книги / Статистический анализ временных рядов

6 .4 . ВЫБОР ПОРЯДКА ЗАВИСИМОСТИ 303

средством соотношений (6 ) исследователь приписывает определен­ ные значения вероятностям решений о том, что порядок зависи­

Статистическая процедура для этой задачи со многими решени­ ями состоит в следующем. Имеется набор р — т + 1 попарно не пересекающихся, составляющих полную группу областей в про­ странстве значений Q0, ..., Qp (или в исходном пространстве зна­ чений у1г ..., г/г). Мы обозначим эти области Rm, Rm+ь ..., Rp- Если выборочная точка попадает в Rit то принимается гипотеза Н(. Приписывание уровней значимости приводит к тому, что эти облас­

Иными словами, если порядок зависимости меньше г, то вероятность ошибок от приписывания зависимости порядка i не зависит от того, каков именно истинный (более низкий) порядок.

Рассмотрим сначала альтернативы, утверждающие факт положи­ тельной зависимости. Это соответствует значениям yt <С 0. (Позд­ нее мы рассмотрим несмещенные процедуры для yt Ф 0 .)

Зафиксировав указанные ограничения, потребуем, чтобы обла­ сти Rt были наилучшими в том смысле, чтобы были максимально возможными вероятности попадания в Rt при условии, что верна Hh i = т + 1, .... р. Мы одновременно пытаемся максимизировать вероятности попадания в р — т различных областей (каждую для всех отрицательных значений соответствующего параметра). Далее будет показано, что в указанных выше условиях при подборе одной из областей с целью максимизации вероятности попадания в эту область не имеет значения то, как выбираются остальные области. Этот факт позволяет оптимизировать области Rm+1, Rp одно­ временно.

Ограничения (5) или эквивалентные им ограничения (6 ) приво­ дят к тому, что каждое множество /?,• или, что равносильно, каждое множество Rt (J Ri+i Rp — область отклонения гипотезы

Щ, р - 1.....i — имеет (ввиду свойств достаточности и полноты) ней­

мановскую структуру. Иначе говоря, при i = т -f 1, ... , р,

Если же какое-нибудь из у,-+ь ..., ур не равно нулю (т. е. если по­ рядок зависимости больше t), то вопроса о значении у,- не возни­ кает и мы можем считать yt Ф 0 .

где S{+1 — множество, дополнительное к Si+t.

Смысл леммы состоит в следующем. Каким бы образом мы ни вы­

Доказательство леммы проведено в разд. 3.2.2 с использованием коэффициентов регрессии. Там же дано подобное доказательство сформулированной ниже леммы 6.4.2. Оба эти доказательства опи­ раются только на свойства полноты и достаточности. При этом соот­ ветствующую терминологию и обозначения можно заменить терми­ нологией и обозначениями настоящего параграфа.

в котором ct (Qo, ..., Q;_i) выбирается так, чтобы условная вероят­

Rt — произвольное не пересекающеесяс Si+i множество, для которого

(11) Рг{Яг|У< = Уг-н = ••• =Y P = 0 } = ft.

симальное значение на множестве R it определяемом как пересечение

Эта процедура сводится, по существу, к следующему. Поочередно

будет решено, что верна Hh либо будут приняты все гипотезы вплоть до Ят . Таким образом, указанная процедура является последова­ тельностью критериев. Этот факт обусловлен требованием незави­ симости от истинного порядка вероятности правильного решения О том, что порядок зависимости меньше данного натурального числа.

306 СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ Гл. 6.

Рассмотрим теперь процедуры, использующие двусторонние критерии. При этом будем накладывать требование несмещенности.

идти на компромисс между нашими стремлениями не переоце­ нить порядок зависимости и сохранить чувствительность процедуры к ненулевым коэффициентам. Альтернатива состоит здесь в выборе Рр < Рр—! < ••• < рт +\- Причем, если для больших значений i значения р, задавать весьма малыми, можно позволить себе в ка­ честве максимального порядка р брать достаточно большое число.

Результаты этого параграфа приводят к критерию для проверки

рочная точка попадает в любую область, отличную от R m. Процедура, указанная теоремой 6.4.1, состоит из односторонних

критериев для проверки гипотез против односторонних альтерна­ тив, утверждающих факт положительной зависимости. Если аль­ тернативой к независимости служит отрицательная зависимость (Y; > 0), в этом случае также употребляется процедура, аналогич­ ная предыдущей, но состоящая уже из односторонних критериев вида (15) § 6.3. Кроме того, можно сконструировать состаэные

процедур со многими решениями, используемых для определения степени полиномиального тренда, применимы и в настоящем слу­ чае. С теоретической точки зрения преимущество этой процедуры состоит в том, что исследователь контролирует здесь вероятность ошибочного завышения порядка зависимости. Неудобством ее являет­ ся то, что максимальный порядок зависимости р должен быть установлен заранее. Частично это неудобство можно обойти, пола­ гая значение р весьма большим, но выбирая зато вероятности pt очень малыми для t, близких к р. Иными словами, устанавливаются весьма малыми значения вероятностей ошибочного решения о том, что порядок зависимости равен г, если это i велико.

Альтернативой к указанной последовательной процедуре явля­ ется процедура, использующая критерии значимости в обратном порядке. Если считается, что порядок зависимости не меньше т, то исследователь может проверить сначала гипотезу ym+i = 0 с уровнем значимости ет+1. Если эта гипотеза будет принята, то вы­ носится решение о том, что порядок зависимости равен т. В против­ ном случае проверяется гипотеза ут +2 = 0. Эту процедуру можно продолжать таким образом и дальше, используя указанную после­ довательность критериев значимости. Если впервые будет принята гипотеза у( = 0, то порядок зависимости принимается равным i — 1. Если гипотеза у, = 0 отвергается, то переходят к проверке гипоте­ зы у,+1 = 0. Если при этом отвергаются все гипотезы вплоть до гипотезы ур — 0 с номером р, заданным заранее, то порядок зави­ симости считается равным р. Преимущество этой процедуры состоит в том, что не всегда требуется вычислять в<;е р + 1 квадратичных форм, поскольку последовательность критериев может оборваться прежде, чем придется проверять гипотезу ур —0. Ввиду этого вопрос о том, как следует выбирать здесь р, является несуще­ ственным.

В разд. 3.2.2 было указано, что соответствующая процедура для определения степени полиномиального тренда имеет опреде­ ленное практическое неудобство. Это неудобство состоит в том, что если коэффициент при степени i имеет достаточно большое зна­ чение, то возникает тенденция к завышению оценок дисперсии ошибки, используемых для проверки ут+и .... у/-ь Это в свою очередь ведет к возрастанию вероятности принятия одной из гипо­ тез ут+1 = 0 , ..., y,_i = 0 . В результате, может увеличиться ве­ роятность ошибочного занижения степени полинома. Фактически чем больше yt, тем больше и вероятность такой ошибки (если счи­ тать остальные у,- фиксированными). Этот случай проверки порядка зависимости представляется более трудным для анализа. Если зави­

308 СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ Гл. 6.

симость соседних наблюдений, отстоящих на две единицы времени,

может быть ошибочно решено, что порядок зависимости равен еди­ нице, в то время как на самом деле он не меньше двух.

По-видимому, такую процедуру можно использовать, если для некоторого частного значения i значения параметров ym+i, .... v<-i будут достаточны для того, чтобы нельзя было решить, что хотя бы один из них будет равен нулю без того, чтобы у{ Ф 0. Например, такая процедура может оказаться подходящей для случая, когда значения параметров Y; монотонно убывают (или просто быстро убывают). Однако никакого теоретического исследования оптималь­ ных свойств здесь не имеется.

До сих пор в этой главе мы предполагали, что <$у1 — ... = = %ут = 0 . Если средние отличны от нуля, но известны, то при тех же предположениях в качестве объекта изучения можно рассматри­ вать разности переменных и их математических ожиданий. Знание средних является, однако, предположением, далеким от реально­ сти. Мы рассмотрим случай неизвестных средних в § 6.6, после того как обсудим более конкретные модели в § 6.5. (См. Т. Андер­ сон (1963).)

6.5.МОДЕЛИ: СИСТЕМЫ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ

6.5.1.Общее обсуждение

Плотности распределений случайных величин уъ ..., ут, со­ ставляющих наблюдаемые временные ряды, которые мы здесь рас­ сматриваем, предполагаются нормальными. В показателе экспонен-

коэффициенты корреляции, получаемые из таких сумм, равны /у = = QjlQo- В этом параграфе будет предложено несколько различных систем матриц А0, Аь ..., Ар. В каждой из них Q/ будет близка к

2 ytyt4 , как это предполагалось в §6.2. Коэффициенты гъ ..., гр

в каждой из этих систем можно использовать для проверки гипотез

систем матриц, рассмотрим сначала множества матриц в общем пла­

Поскольку эти соотношения можно записать в виде (А — l sl) vs = О и при этом vs Ф 0, то матрица А — Я,81 должна быть вырожденной.

Если матрица А симметрична (а это мы предполагаем для квадра­ тичных форм у'Ау), то все корни (2) и компоненты характеристи­ ческих векторов будут вещественными. Если все эти корни различ­ ны, то характеристические векторы ортогональны. Если m корней совпадают и равны, скажем, к, то при этом существует пг линейно независимых решений уравнения (А — AJ) v = 0. Каждое такое множество может служить совокупностью характеристических век­ торов, соответствующих m-кратному корню к. Удобно выбирать это множество таким образом, чтобы входящие в него векторы были взаимно ортогональны. При этом они необходимо будут ортогональ­ ны и остальным характеристическим векторам. Если каждый ха­ рактеристический вектор нормировать так, чтобы сумма квадратов его компонент равнялась 1, то получим соотношения

.Если умножить обе части (5) слева на матрицу V', то придем к соот­ ношению

Иными словами, ортогональная матрица V диагонализирует сим­ метрическую матрицу А. При этом квадратичная форма у'Ау приво­ дится с помощью преобразования у = V x к диагональному виду х'Ах. Мы используем эти преобразования для того, чтобы упростить задачу отыскания распределений квадратичных форм и сериальных коэффициентов корреляции.

Эта матрица имеет элементы, равные 1/2, на диагоналях, распо­ ложенных соответственно на / единиц выше и ниже главной диаго­

нали. Последние соответствуют квадратичной форме 2 */*//<-/> стоя‘

щей в показателе экспоненты плотности стационарного гауссовского процесса, имеющего порядок не ниже, чем /. Кроме того, матрица А; имеет элементы, равные 1/2, на диагоналях, расположенных соот­ ветственно на Г — / единиц выше и ниже главной диагонали. Вообще

... 4 - 2гВ~(2г‘~2) 4- в-2'

(18)А4 = 8Ai — 8А? 4 - 1,