книги / Статистический анализ временных рядов

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1 .- 0 . . .

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

47.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 7636 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

6.7.	РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЕРИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ						$53
от среднего значения равны
(70)	V/ =	cos Щ- ,	/ =	1,	. . , , (Г — 1)/2 = Н, если	Т нечетное,
(71)	v ,=	co s-^ -,	/ =	1,	7 7 2 - 1 = # , v* +1 =	- l ,
					если T четное.

Теорема 6.7.7. Если случайные величины у1г ..., ут независимы и каждая из них распределена по закону N (р, а 2), а

		т		1—у)		т
		2 (у‘ —у)		1—у)		2 у‘Уi- i — т уг
(72)	гГ =	— — f-----------------=				- ^ 7 ----------------,
		2 ( w - i i )2				2 » ? - 7 ?
		*=1				6=1
то
(73)			Рг{гГ>/?} =			\|	, vm+1 < t f < v m,
где v; =		cos 2ni/T,
			<Г—1)/2
(74)		ai —	П	(v ,-v /),		Г =	3 ,5 ...........
			'н*
			________		Г / 2 - 1
(75)		а^ =	К ^ + 1		П (v, — V/), Г =		4, 6 , . . . ,
а т — 1,		..., (Т — 3)/2,			еслм Т нечетное, или т — 1, ..., TI2 — 1
если	Т четное.

Р. Андерсон (1942) указал это распределение и вычислил таблицу значений R, при которых функция распределения принимает соот ветственно значения 0.01, 0.05, 0.95 и 0.99. Значения R приведены

в табл. 6 .1.

тт

Распределение отношения 2	*W/<-i/2	yt можно вывести из
t= 1	t=i

теоремы 6.7.6, если только Т нечетное, поскольку при этом дваж ды встречаются все корни, за исключением лишь одного простого корня cos 2пТ/Т — 1.

Теорема 6.7.8. Если случайные величины У\, ...» ут независимы

икаждая из них распределена по закону N (0, а 2), причем Т нечетное,

354

СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

Гл. 6.

Таблица 6.1

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦИКЛИЧЕСКОГО СЕРИАЛЬНОГО КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ, СТРОЯЩЕГОСЯ ПО ОСТАТКАМ ОТ ВЫБОРОЧНОГО СРЕДНЕГО *

т	0.01	0.05	0.95	0.99
5	—0.798	—0.753	0.253	0.297
6	—0.863	—0.708	0.345	0.447
7	—0.799	—0.674	0.370	0.510
8	—0.764	—0.625	0.371	0.531
9	—0.737	-0.593	0.366	0.533
10	—0.705	—0.564	0.360	0.525
11	—0.679	—0.539	0.353	0.515
12	-0.655	—0.516	0.348	0.505
13	-0.634	—0.497	0.341	0.495
14	—0.615	—0.479	0.335	0.485
15	—0.597	—0.462	0.328	0.475
20	-0.524	—0.399	0.299	0.432
25	—0.473	—0.356	0.276	0.398
30	-0.433	—0.324	0.257	0.370
(35)	—0.401	—0.300	0.242	0.347
(40)	—0.376	—0.279	0.229	0.329
45	—0.356	—0.262	0.218	0.313
(50)	—0.339	—0.248	0.208	0.301
(55)	—0.324	—0.236	0.199	0.289
(60)	—0.310	—0.225	0.191	0.278
(65)	—0.298	—0.216	0.184	0.268
(70)	—0.287	—0.207	0.178	0.259
75	—0.276	—0.201	0.174	0.250

* Круглые скобки указывают на то, что соответствующие значения получены графической интерполяцией. Некоторые значения являются ис правлениями Р. Андерсона соответствующих значений, имеющихся у Дик сона (1944).

то для

(76)			2	WH- 1	' у 0 s = Ут,
(76)			Тх s= - b L	-------,	' у 0 s = Ут,
			>2у2
имеем				*ч(Г—2)/2
			(Г—1)/2	*ч(Г—2)/2		Vm <	R* < V^_i,
(77)	Pr {rx <	R*}	(Я* - V * )			Vm <	R* < V^_i,
(77)	Pr {rx <	R*}				m =	1........(Т — 1)/2 ,
						m =	1........(Т — 1)/2 ,

6.7. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЕРИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ 355

где v*	= cos 2ш77\	i =	0, ..., (Т —	1)/2, и
(78)			------------- ( Т - 1 ) / 2
	a ; = : K i _ v ; П			(v; - v ? ) .
			/==1
			i=4*t
Д оказательство.		Утверждение		теоремы вытекает	из теоремы
6.7.6,	если в последней заменить vf,			/? и Я н а — v«+i_f. — vo =
5= — 1, — R* и (T — 1)/2			соответственно. [Р. Андерсон		(1941).}

6.7.6. Другие распределения сериальных коэффициентов корреляции

В случае сериального коэффициента корреляции, использующего сумму квадратов последовательных разностей остатков от среднего значения, именно

		т
		S	(У* —У) (0<-1 — у) + 4- (У1 — У)2+ 4 - (Ут—У)2
(79)		г! - J=!--------------------r - L - ----------- !------------ ,
				2	(yt — y f
				/=»i
характеристические корни равны cos я t!T, t =							1, ..., Т —	1,	Т =?
= 2,	3,	.... причем все		различны. Положим
					Г-1
					2	h z]
(80)				s —	<=1
					Г-1
					2 *
	Я, — произвольные				t= I			Яг _1 <
где	Я, — произвольные			веса, удовлетворяющие			условию	Яг _1 <
< кТ - 2		< ... <	Ях. Нейман (1941)			показал, что если Т —		1 =	2Я
и f (s) — плотность распределения						s, то

ли-\

(81)/ » -

	о,				^2Л+1	Я2Л,	Л — 1, • . • , Я-
	( - 1 ) я ~ й (Я — 1)1				^ 2 h < s< h h - u		h — 1...........Я,
		/■	2Я

I	V	-	s	(s — M

для таких Л, для			которых указанные неравенства допустимы. (На
пример, если		Я1 =		Я2 > Я 3 = Я4 > . . . >		А*2я—1 = %2 н, то неравен
ство Ям <	s < Я м- i			невозможно.) В частности, в интервале Я2а+\| <

< s < Ям плотность / (s) будет полиномом степени не более Я — 2.

356 СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ Гл. 6.

(В случае если все корни двойные и притом различные, этот резуль тат согласуется с результатами разд. 6.7.4.)

Нейманом было показано, что если все веса Kt различны, то про изводные dk f (s)/ds* непрерывны на отрезке Я2я < s < Ях, k = О, 1, ..., Я — 2 (даже в точках s — \ , t = 1, ..., 2Я). В принципе соот

ношение (81) можно проинтегрировать и получить плотность / (s). Постоянные интегрирования определяются тем фактом, что произ водные порядка, меньшего чем Я — 1, в смежных интервалах имеют совпадающие значения в общих концевых точках этих интервалов (и равны 0 при s = %2 н и s = кг). В интервалах A.2* < s < А.2*_i

знаменатель выражения для ( Я — 1)-й производной от плотности f (s) представляет собой квадратный корень из полинома от s сте

пени 2Я . Если Я				= 1	(Т = 3), то эта плотность равна
					, >	^2 <1 s <С A.J,
(82)	/(*)	=	-I
			О			в противном случае,
а соответствующая ей функция распределения имеет вид
(83)	F(s) =		j / ( 0 ^ = 4 - + -T arcsin^ T % f M > h < s < K
и F	(s) =		Ьг	s >*	1	%
и F	(s) =	1	для	s >*	Если # > 1, то в выражении для плот

ности появляются эллиптические, гиперэллиптические и другие бо лее сложные интегралы.

Если Т — 1 нечетное, то соответствующее распределение можно

получить с помощью следствия 6.7.4 из распределения для четного Т — 1.

В случае сериального коэффициента корреляции (79) имеем %t =

= cos nt/Ty	t =	1, ...,	T —	1. Распределение		величины	г\
симметрично	ввиду	того,	что	%T-t = —	f = 1,	...» Т — 1.	Все

корни образуют пары (положительное и отрицательное значения),

если только Т	не является четным и %т/ 2	— 0. Возможные значе
ния коэффициента г\ заполняют интервал (—cos я/Т , cos я/71).
6.7.7. Моменты	и производящие функции	моментов
Если п = Qi/Qo, то
(84)	%r\h= W Q r h.

Моменты величин Qj и Q*0 могут быть найдены из характеристиче

ских функций этих величин или из производящих функций их момен тов (моменты положительного порядка получаются дифференциро

6.7. р а с п р е д е л е н и я с е р и а л ь н ы х ко эф ф и ц и ен то в к о рр е л я ц и и 357

ванием, а моменты отрицательного порядка — интегрированием). Однако при нулевой гипотезе независимости (ух = 0) более эффек тивным является вычисление этих моментов с использованием фак

та независимости			т\ и	Qo (теорема			6.7.2).
Л емма	6.7.8.		Если n =		Qi / Qo		и у1 —	0, то
(85)						= %r\hlQlg.
Т еорема		6.7.9.	Если г\ — Q*/Qo				и у1 =	0, то
(86)				I r t		1 0 ?
(86)				I r t		ЪО? '
						ЪО? '
Д о казательство.				Это следует непосредственно из леммы 6.7.8,
если в последней положить g = h.a
Если гг =		Qy/Q0 и		=	0,	то справедливо аналогичное соотно
шение l / f	=	SQA/SQ O-							Г-1
									Г-1
Обычно квадратичная форма Qo имеет канонический вид 2										2<-
									t=i
При этом она распределена по закону X2 с Г — 1 степенями свободы.
		Q0 имеет канонический					г
Аналогично,		Q0 имеет канонический					вид J	г<и	распределена	по
							м
закону X2 с Т степенями свободы. Соответствующие моменты равны
	SQo =		т	Г { ( Г - 1 ) / 2 + й }				( 7 - 1 )	< К
(87)	SQo =		т	Г {(Г -		1)/2}		( 7 - 1 )	< К
(87)		-Л	nh Г { Т/ 2 +		h\
		-Л	nh Г { Т/ 2 +		h\
		го		Г [ Т/ 2]

Для отыскания &Qht удобнее использовать производящие функ

ции моментов. Если Qx = у'Агу, где Ах — произвольная симметри ческая матрица с характеристическими корнями Х1( ..., ЯгиАо = I, то из следствий 6.7.1 и 6.7.2 получаем для достаточно малых зна чений 0

(88) $e6Q‘ = 11 - 20А, Г 7’ = (1 —20X,)j

(См. упр. 29.) Вычислим (88) для первых трех частных моделей, определенных в § 6.5.

Л емма 6.7.9. Пусть в матрице Ах элементы, расположенные на диагоналях, смежных с главной, равны 1/2, а остальные элементы

353	СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ	Гл. 6.
равны нулю.	Тогда определитель DT = 11 — 20АХ\| равен

											7	= 1	, 2 .............
Д оказательство.			Разлагая			определитель				DT по элементам пер
вой строки, получаем
			1	— 0	0	0	.. •	0		0
	—.0			1	-0	0	1I »	0		0
		0 - 0			1 — 0 . • •			0		0
D T =		0		01 —-0		1 . . .		0		0 =
			0	0	0	0		1	- 0
			0	0	0	0 . . .		— 0		1
					-0 —0 .0 . • .					0	0
					0	1 — 0		. • •		0	0
	=		1 + 0		0	— 0	1 • . *			0	0
	=		1 + 0
					0	0	0 . . .			1 ■- 0
					0	0	0	. • .	- 0		1
	= D T^.1--			02£>г .- 2,
где Dx =	1. Таким образом, DT удовлетворяет разностному уравне
нию				Df — Df_i -\|- Q2Dr_2— 0.
(91)				Df — Df_i -\|- Q2Dr_2— 0.
Характеристическое				уравнение последнего
(92)					хг— х +		02 =	0
имеет корни (1 ±		V 1 — 402)/2. Поэтому решением (91) для Q2 Ф 1/4
будет
(93, 0	г	■+		ГТ Е У . ) Г +			С, (	' -	ф	д *	) г,	Г	-	1 , 2 . . . .
Постоянные сх и сг определяются из условий Dx =											1	и D2 =		1 —02
для 0 ф 0, Т =		1, 2,		... . Это и доказывает лемму, необходимую для
изучения	модели		разд.		6.5.4. щ

Лемма 6.7.10. Определитель Ат —11 — 20Аг |, где матрица Аг определяется сериальным циклическим коэффициентом корреляции

6.7.	РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЕРИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ					359
первого порядка, равен
(94)	1 +	у \ - 492 у	+ j	1	_ 2 qT =
(94)	Дт —
	^ YT+Ш + У1 — 29			j7	^ )^Г+2ё — /1 ~ ^ 2 ё	j rjB
					т = 2,	3, . . . .
Д оказательство.		Разлагая	определитель Ат (сначала			по эле

ментам его первой строки, а затем по элементам первых столбцов полученных определителей), получаем

		1	-- 0	0	0	...		0	0	- 0
		— 0	1 —0		0 ...			0	0	0
		0	-- 0	1 - 0		...		0	0	0
(95)	Ат =	0	0	- 0	1	...		0	0	0	_
		0	0	0	0 ...			1 —0		0
		0	0	0	0	....		- 0	1	- 0
		—0	0	0	0 ...			0 - 0		1
				- 0	- 0		10 ...		0	0	0
				0	1 — 0 ...				0	0	0
				0 - 0			1	...	0	0	0
		- 1	+ 0	\					1	I	•
		- 1							1	I	+
		Цт									+
				0	0		\|0 ...		1 —0		0
				0	0		\|0 ...		■- 0	1 - 0
				— 0	0		10 ...		0 —0		1
				—0	1 —0			0 ...		0	0
							1	0 ...		0	0
				0 - 0		1 —0 ...				0	0
				0	о —е1			1 ...		0	0
		( - 1 )т0		*	1	1		•		•	\
		( - 1 )т0		*	1	1		•			\
				0	0	с»		0 ...		1	--0
				0	0	с1		0 ...		—0	1
				—0	О	О		О	...	0 --0
		&т—\—		T	+ ( -1)'		г_\| 02 (— 0)г—2—-
			-WD -2		+ ( -1)'

560		СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ		Гл. 6.
_	( _	1)Г 02 ( _ 0)Г -* + ( _ 1)Г 02 (_	I f '1Dr-2 =
= Dr- 1		- 202Dr-2 — 20\	T = 3,	4, . . . .
Подстановка сюда выражения (89) приводит к (94). Для				Т — 2
имеем а12 = а21 =	1 и поэтому Д2 = 1 — 402.щ
Л емма 6.7.11.	Определитель Ст — \|1 — 20Аа \|,		где матрица Ах

соответствует модели с последовательными разностями, равен

с	1—26				—1/~1—463 хГ1
(96)	У 1 — 40*	1\	2	/	\	2

						Т = 2,	3,
Д оказательство.		Разлагая		определитель		Ст (сначала	по эле

ментам его первой строки, а затем по элементам последней строки одного из получаемых определителей и по элементам первого столб

ца другого), имеем
— 0 - 0		0	0 . ..	0	0	0
— 0	1 - 0		0 . ..	0	0	0
0	— 0	1 — 0 . ..		0	0	0
0	0	— 0	1 . ..	0	0	0
(97) Ст =
0	0	0	0 .	1 — 0		0
0	0	0	0 . .. — 0		1 — 0
0	0	0	0 . ..	0	— 0	1 —
	1 — 0		0 ...	0	0	0
	— 0	1 — 0 ....		0	0	0
	0	- 0	1 ....	0	0	0
— 0)						+
	0	0	0 .	1 - 0		0
	0	0	0 . ..	- 0	1	- 0

+ 0

0 . . .		1 -- 0	0
0 . . . - 0		1 — 0
0 . . .	0 - “ 0 1 — 0

6,7.	РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЕРИАЛЬНЫХ		КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ				361
			1	-- 0	0 . . .	0	0
			е	1	— 0 . . .	0	0
			о	-- 0	1 . . .	0	0
	= (1 — 0)2 DT-2 + ( 1 - 0 ) е
			0	0	0 . . .	1	0
			0	0	0 . . .	—0	-- 0
	1	— 0 .	0	0	0
	— 0	1 . * *	0	0	0

0	0 .
0	0	. • % - 0
0	0	. . .

D T- ■2- - 2 ( 1		— 0 )
	1 -	■ 0	. .
-	0	1 . . .
- 0 3	•§	;
	6	0 . . .
	0	0 . . .

1	—	0	0
		1	—	0
0	1	CD	1 -	- 0
	0		0
	0		0
	1		•	= s
	1			= s
	1		0
-	0		-- 0

D T—■2 ‘- 2 ( 1 — 0 ) 0 2D r - з +	Q*DT-	5, 6,....
Подстановка сюда выражения (89) дает
(98> С г" г у 7 - ю { Н ' - ^ +
+ О - е* )К Г = 4 ё* \|C + r T F ^ p -
— К i — зе2) — (1 — е*> к 1
Перегруппировка приводит к (96) для Т =	5, 6, . ... В справедли

вости же (96) для Т — 2, 3, 4 можно убедиться непосредственным подсчетом.

Если в (96) раскрыть по формуле бинома Ньютона обе входя щие в это выражение Т-е степени, получим

(99)	Ст = J ,r	— 4	2 .	( Г ) (1 — 402)V/2 [1 — (*— l)v] =
	2Т	— 4	v = 0	\ V
	— 1~ 26	н	Т
	— 1~ 26	у

~а=0 \2<х

362	СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ	Гл. 6.
где Я = (Т — 1)/2, если Т нечетное, и Я = 772 -- 1,		если Т чет
ное. в
Л емма	6.7.12. Если QI — (у — уг)' Ах (у — уг),	А0 = I, а е

является характеристическим вектором матрицы А1( соответствую щим характеристическому корню 1, и у0 = 1, Тх = 0, то

т ^

для всех 0, достаточно малых по абсолютной величине.

Д оказательство. Эта лемма является частным случаем след ствия 6.7.2. »

Т еорема 6.7.10. Производящая функция моментов квадратичной

формы Q*, основанной на последовательных разностях, при у0						= 1
и у1 =	0 имеет вид	/ 1		20
(101)	i e eQ* =	/ 1	—	20
(101)	i e eQ* =					’
	\| / 1 + 20 4 - / 1 — 20 j r _ \| / 1 + 2 9 - / 1 — 20 /					’
	2	I	\	2	I
					Т — 2, 3,	. . . ,

для всех 0, достаточно малых по абсолютной величине.

Т еорема		6 . 7 . 1 1 . Производящая функция моментов квадратичной
формы QI,		основанной на последовательных разностях, при у0 =						1	и
— 0 имеет вид							Г
(102)	g eeQ* =		/ Г — 402
(102)	g eeQ* =		/	/ 1	— / 1 — 402	\ г
		1 + / 1 — 402	/	/ 1	— / 1 — 402	\ г
		2	-/	н \	2
						Т = 2, 3,		...	,

для всех 0, достаточно малых по абсолютной величине.

Следует отметить, что (102) совпадает с выражением 1/]/25т~ь которое является производящей функцией моментов квадратичной

формы Qi = 2 ytyT-1, определенной в разд. 6.5.4 для Т — 1 на-

<=2

блюдений.

Моменты циклической квадратичной формы Qx можно найти из производящей функции моментов

(103)	_1_____ \| \| 1 + / 1	— 40а \| г/2 \| ]/1		+ 2 9	— / 1 — 29) п
			■Г[		Т 1 - 1
	+ / 1	— 402		/ 1 +	29 — / 1 — 29у
			1
				/Г + 2 0 + / Г —20/

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 7636 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202310.29 Mб4Статистические методы анализа и обработки наблюдений..pdf
#
12.11.202318.02 Mб6Статистические методы в строительной механике..pdf
#
12.11.20232.4 Mб1Статистические методы интеллектуального анализа данных..pdf
#
12.11.2023410.65 Кб3Статистические методы исследования качества объектов производства..pdf
#
12.11.20231.76 Mб0Статистические методы принятия решений с элементами конфлюентного анализа..pdf
#
19.11.202347.02 Mб4Статистический анализ временных рядов..pdf
#
12.11.202314.8 Mб1Статистический анализ геофизических полей..pdf
#
12.11.202314.63 Mб6Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1.pdf
#
12.11.202319.38 Mб0Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2.pdf
#
12.11.20236.88 Mб2Статистическое управление качеством технологических процессов..pdf
#
12.11.20239.13 Mб3Статическая выносливость элементов авиационных конструкций..pdf