книги / Современные методы анализа электрических систем

те получим следующую систему матричных дифферен­ циальных уравнений:

(12-3)

В этой системе уравнений и/, и ic являются заданными векторами. Задача состоит в том, чтобы определить

столбцов.

Если р<&, то т—р > т —<k. Если р>&, то т—р < т —k.

Это означает, что матрица Вг содержит меньше строк, чем столбцов, если у прямоугольной матрицы Ап больше строк, чем столбцов, и наоборот. Таким образом, В: является удлиненной прямоугольной матрицей в том случае, если Ап является укороченной прямоугольной матрицей.

Предположим, что р<^; следовательно, Ап — укоро­ ченная прямоугольная матрица. В этом случае всегда можно найти такую удлиненную прямоугольную матри­ цу B*s, для которой справедливо

В*ДП=1. (12-4)

Целесообразно ввести вектор контурных токов \н '

и подставить это выражение в зависимость (12-3). Вто­ рое уравнение (12-3) умножим слева на Bs. Тогда (12-3) получит вид:

(12-5)

При этом число неизвестных в уравнениях (12-5) умень­ шается до ц+ т —k по сравнению с 2т неизвестных в уравнениях (12-1) и (12-2). Матрицы BILB*I и С — квадратные, для которых в общем случае существуют обратные. Если первое и второе уравнения (12-5) умно­

271

жить на соответствующие обратные матрицы, то полу­ чим систему уравнений в нормальном виде, решение которой дано в приложении (П6-3).

Введем следующие обозначения:

но 2ц и соответствующие матрицы — квадратные поряд­ ка ц. Если ц > т —k, то э т о т прием не приводит к уменьшению числа переменных относительно системы (12-7). В этом случае входящие в уравнения матрицы будут квадратными и прямоугольными.

Отвлечемся сначала от матрицы сопротивлений RH. Это означает пренебрежение затуханием. Тогда уравне­ ния (12-7) и (12-9) можно дальше упростить. Если пер­

272

Тогда получим следующую систему уравнений:

'г~ЬС~‘в«н Ln' В„ ип = — С_1В5НЬЯ ufc;

(12- 10)

d_

dt “n + ,r = - C"1B**i«

Предполагая, что RH = 0, систему уравнений (12-9) или (12-10) можно выразить следующим гиперматрич­ ным уравнением:

я; м :

Гиперматричное уравнение (12-11) и уравнения (12-9) и (12-10) связаны. Для (12-9) и (12-11) связь устанав­ ливается соотношениями:

x = iH; y = u T;

N = L -‘ ВМС-'В,„;

Xg = Ья uh;

yfi= - L - ' BnC-1B*sic.

Для (12-11) и (12-10):

x— un;

У— 'г

N ^ C - B ^ L - 1Вп;

xg — — C- lB*sic;

У« = - С - ‘В4ЯЬ -' u„.

Квадратную матрицу уравнения (12-11) можно предста­ вить в виде

273

Обозначим:

Тогда уравнение (12-11) примет вид:

Тем самым гиперматричное уравнение (12-13) рас­ падается на два не зависящих друг от друга матричных дифференциальных уравнения. Решения их для х* и yt получается в соответствии с (П6-4). Из преобразова­ ния (12-12) следует, что

Подставив решение для х*, у<, полученное в соответ­ ствии с (П6-4), в это выражение, будем иметь:

X = (c h /N t) х0- f )/N (sh / N t).y0 +

+ J [chj/N(/—*)] Xg 0

+ jV N [shK N (#-x)]yg (x)^; 0

Для представления решения (12-14) в замкнутом виде следует диагонализировать матрицу N, т. е. опре­ делить собственные значения и собственные векторы

274

этой матрицы. Если это вызывает затруднения, то мож­ но ограничиться представлением:

c h /N f = I + N - £ + N * 4 + - -

(12-15)

N 2sh |/fif = H + N - ^ + N -£ -+ ...

Определив векторы х и у, следует перейти к вычисле­ нию ii и in-

Если матрицей RH нельзя пренебречь, то решение

12-2,6. Решение системы матричных уравнений в слу­ чае p>k. Если \i>k, т. е. Вх укороченная прямоугольная

к контурным величинам необходимо произвести преоб­ разование к узловым величинам. Для этого введем:

ип =А*пис.

Для матрицы Bi находим матрицу Q*;

Q*Bi=I.

275

12-2,в. Пример. Определим собственные частоты сети, приведенной на рис. 12-1. Ветви 1, 2 и 3 содержат индук­ тивности, ветви 4 и 5 — емкости. Независимые контуры: hx и h2i независимые узлы: 3, 4 и 5.

Матрица соединений:

Разделяя матрицу соединений и матрицу контуров на блоки по индуктивностям и емкостям, получаем:

В рассматриваемом случае число ветвей т = 5, число

276

Cb

Lt +

C5

Собственные частоты сети, приведенной на рис. 12-1, являются собственными значениями матрицы J/N. Характери­ стическое уравнение матрицы N,:

Обозначим корни этого уравнения: v, и v2; по этим корням собственные частоты, являющиеся собственными

значениями матрицы J/’N, получаются в виде

277

Г л а в а т р и н а д ц а 1 А Я

ЭКОНОМИЧНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАГРУЗОК В СИСТЕМЕ

13-1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Распределение нагрузки между электростанциями си­ стемы следует осуществлять, добиваясь наименьших эксплуатационных затрат. При этом на тепловых элек­ тростанциях необходимо учитывать изменение расхода топлива при изменении нагрузки, расход топлива на останов и повторный пуск машин, а также возможности, возникающие при совместной работе тепловых электро­ станции и гидростанций [Л. 9, 19]. В последнем случае исследование экономичности следует проводить на про­ межутке времени, соответствующем аккумуляционным возможностям гидростанций [Л. 119].

На распределение нагрузки между электростанциями влияют потери активной мощности Pv в электрической сети, которые вызывают дополнительные затраты в си­ стеме. Настоящая глава посвящена методу определения приращения потерь в сети, вызываемого изменением на­ грузки электростанции. Согласно классическому методу определение экономичного распределения нагрузок меж­ ду электростанциями системы состоит в определении значений мощностей станций, дающих минимум затрат в системе при условии, что сумма всех мощностей стан­ ций равна сумме мощностей на1 рузок и потерь.

Если для 1-й электростанции dKildPt — частная про­ изводная затрат по мощности, a dPvjdPt — частная про­ изводная потерь в сети, то распределение нагрузок, обес­ печивающее минимальные затраты в системе, соответст­ вует таким значениям мощностей, при которых множите­

dPt

для всех электростанции одинаковы.

Эти условия получены при следующих упрощающих допущениях:

а) функция затрат выпуклая (вторая производная д2Кг/дР!1 положительна или равна нулю);

б) потери на останов и пуск машин не учитываются;

278

в) отсутствуют ограничения мощностей отдельны станций (Pi).

В действительности эти три условия не выполняются. Поэтому такое определение нагрузок станций является приближенным, но оно дает относительно простой спо­ соб расчета.

Метод, изложенный в [Л. 121], исходит только из условий «а» и «б» и учитывает ограничения по макси­ мальной и минимальной мощности (рис. 13-1) и допустимые границы от­ клонения напряжений генераторов.

Метод основан на алгоритме Куна — Танкера [Л. 121].

В этом методе равенство (13-1) необходимо удовлетворить только для машин, нагрузка которых не нару­

шает ограничений по максимальной или минимальной мощности. Значе­ Рис. 13-1. Область

допустимых нагру­

ние h для машин, работающих при зок генератора. максимально допустимой нагрузке,

меньше, а для машин, работающих при наименьшей до­ пускаемой нагрузке, больше, чем значение А,,- машин, работающих в пределах допустимой нагрузки.

Ясно, что увеличение мощности одной из электро­ станций при неизменных нагрузках приводит к соответ­ ственному уменьшению мощности балансирующей стан­ ции. Это позволяет для каждой станции определить от­ носительное (к базисной точке) приращение потерь [Л. 116].

Если вследствие увеличения нагрузок увеличивается мощность одной из электростанций, то возникающее при этом изменение потерь в сети дает абсолютный прирост потерь по мощности данной электростанции [Л. 112].

В 1выражение (13-1) следует подставить абсолютное приращение потерь. Если балансирующий узел находит­ ся в центре сети, то абсолютное приращение потерь ма­ ло (обычно не превышает 5%), поэтому приближенно расчет можно вести на основании относительного прира­ щения потерь. В этом случае метод значительно упроща­ ется. Поэтому в дальнейшем будем пользоваться отно­ сительным приращением потерь.

Минимальное значение потерь можно определить так­ же градиентным методом (см. § 6-5,и).

279

13-2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕРЬ В СЕТИ

13-2,а. Общее выражение потерь в сети. Здесь целе­ сообразно исходить из варианта 1 схемы замещения, рассмотренного в гл. 6 (см. табл. 6-1). Для этой схемы

тери в сети в обозначениях, принятых в гл. 6, имеет вид:

13-2,6. Активные и реактивные потери, представлен­ ные с помощью алгебраических выражений относительно токов. Аналогично § 6-5,в составляющие сопротивлений и токов в алгебраической форме могут быть записаны как

Zij — Hij "t" j^ijt

Выделяя действительные и мнимые части, получаем выражения

Ввиду того, что матрицы Rc и Хс симметричны, i*oRci6=i*bRci0;

l*aXeib = I W . ,

280