — V* (V*'V*r‘ V*'),

(4)Р , = (у — V* (V*'V*)_1V*'y)' А,- (у — V* (V*'V*)-1 V* у),

где V* — матрица с Т строками и рангом, равным числу ее столб­ цов. Если В/ = А/, мы будем писать Q/ вместо Р/ и /у вместо S/. В тех случаях, когда В/ задается соотношением (1), вместо Р/ и S/

будем писать соответственно Q] и г]. .

Теорема 6.7.1. Если вектор у имеет распределение N (V*p, 2),

где

(последнее выражение предполагается положительным), так что она не зависит от параметров у0, •••* Yi-i- Это равносильно тому, что ус­ ловное распределение величин г,-при заданных значениях Q0 и гъ ...

..., г/ 1 не зависит от у0, Yi—i. Именно это условное распределе­ ние будет использовано для проверки нулевой гипотезы о том, что порядок зависимости меньше i (т. е. у,- — 0). Получать указанное распределение оказывается удобным, приписывая мешающим па­ раметрам значения у„ — 1* у; = ... = y{_i = 0. Это условное

распределение при у,- = 0 не зависит от Q0 (поскольку rlt ..., rt инва­ риантны относительно преобразования масштаба yt -*■ cyt).

Следующие лемма и теорема будут полезны в дальнейшем.

Л емма 6.7.1. Условная плотность распределения величины Q,

ytlc2), m. e. с условной плотностью распределения Qt при заданных

щую с совместной плотностью распределения случайных величин

..., t — 1, совпадает с условной плотностью распределения величины c2Qi для с2 = 1/Q0 при заданных значениях c2 Q0 — 1 и г/ = c2Q/ = = bj (с заменой параметра у, на у,/с2 = угQ0). Этим доказана пер­ вая часть теоремы. Если у,- = 0, легко проверить, что условная плотность (9) не зависит от Q0. Для этого достаточно подставить в (7) и (8 ) аргументы выражения (9).

Если У! = ... = уг = 0, из теоремы 6.7.2 вытекает, что совместная условная плотность распределения гъ ..., rt при заданном значении Q0 (являющаяся произведением i условных плотностей вида (9)) не зависит от Q0. Таким образом, условная плотность величины rt при заданном значении Q0 не зависит от Q0-H

Следует отметить, что лемма 6.7.1 и теорема 6.7.2 также спра­ ведливы для Q; и г].

ООоо

В принципе для получения совместного распределения квадра­ тичных форм Р0, Plt ..., Рр можно взять обратное преобразование Фурье от найденной характеристической функции. Однако на прак­ тике это может быть выполнено далеко не всегда. Для нахождения совместного распределения статистик s,, ..., $р можно воспользо­ ваться соотношением

- WPPQ< 0 }-

6.7. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЕРИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ 339

Многомерную характеристическую функцию статистик Рг — ЩРо> ...

Рр — wpP0 получим, используя теорему 6.7.3, если в последней

ПОЛОЖИМ t0 = — ... — wptp.

6.7.3. Канонические формы

Как мы уже видели в § 6.5, если v, является t-м нормированным характеристическим вектором матрицы В, а <р, — соответствующий ему характеристический корень, то

= Оу t Ф syне обязательно выполняются, то можно в качестве новых характеристических векторов взять линейные комбинации векторов \ ty соответствующих общим характеристическим корням, и сделать это таким образом, что условия ортогональности будут выполнены.) Если столбцы матрицы V являются характеристическими векторами матриц В0, ..., Вр, отвечающими характеристическим корням Ф01, ...

где матрица Ф, диагональна и имеет на диагонали элементы <р/,, ...

...»Ф/T* Если В0 = I, то квадратичные формы Pj могут быть записаны в виде

где у = Vz. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы матрицы Вх, ..., Вр имели одни и те же характеристические векторы, состоит в выполнении соотношения

(См. упр. 31.)

Пусть Aj — диагональная матрица, определяемая соотношением V'A/V = Ah j = 0, 1, матрица V* размера Т X m состоит из столбцов, являющихся какими-то пг столбцами матрицы V. При этом столбцы матрицы V* будут характеристическими векторами матриц А/. Они будут соответствовать пг характеристическим кор­ ням матрицы А/, которые представляют собой пг диагональных эле­ ментов матрицы А/, / = 0, 1, ..., р. Мы будем предполагать, что ха­ рактеристические корни и характеристические векторы матриц А/ перенумерованы таким образом, что указанные пг столбцов матри­ цы V являются пг ее последними столбцами, а соответствующие им характеристические корни матрицы А/ образуют диагональную

340 СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ Гл. 6.

матрицу А/, являющуюся правой нижней угловой подматрицей разме­

(23)V' (I _ V*V*')

о

где компоненты вектора p перенумерованы числами от Т — m + 1 до Т.

В случае циклической модели вектор е = (1 .......1)' является ха­ рактеристическим вектором матрицы А/, соответствующим харак­ теристическому корню 1 (Г-й корень), / = 0 , 1, ..., р. Каноническим

342 СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ Г л. 6.

6.7.4. Распределение сериальных коэффициентов корреляции при двойных корнях для случая независимых наблюдений

Для реализации процедур, полученных в § 6.3 и 6.4, нам необ­ ходимы условные распределения статистик rt при заданных значе­

не зависит от у0. Рассмотрим в этой связи (маргинальное) распреде­

мы. Если характеристические корни образуют пары, распределе­ ние сериального коэффициента корреляции получить довольно просто. Ввиду того что это распределение может быть использо­ вано и для других сериальных корреляций, проведем исследова­ ние в общем виде и поэтому опустим индекс. Позже мы обсудим условное распределение случайной величины г, при заданных значениях гх....... /7_ь

Предположим, что Т — m — 2Я и что имеется ровно Я различ­

Это будет, например, при нечетном Т в случае циклического сериаль­ ного коэффициента корреляции первого порядка, использующего остатки от среднего значения, причем m = 1 и vft = cos 2nh/T. Положим

h=1

Если у/ = 0, / > 0, то случайные величины zt независимы и имеют единичную дисперсию (у0 = 1). При этом условии случайные вели­ чины xlt ..., хн также независимы и каждая из них имеет Х2-рас- пределение с 2 степенями свободы. Плотность распределения слу­

чайной величины xh равна - 1 - e~Xh>2, а совместная плотность распре­

деления случайных величин хг, ..., хн имеет вид43