книги / Статистический анализ временных рядов

Коэффициенты корреляции для чисел солнечной активности по Крэддоку.

Изучение данных солнечной активности было предпринято так­ же Крэддоком (1967), использовавшим ежегодные наблюдения с 1700 по 1965 г. График результатов наблюдений представлен на рис. 5.1. Соответствующие корреляции приведены на рис. 5.2. Крэд­ док производит подбор различных моделей авторегрессии для р

от 1 до 30. На рис. 5.3 представлен график отношения сгр/сто (в про­

центах), где сгр — оценка дисперсии на основании модели порядка

Рис. 5.3.

Остаточная вариабельность в моделях авторегрессии.

&9. н е к о т о р ы е п ри м е р ы 275

Приведенные данные весьма определенно указывают на то, что и Р2 должны быть взяты отличными от нуля. Далее, представляется

сомнительным, чтобы значения Р3, ...» р9 были равны нулю. Зна­ чения р10, ..., р18 более похожи на нулевые. Наконец, можно за­ ключить, что р19, ..., рзо будут нулями. В формальных терминах процедуры со многими решениями, описанной в конце разд. 5.6.3,

оценки коэффициентов процессов авторегрессии д л я индекса БЕВЕРИДЖА ЦЕН на ПШЕНИЦУ с ВЫДЕЛЕННЫМ ТРЕНДОМ

Уиттл (1954) изучал солнечную активность на базе полугодовых данных за период с 1886 по 1945 г. и подыскал для них модель авто­ регрессии, использующую запаздывания на 1 и 22, т. е. на 6 меся­ цев и 11 лет. Было проведено и много других статистических иссле­ дований.

([Рядами Вольфа и Уиттла занималась также Шерф (1954). Она подобрала модель авторегрессии с запаздываниями на 1, 2 и 9.

В качестве другого примера рассмотрим ряд Бевериджа индек­ сов цен на пшеницу с выделенным трендом, затабулированный в приложении А.1 вместе с его корреляциями. Оценки коэффициентов процесса авторегрессии порядка р даны в табл. 5.5 для р = 2, 3, ...

.... 8. В предпоследнем столбце этой таблицы приведены значения

статистики V T Ьр (р), которые могут быть использованы для про­ верки нулевой гипотезы рр — 0 против альтернативы р0 Ф 0, в пред­

276 ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПАРАМЕТРОВ Гл. 5.

положении, что порядок процесса не выше р. Следует отметить, что при любом разумном уровне значимости нулевая гипотеза Р2 =

с уровнем значимости 1 %. Если полагать, что порядок не может быть больше р для р =6 ,7 или 8, и использовать предложенную ранее процедуру со многими решениями, то решение о том, что порядок равен р, принималось бы при уровне значимости, не меньшем 0.025. С другой стороны, если использовать процедуру со многими реше­

нята и будет решено, что порядок равен порядку, соответствующему последней отклоненной гипотезе, то можно было бы прийти к за­ ключению, что процесс имеет порядок 2 [как это было у Саргана (1953)]. Однако, судя по табл. 5.5, для порядка рассматриваемого процесса может оказаться наиболее подходящим и значение, боль­ шее 8.

5.10. ОБСУЖДЕНИЕ

В настоящей главе мы обсудили математические модели стацио­ нарных процессов, определяемые конечным числом параметров. При этом модели были таковы, что о них можно говорить как о ли­ нейных, имея в виду линейность по коэффициентам, по наблюдае­ мым переменным и по гипотетическим случайным переменным. В ряде случаев модель соответствует теории образования наблюдае­ мых данных и ее коэффициенты имеют самостоятельный смысл. В других случаях модель является аппроксимацией, оказывающей­ ся адекватной для многих целей.

' Модель авторегрессии обладает рядом преимуществ по сравне­ нию с моделью скользящего среднего и процессом авторегрессии с остатками в виде скользящего среднего, хотя последние в определен­ ных случаях могут хорошо описывать образование наблюдаемых временных рядов. Оценки коэффициентов процесса авторегрессии легко вычисляются. Статистические процедуры для такого процес­ са, основывающиеся на теории больших выборок, легко выполнимы, поскольку они соответствуют обычной технике наименьших квад­ ратов. Во многих случаях коэффициенты процесса авторегрессии допускают непосредственную интерпретацию, а линейные функции от запаздывающих переменных могут быть использованы для прог­ нозирования.

Как мы увидим позднее, каждую из этих моделей можно исполь­ зовать для аппроксимации и оценивания спектральной плот­ ности.

ЛИТЕРАТУРА

§ 5.1. Дж. Уолкер (1931), Юл (1927).

§ 5.3. Тернбулл и Эйткен (1952), Халмош (1958).

§5.4. Дурбин (1960а), (1960b), Манн и Вальд (1943b).

§5.5. Т. Андерсон (1959), Т. Андерсон и Рубин (1950), Купменс, Рубин и Лейпник (1950), Лоэв (1963).

§ 5.6. Бартлетт и Диананда (1950), Кенуй (1947), А. Уолкер (1952).

§5.7. Дурбин (1959), А. Уолкер (1961).

§5.8. Дуб (1944), Дурбин (1960b), А. Уолкер (1962).

§ 5.9. Вальдмейер (1961), Вольд (1965), Крэддок (1967), Сарган (1953), Уиттл (1954), Шерф (1964), Шустер (1906), Юл (1927).

Упражнения. Кузнец (1954), Хаавелмо (1947).

2. (Разд. 5.2.1) Проведите подробно выкладки в (30) для случая q = 1, р = 2. Выразите щ , определяемое выражением (31), с помощью щ для г = 1. Убедитесь, что ut не коррелированы.

3. (Разд. 5.2.1) Пусть {yt} — стационарный процесс, удовлетворяющий урав­ нению

•yt + yt^ \ = ut>

где Р0(t) Ф 0, рр (f) Ф 0 на множестве 5 последовательных значений t имеет одно

и только одно решение г/, для которого значения zt при р последовательных значе­ ниях t равны заданным. (Указание. Доказать индукцией по t, что значения реше­ ния zt при любых р последовательных целых значениях t определяют значение

цдля следующего целого t.)

5.(Разд. 5.2.1) Покажите, что t-я степень любого корня х/ характеристическо­ го уравнения (23), соответствующего стохастическому разностному уравнению

Po“V + + ••• + Pp“V_p =

является решением последнего (р0 Ф 0, рр ф 0). (Указание. Сделать подстановку

т = 4 )

8. (Разд. 5.2.1) Покажите, что

(Р — о) Pq (t) а* — Р<1—\ (f) а*+ |,

где Pq (/) и Рд^1 (f) — полиномы степени q и q — 1 соответственно.

7. (Разд. 5.2.1) Покажите, что

< ? - а ) тРт^ 1 ® а ! = 0.

9. (Разд. 5.2.1) Докажите, что если а — действительный корень кратности т характеристического уравнения (23), соответствующего однородному разностному уравнению упр. 5, то wt = Рт^\ {t)cf будет решением этого разностного уравне­ ния.

wt = P m__1 (t) а!ет + Р т _ , (f) <х*е-ш

является решением последнего. Здесь Pm_ { (t) и Рт _ j (t) — полиномы, соответст­ венные коэффициенты которых комплексно сопряжены.

лексно сопряжены, если таковы ж е хi и х ^ . (Указание. Используя упр. 5, пока­

жите, что щ указанного вида является решением, и, используя упр. 4, покажите, что оно будет единственным для заданных р последовательных (по t) значений w t)

12. (Разд. 5.2.1) Выясните, является ли условие pi = 0 в модели разностного

уравнения второго порядка необходимым и достаточным для того, чтобы yt и у ^ были независимыми.

13. (Разд. 5.2.2) Выведите из (51) следующие выражения:

Покажите, что

Го — г *2

*2

(Ь) Пусть оценки параметров |3i, р2, Рз определены соотношениями

Покажите, что

'з — г?гз + г13 — 2у~а + l - 2 r ? + 2 r ? r * 2- r ?

24.(Разд. 5.5.1) Распишите подробно уравнение (3) для у* = у* и убедитесь, что это уравнение определяет те же самые оценки, что и уравнение (8) § 5.4.

25.(Разд. 5.5.1) Пусть в соотношении (1) щ независимы и распределены со­ гласно N (0, 2), а у0— заданный вектор. Покажите, что уравнения (3) и (4) опре­

деляют оценки максимального правдоподобия для В и 2.

26.(Разд. 5.5.2) Покажите, что из того, что матрица А положительно полуопределена и trA = 0, вытекает А = 0.

27.(Разд. 5.5.3) Докажите, что из уравнения (31) матрица А определяется однозначно. (Указание. Преобразовать (31) к виду

А * -А А * Л ' = 2*, где А* = С-1 А (С')-1 и 2 * = С- 1 2 (С')- 1 -)

28. (Разд. 5.5.3) Покажите, что если А = В + С и при этом матрица В поло­ жительно определена, а матрица С положительно полуопределена, то матрица А будет положительно определенной. (Указание. х'Ах = х'Вх + х'Сх, а матрица А положительно определена тогда и только тогда, когда х'Ах > 0 и из х'Ах = 0 следует х = 0.)

29. (Разд. 5.5.4) Убедитесь, что если случайная матрица W имеет ковариа­

ционную матрицу А 0 2 , то матрица A~*W будет иметь ковариационную матрицу

А- 1 0 2.

30. (Разд. 5.5.5) Пусть в соотношении (57) щ независимы и распределены по закону N (0, 2), а у0 — заданный вектор. Покажите, что уравнения (60) и (61) определяют оценки максимального правдоподобия для В, v и 2.

31. (Разд. 5.5.5) Вычислите (67) для р = 2 и В = В.

32.(Разд. 5.5.5) Покажите, что сумма математических ожиданий квадратов компонент (70) сходится к нулю.

33.(Разд. 5.6.3) Проверьте, что (50) имеет нулевое среднее, дисперсию о4

ичто эти суммы при различных значениях индекса / не коррелированы.34

34.(Разд. 5.7.1) Для <7= 1 покажите, что | о (1) | < а (0)/2.

(c) Найдите оценки (максимального правдоподобия) параметров р и б (коэф­ фициентов тренда для модели, записанной в виде

Уг — (И- + + Pi {% -i — [|л + в (/ — 1)]} + р2 {у^_2 — [р + б (t — 2)]} = щи

(d) Найдите корни характеристического уравнения, соответствующего сто­ хастическому разностному уравнению, имеющему в качестве коэффициентов по­ лученные оценки, укажите аргументы и амплитуды этих (комплексных) корней.