книги / Основы создания полимерных композитов

Для уточнения теоретических обобщений произведен расчет на­ пряженно-деформированного состояния данной модели с учетом квазидинамического сдвига, возникающего при контакте стеклопла­ стика с жестким телом в процессе граничного трения. Допускаем, что имеет место одномерное напряженное состояние. Внешние усилия приложены к торцам элементов 1 и 2 (см. рис. 8). Далее полагаем, что в армирующих элементах возникают лишь нормальные напряжения oi и 0 2, а в связующем - касательное п. Считаем, что все величины,

характеризующие напряженно-деформированное состояние, явля­

где п - касательное напряжение в полимерном слое; р - плотность стекловолокна; U2 - смещение точек поперечного сечения внешних слоев вдоль оси X; ттр- касательное напряжение вследствие силы тре­ ния.

Упругая деформация в армирующем слое:

где hK- высота армирующего слоя, Ек - модуль упругости стеклово­ локна.

Для связующего имеем:

Зв

(7.7)

~dt~ G3St ’

где (п - модуль сдвига связующего.

Условия равновесия части модели, отсекаемой вертикальным се­

где Р - равнодействующая внешних усилий, приложенных к торцам элементов 1 и 2; b - толщина модели.

481

У

Рис. 9. Смещениеточек поперечного сечения внешних слоев вдольоси X

при действии внешнихусилий Р

Примем для продольных смещений точек среднего слоя линей­ ный закон распределения по высоте (рис. 9):

u,=i/2(ul+u2) + ^ ^ - r , V = о

Тогда деформация сдвига третьего слоя имеет вид:

_ с У г д»ъ _ Ц\ - U 2

Продифференцировав это выражение по X с учетом равенства (7.6), получаем уравнение условия совместной деформации всех трех слоев модели

Поскольку соотношение (7.8), где Р - P(t) - равнодействующая внешних усилий на каком-либо конце системы, позволяет использо­ вать лишь одно из уравнений (7.5), например:

то, подставляя соотношение (7.8) в уравнение (7.9), получим связь Ъ с суммарной деформацией сдвига полимерного слоя:

Gj д£3

482

где а 2 и р - параметры, выраженные через упругие константы сис­ темы:

Уравнения (7.7), (7.10) и (7.11) образуют систему трех уравнений в частных производных относительно трех искомых функций Т2, т3 и е. В этом случае армирующие элементы считаем жесткими, а связую­ щее рассматриваем как тонкую полимерную пленку (смещение V = 0); тогда внешняя нагрузка Ру не влияет на напряженно-деформирован­ ное состояние модели. Решим систему уравнений (7.7), (7.10) и (7.11) относительно Т = Тг. Выполнив ряд очевидных преобразований, по­ лучим:

где TJ- некоторый числовой коэффициент, Fmp{t) - сила трения. Введем новую неизвестную функцию, полагаем:

T(x,t) = v(x,t) +rn(x,t) ,

так что функция V(JC,/) представляет собой отклонение функции T\x,t)

от некоторой известной функции, удовлетворяющей краевым услови­ ям:

483

m (x,t) = F2{t)x/l,

/л* (0 , 0 = О,

m \ l , t ) = F2(t).

Таким образом, задача для функции T{x,t) сведена к краевой за­ даче для функции V(JC,/) при нулевых граничных условиях.

Решение уравнения (7.12) для функции v(x,t) представим в виде:

Функцию U(x,t) выбираем так, чтобы она удовлетворяла одно­ родному уравнению

Граничные условия: U\x=0 =U\X=I = 0.

Отыскиваем частное решение уравнения (7.14), удовлетворяющее краевым условиям U\x=0 =U\x=l =0 вида (метод Фурье):

U(x,t) = X ( x ) T (t) .

После дифференцирования и подстановки в уравнение (7.14):

X T \f ) = а 2Х ”{х) T{t)~ 2тХ(х) ■T(t)

разделим обе части на а 2X T :

x ' ( x ) - q x ( x ) = o ,

Г (1)+7’(0(2тС ,а2) = 0 .

484

При любом значении t:

1/|Л=0ДГ(0)Г<О = 0,

С/|„, = Jf(/)T(O = 0 .

Необходимо найти решение линейного дифференциального уравнения Х \ х ) - С 1Х(х) = 0 . При условиях А^О) = Х(1) = 0, полагаем,

что АХ*) = Гх, тогда характеристическое уравнение примет вид:

т2- С \ - 0.

Пусть С = -А2 < 0, г - ± /А , корни характеристического уравне­

ния мнимые, и решение будет содержать тригонометрические функ­ ции: Х(х) = СI cos Ах + Сг sin Ах. Так как при х, равном нулю, Ar(0) = Ci = 0, а при х = / Х(1) = Сг sin А/ = 0, С2 * 0; sin А/ = 0. Следо­

Решение, отвечающее некоторому фиксированному значению &, обо­ значим Хк(х):

Xk(x) = Ak sm — ,

где Ак- некоторая постоянная. Найдем теперь T(t):

Г; (t) + T(t)(lm - С а 2) = (К

Введем следующие обозначения:

Т ’к ( 0 + ^ Г ( 0 = 0 .

485

Общее решение имеет вид:

Тк(0 = Вк cosqkt + Dk sinqkt .

Обозначив AkBk = ак , DkAk = bk , получим:

Необходимо, чтобы ряд был сходящимся и можно было дважды почленно дифференцировать. Будем подбирать произвольные посто­ янные и так, чтобы выражение (7.15) удовлетворяло начальным условиям. Поставляя значения t = 0, получим:

и \1я(, = Z a* sin<7* •* = ()-► а* = 0 ,

Из уравнения (7.16) видно, что akbk является коэффициентом раз­ ложения функции F(X) в ряд Фурье по синусам в интервале (0,/):

Подставляя значения коэффициентов а* и Ъкв (7.15), получим:

Найдем теперь значение Ж(х,0> удовлетворяющее неоднород-

486

Граничные условия: И'|*=о= ^ |х=/ = 0.

Будем искать функцию W(x,t) в виде ряда по собственным функ­ циям sin кюс/l однородной задачи:

кюс

где 4 ~ неопределенные пока функции от t.

Чтобы функция W(x,t) удовлетворяла граничным и нулевым на­ чальным условиям, достаточно считать, что 4(0) = 0 и 4'(0) = 0. За­

и заменим функцию W(x,t) рядом, получим:

487

Так как P(t) не зависит от х, а только от времени, имеем:

где

Обозначим a = cP(t) = cFtK, где К - некоторый размерный коэф­ фициент.

488

Считаем, что время приложения нагрузки мало, вторым слагае­ мым в уравнении (7.14) пренебрегаем (при / —►0 оно -> 0), тогда:

мерный параметр, получим в окончательном виде искомую функцию:

Остальные функции (г, e) связаны с Т дифференциальной зависи­ мостью и могут быть определены при решении системы уравнений (7.7), (7.10) и (7.11). Нетрудно убедиться, что функции Т, г и е, харак­ теризующие напряженно-деформированное состояние модели, зави­ сят от одного и того же безразмерного параметра v„, который можно выразить через физико-механические и геометрические параметры

I )

Подставив в уравнение (7.21) значения параметров / и а 2 , вы­ раженные через упругие константы, получим:

где VM = J E 2 j p - скорость распространения звука в стекле.

Выразим время приложения нагрузки t через некоторую ско­ рость движения соприкасающихся тел Vo и длину пути соприкоснове­ ния S:

t = s j v a

489

Для простоты дальнейших выкладок примем: h i - b - d bЛз=8, где d - диаметр элементарного стекловолокна, 8 - толщина связующего.

Тогда уравнение (7.22) запишем следующим образом:

Поскольку первый член подкоренного выражения мал по срав­ нению со вторым, то им можно пренебречь. В результате после оче­ видных преобразований получим:

(7.23)

где А = 038л- (V.jg/VQ)S - некоторый динамический коэффициент.

Так как функции Т, г, е, характеризующие напряженно-деформи­ рованное состояние модели, зависят от одного и того же безразмер­ ного параметра v, выражающегося через упруго-прочностные и гео­ метрические характеристики элементов композита, то можно предпо­ ложить, что между износостойкостью и данным параметром сущест­ вует функциональная зависимость. Это было подтверждено с помо­ щью трибологических испытаний ряда композитов по приведенной ниже методике.

2.2.1. Методика проведения исследований

Для проведения испытаний была выбрана стандартная машина трения СМТ-1 (рис. 10), которая состоит из измерительного ком­ плекса и испытательного агрегата. Она реализует схему контакта вал - частичный вкладыш. Измерительный комплекс фиксирует темпера­ туру термопары, частоту вращения вала, коэффициент трения, на­ грузку и число циклов. Машина СМТ-1 может работать в диапазоне скорости вращения вала 50 - 1500 об/мин и позволяет плавно регу­ лировать скорость. Диапазон нагрузки на образец составляет 20-50кГс. Предел допускаемой приведенной погрешности измери­ теля частоты вращения вала для нижнего образца (ролика) - ±3%. Предел допускаемого значения среднего квадратического отклонения случайной составляющей - 1 %.

Часть испытаний проводилась на машине трения МИ-1М с диа­ пазоном нагрузки от 20 до 120 кГс. Исследовали динамику износа и зависимость коэффициента трения композита от нагрузки, скорости испытаний и материала образцов, которые отличались составом ар­ матуры и модулем упругости связующего.

Получение образцов для исследований осуществлялось методом намотки стеклянной нити на оправку с предварительной пропиткой

490