книги / Статистический анализ временных рядов

Глава 6

СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

6.1. ВВЕДЕНИЕ

Одна из первоочередных задач в анализе временных рядов состоит в том, чтобы решить, не является ли наблюдаемый ряд реа­ лизацией последовательности независимых случайных величин. В качестве простой альтернативы здесь можно использовать про­ цесс, у которого последовательные наблюдения коррелированы. Примером такой альтернативы будет процесс, порождаемый стоха­ стическим разностным уравнением первого порядка. В подобных случаях для проверки гипотезы о независимости может оказаться уместным использование различного вида сериальных корреляций первого порядка.

Пусть наблюдаемый ряд уъ ..., ут является реализацией про­ цесса, имеющего нулевое математическое ожидание. Одно из воз­ можных определений сериальной корреляции первого порядка таково:

т

t—\

В этой главе рассматриваются различные определения сериальной корреляции. Если известно, что средние значения равны нулю, то эти определения являются модификациями (1). Если же средние значения неизвестны, то yt в (1) заменяется отклонением от выбо­ рочного среднего (или от оценки тренда). Многие модификации свя­ заны с изменением крайних членов, т. е. членов, содержащих Ун У г> У т -1, Ут - Другие включают в себя введение дополнительного сомножителя, например Т1(Т — 1).

проверки нулевой гипотезы, утверждающей существование зависи­ мости (t — 1)-го порядка, против альтернативы, утверждающей, что порядок зависимости равен i. Например, можно говорить, что процесс, порождаемый стохастическим разностным уравнением i-ro порядка, соответствует зависимости порядка i. При этом сериаль­ ный коэффициент корреляции порядка i следовало бы использовать вместе с сериальными коэффициентами корреляции меньшего по­ рядка.

Более общей является задача определения порядка зависимости

ями можно построить, используя сериальные коэффициенты корре­ ляции вплоть до порядка р.

Вопросы проверки независимости, проверки порядка зависи­ мости и установления наличия зависимости были по существу уже рассмотрены в гл. 5 при исследовании модели стохастического разностного уравнения (фактически стационарного гауссовского процесса конечного порядка). Свойства соответствующих процедур, распределения оценок и критерии, используемые для этих целей, оыли изложены в рамках теории больших выборок. В настоящей главе будут получены оптимальные процедуры и точные распреде­ ления для моделей, являющихся некоторыми модификациями мо­ дели стохастического разностного уравнения. (Например, оценка

—Pi в модели стохастического разностного уравнения первого по­ рядка имеет вид сериального коэффициента первого порядка.)

Общие типы моделей мы получим исходя из модели стохастиче­ ского разностного уравнения (§ 6.2). Для этих экспоненциальных моделей предлагаются оптимальные (односторонние или несмещен­ ные) критерии для проверки зависимости. Разрабатываются про­ цедуры со многими решениями, использующие такие критерии (§ 6.4). Соответствующие построения аналогичны тем, которые ис­ пользовались для определения степени полиномиального тренда (разд. 3.2.2); определяются некоторые точные модели как для слу­ чая известных средних (§ 6.5), так и для случая, когда средние неизвестны, включая модели с трендом (§ 6.6). Эти модели связывают­ ся с определениями сериальных коэффициентов корреляции. При их исследовании используются циклические сериальные коэффи­ циенты корреляции, а также коэффициенты, основанные на сумме квадратов последовательных разностей. Мы получим точные рас­ пределения некоторых сериальных коэффициентов корреляции (§ 6.7) й их приближенные распределения (§ 6.8), а также найдем некоторые совместные распределения (§6.9). Использование сериаль­ ных корреляций в качестве оценок будет рассмотрено позднее, (гл. 8).

6.2. ТИПЫ МОДЕЛЕЙ 287

Выражение в показателе экспоненты, заключенное в квадратные скобки, равно

ным, то из соотношения

(7)0 (sr-t) = a [ ( T - s + l ) - ( T ~ t + l ) ]

следует, что элемент, стоящий на пересечении t-й строки и s-ro столб­

квадратичная форма является линейной комбинацией сумм ^ \ytyt-i, t

Коэффициенты этой квадратичной формы (в количестве р + 1) задают преобразование р + 1 параметров а2, р1( Рр. Гипотезы и задачи со многими решениями можно формулировать, используя эти коэффициенты. Отметим, что 2рр/о2 является коэффициентом

при

t

Последние члены в (6) [точнее две последние суммы в правой час­ ти (6)] также являются некоторыми функциями от о2, рх....... Рр. Отсюда следует, что достаточное множество статистик будут состав­

В свою очередь тот факт, что число статистик в минимальном дос­ таточном множестве много больше, чем число оцениваемых парамет­ ров, не дает возможности поставить задачи статистических выводов таким образом, чтобы они приводили к относительно простым оптимальным процедурам.

Если значение Т довольно велико по сравнению с р, то суммы

будут доминировать над остальными членами. Это наводит

t

на мысль заменить (5) такой плотностью, которая использовала бы те же самые суммы, но в которой крайние члены были бы изменены таким образом, чтобы можно было получить семейство только р + 1 достаточных статистик.

положительно определена. При этих условиях (9) является много­ мерной нормальной плотностью. Константа К = К (Уо> •••» Ур)

подобная ей квадратичная форма по переменным ут~/+ь .... Ут- Эги квадратичные формы выбираются соответствующим образом (например, с общими характеристическими векторами). Три приме­ ра систем квадратичных форм приводятся в § 6.5.

С помощью этой модели рассмотрим проверку гипотезы о том,

Наиболее важным является случай, когда р = 1. Поэтому в литера­ туре ему уделяется особое внимание. Мы найдем критерий, равно­ мерно наиболее мощный против альтернатив ур < 0 (или, что экви­ валентно, рр < 0), а также равномерно наиболее мощный несмещен­ ный критерий. Реальное использование этих критериев целиком зависит от етепени разработанности теории и наличия необходимых таблиц.

Другой тип задач, которым мы будем заниматься, это процедура со многими решениями для выбора наибольшего индекса t, при ко­ тором еще у,- Ф 0, среди t = m, ..., р. Последний будет представ­ лять собой порядок зависимости. Мы зададимся вероятностью за­ вышения порядка для случая, когда порядок на самом деле равен f, i = m, .... р — 1, и потребуем, чтобы процедура была равномер­ но наиболее мощной против альтернатив о положительной зависи­ мости (ус< 0) или равномерно наиболее мощной несмещенной про­ цедурой . Такие процедуры строятся из ряда критериев проверки

6.3.РАВНОМЕРНО НАИБОЛЕЕ МОЩНЫЕ КРИТЕРИИ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ЗАДАННОГО ПОРЯДКА ЗАВИСИМОСТИ

параграфе мы будем интересоваться проверкой гипотезы о значении

на. Нулевая гипотеза состоит в том, что порядок зависимости мень­ ше i (в предположении, что он не больше i). Если i = 1, то нулевая гипотеза у( = 0 есть просто гипотеза независимости (когда матри­ ца А0 диагональна, например когда А0 = I). В этом разделе мы зай­ мемся проверкой гипотезы о том, что yt имеет заданное значение, против односторонней альтернативы. В случае когда i = 1 и вы­ брана нулевая гипотеза уг = 0 (р 1 =0), естественной является аль­ тернатива 7 i < 0 (т. е. < 0), которая соответствует положитель­ ной теоретической корреляции между последовательными наблю­ дениями. Если же i > 1, то альтернатива к нулевой гипотезе ус = = 0 (Р, = 0 ) уже не обязательно будет иметь вид yt < 0 (р, < 0), поскольку —f$t представляет частную корреляцию между yt и yt+i при заданных корреляциях низшего порядка. Поскольку критерии, оптимальные против альтернатив yt > 0, строятся подобно крите­ риям, оптимальным против альтернатив yt << 0, мы ограничимся рассмотрением только альтернатив, соответствующих положитель­ ной зависимости (у{ < 0).

Для экспоненциальных семейств плотностей, таких, как (1), задачи статистических выводов относительно просты. Наиболее существенным является здесь тот факт, что минимальное достаточ­ ное множество статистик имеет в этом случае размерность, совпа­ дающую с размерностью множества параметров.

6 .3 . РАВНОМЕРНО НАИБОЛЕЕ МОЩНЫЕ КРИТЕРИИ 291

Экспоненциальное семейство имеет классическую форму Купме- н а —Дармуа. Последняя, очевидно, удовлетворяет критерию факто­ ризации, состоящему в том, что соответствующая плотность может быть представлена в виде произведения неотрицательной (изме­ римой) функции от параметров и достаточных статистик и неотри­ цательной (измеримой) функции от наблюдений, не зависящей от параметров. [См., например, Леман (1959, стр. 75) или Кендалл и Стьюарт (1961, стр. 41).] В рассматриваемом случае в качестве пер­ вой функции можно взять самоё плотность, а в качестве второй ис­ пользовать единицу. Из этой теоремы вытекает, что интересующие нас выводы могут быть сделаны на основании значений статистик

жет, рандомизированный), использующий только достаточные ста­

Свойство полноты также является общим свойством экспонен­ циальных семейств. [См., например, Леман (1959, стр. 183) или Кендалл и Стьюарт (1961, стр. 256).] Доказательство вынесено в упр. 7.

Из теоремы 6.3.2 следует, что критерий для проверки нулевой ги­

потезы о том, что у,- равно заданному значению, например у!1’, имею­ щий заданный уровень значимости ег и определяемый подобной областью, обладает неймановской структурой. Иными словами, если Si — множество в пространстве случайных величин Q0, •••. Qi, такое, что

292 СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ Гл. 6.

характеризуется положительной маргинальной плотностью распре-

которая получается из соотношения для плотности величин уъ ...

(7)m,(Qo..........Qw ; Yi) = J‘ e_ViQi/4 (Q0............ Q()

Условная плотность распределения величины Qt при заданных зна­ чениях Qo, ..., Qi-1 представляет собой экспоненциальное семей­ ство с параметром у,-. Действительно, для фиксированных значений

плотность ^ (Qi | Qo........ Qf-i, y() может быть записана только для Qo....... Qi—i из Vi-i.

Поскольку критерий для проверки гипотезы yt = у(;[) имеет неймановскую структуру, мы можем применить фундаментальную лемму Неймана — Пирсона (упр. 10) к условному распределению

величины Qi. Наилучцшм для проверки гипотезы у,- = у*1’ против альтернативы у,- = у|2) оказывается критерий, имеющий критиче­