книги / Современные методы анализа электрических систем

вых ремонтных работ или в результате аварии. Для сложной сети электрической системы подобных режи­ мов может быть очень много. При этом необходимо знать только те параметры режима, которые отличают­ ся от допустимых. Если это условие запрограммировать в ЭЦВМ, то на печать будет выводиться только инфор­ мация о таких критических случаях.

6-3,6. Соотношения между узловыми напряжением, током и мощностью. В варианте А задания исходных данных заданы мощности во всех узлах, кроме балан­ сирующего, для которого известен вектор напряжения. Ниже приведено несколько основных соотношений, важ­ ных для дальнейшего рассмотрения методов расчета по­ токов мощности.

1) Комплексная (активная и реактивная) мощность /-го узла определяется следующим образом:

Scj = Ujiсj,

где ioj — сопряженное комплексное значение тока узла

1с).

Это соотношение в матричной форме записи с уче­ том обозначений (6-12) будет иметь следующий вид:

2) В первом варианте схемы замещения содержатся только последовательно включенные элементы; базис­ ной точкой является один из узлов (обычно баланси­ рующий источник), поэтому по узловым токам можно определить только падения напряжения в узлах соглас­ но (3-20):

(6-24)

где

Yc — матрица узловых проводимостей.

3) В вариантах 2—4 схема замещения содержит та же параллельно включенные элементы; базисной точкой

121

является нулевая шина. В отличие от предыдущего слу­ чая матрицы узловых проводимостей и сопротивлений обозначим как Yc и Ъс. На основании уравнения (3-20)

6-3,в. Зависимости между падением напряжения и мощностью в узле. Этой зависимостью можно пользо­ ваться при первом варианте схемы замещения. Из соот­ ношений (6-24), (6-22) и (6-13) получаем:

напряжение базисного узла t/0 скалярно. Необходимо определить вектор падений напряжений узлов ис отно­ сительно базисного. Задачу можно решить с помощью зависимости (6-26). Однако поскольку эта зависимость нелинейна, решение возможно только приближенным методом, способом итераций.

В начале расчета примем, что в правой части урав­ нения (6-26) все узловые напряжения равны заданному напряжению базисной точки. В соответствии с этим для первого приближения в правой части уравнения сделаем замену ис= 0 . В результате расчета получим вектор Uci, который подставим в правую часть уравне­ ния. Продолжим этот итерационный процесс до тех пор, пока элементы вектора падений напряжения ис двух последующих приближений не будут отличаться на ма­ лое (по сравнению с первоначальным) допустимое зна­ чение.

Если мощность балансирующего источника окажется недопустимо большой, то часть ее следует распределить между другими источниками.

Матрица узловых сопротивлений Zc в уравнении (6-26) определяется обращением матрицы узловых про­ водимостей Yc. Ввиду того, что по уравнению (6-26) не­ возможно непосредственно рассчитать вектор ис (это можно сделать только методом итераций), для расчетов можно использовать уравнение с матрицей узловых проводимостей. В этом случае из уравнения (6-26) по-

122

лучаем:

Это матричное уравнение можно решить с помощью одного из итеративных методов (см. § 6-4—6-6).

6-3,г. Зависимости между узловым напряжением и узловой мощностью.

1) Для первого варианта схемы замещения из соот­ ношений (6-27) и (6-11) следует:

Это матричное уравнение следует решать так же, как уравнение (6-27). Оно может применяться и при зада­ нии исходных данных по варианту В.

2) Для вариантов схемы замещения 2—4 можно ис­ ходить из уравнений (6-25) и (6-22), тогда

Необходимо принять во внимание (см. табл. 6-2),что напряжение балансирующего источника Uo задано. В со­ ответствии с этим матричное уравнение (6-25) запишем

Штрихами помечены те векторы и матрицы, которые не содержат элементы, соответствующие балансирующему источнику. Вместо вектора мощностей Sc, определяемо­ го выражениями (6-22) и (6-23), введем вектор S'c, не содержащий мощности балансирующего источника. Тог-

123

Эти уравнения можно решить приближенным методом, изложенным ниже.

6-3,д. Зависимости между узловым током и мощно­ стью.

1) Для первого варианта схемы замещения на осно­ вании зависимостей (3-20), (6-23) и (6-11) получим:

Это уравнение сходно с (6-26), но отличается тем, что вектор узловых напряжений U в правой части (6-26) изменяется в малой степени, а вектор узловых токов ic изменяется в широких пределах. Вследствие это­ го итерационный процесс плохо сходится. Последнее согласуется с опытом расчетов [Л. 60].

Для полноты изложения, перейдя в (6-36) к матри­ це узловых сопротивлений, получим:

2) Для вариантов схем замещения 2—4 уравнение (6-37) имеет вид:

Ввиду того, что расчеты по этому выражению тре­ буют большого времени (возникают трудности со сходи­ мостью), в дальнейшем будет использоваться только зависимость между узловыми напряжениями и мощно­ стями (см. § 6-3,г).

6-4. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОГО РАСЧЕТА

Уравнения, связывающие режимные параметры си­ стемы, можно при расчетах потоков мощности разде­ лить на две группы. К одной группе относятся уравне­ ния (6-26), (6-34), содержащие матрицу узловых сопро­ тивлений; к другой — уравнения (6-27), (6-35), содер­ жащие матрицу узловых проводимостей.

124

6-4,а. Прямая итерация. При варианте А задания исходных данных (см. табл. 6-2) с помощью нескольких итераций можно получить достаточно точное решение уравнений (6-26) и (6-34). Задачу можно сформулиро­ вать следующим образом:

решить систему уравнений

Матрица А(х) этого уравнения содержит элементы неизвестного вектора х. Однако величины xif ..., хп по крайней мере на один порядок меньше соответствующих постоянных элементов данной матрицы. В начале рас­ чета задаются значения xif ..., хп> которые подставля­ ются в матрицу А(х), затем на каждой итерации вно­ сятся поправки.

На первой итерации, задаваясь вектором х0, полу­ чаем:

X i= A (x o )a + b .

Итерации следует продолжать до тех пор, пока не будет выполняться условие

|Х„—X„_i|<8.

6-4,6. Косвенная итерация. Более длительный итера­ тивный процесс необходим для решения систем уравне­ ний (6-27) или (6-35), относящихся ко второй группе. Итерационные методы решения этих систем можно раз­ делить на две основные группы. К одной из них отно­ сится метод Ньютона — Рафсона, с помощью которого можно решать уравнения общего вида. К другой группе относятся методы, применяемые для приближенного ре­ шения систем линейных уравнений.

1) Систему уравнений общего вида с многими неиз­ вестными можно записать следующим образом:

(6-41)

Необходимо определить неизвестные

125

2) К системам уравнений, аналогичным линейным, относятся те, которые могут быть записаны в матричной форме с элементами, зависящими от неизвестных, при условии, что зависимость эта слабо выражена. Такую систему уравнений можно записать следующим обра­ зом:

Ь=А(х)х. (6-42)

Методы, разработанные для решения систем урав­ нений (6-41) и (6-42), будут подробно рассмотрены в § 6-5 и 6-6.

6-5. ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД НЬЮТОНА—РАФСОНА

6-5,а. Изложение метода. С помощью метода Ньюто­ на (метода касательных) можно приближенно решить нелинейное уравнение f(x)= 0.

Если f(a )< 0 и f(b )> 0 и на отрезке [а, b] имеет ме­ сто df(x)/dx> 0, то корень уравнения (единственный на

f ( b ) < 0 .

Рассмотрим решение системы уравнений с двумя не­ известными:

f(x, у )= 0,

g(x, у) = 0.

Пусть единственным решением этой системы уравне­ ний в пределах

а—Н ^ х ^ а + Н,

Ь -К У b + К

будет х = а, у=Ь. Кроме того, будем полагать, что в об­ ласти, заданной указанными пределами, функции f и g имеют непрерывные частные производные fx, fv, gx, gv и

fx fy

gx gv

126

Пусть хо, уо есть приближенное решение системы уравнений в указанных пределах. Линеаризуем исход­ ное уравнение в окрестности этого приближенного ре­ шения путем разложения в ряд Тейлора и опускания членов ряда порядка выше первого:

из которой можно найти hk и 1гк. Следующее приближение определяется так:

Итерации продолжаются до тех пор, пока уточнения не станут меньше заданной величины

hk, &ft<e.

Если считать, что f u g являются элементами век­ тора q, а независимые переменные х и у — элементами вектора р, то частные производные /*, fv, gx, gy будут элементами матрицы градиента вектора q по вектору р. Действительно, градиент скалярной величины V по век­ тору р определяется как

рg x I g y J

127

6-5,6. Применение метода для решения уравнений, связывающих напряжения и мощности. Пусть заданы активные и реактивные мощности в узлах системы (ва­ риант А задания исходных данных), образующие век­ тор Se. Вектор узловых напряжений U можно опреде­ лить итерационным методом, используя соотношение (6-30) и определяя разность

AS = Se—Sc,

которая в процессе итераций стремится к нулю:

следующее выражение для расчета вектора разностей мощностей:

няться и для итерационного решения других уравнений [например, (6-35)].

При решении задачи для вариантов А и В задания исходных данных можно применять алгебраическую, тригонометрическую и экспоненциальную форму записи комплексных чисел (см. § 6-2,а). Однако элементы век­ тора S с целью выделения активной и реактивной мощ­ ности всегда записывают только валгебраической форме.

6-5,в. Запись комплексов напряжений и полных про­ водимостей в алгебраической форме [Л. 45, 50, 51, 60]. Введем следующие обозначения:

Уjj == Gij -j- jBij;

Ui = Uia+ iUib.

128

Разделив выражение (6-51) на действительную и мни­ мую части, для /г-й итерации получим:

129

Подставив (6-54) в (6-52) и учитывая (6-56), получаем:

— grad Р = diag (GCU0)- f (diag Ue) Gc —

U 0

-diag (BCU6) +(diag Ub)Bc;

—grad P = diag (GcUb)-|- (diag Ub) Gc -f- Ub

+diag (BCU0) - (diag U0)BC;

—grad Q = —diag (BCU0)— (diag U0) B„ —

Ua

-diag (GcUb) + (diag Ub)Gc;

—grad Q = —diag (B Ub) — (diag Ub) В +

+ diag (GCU «)-(diag U„)GC.

элементы, расположенные на главной диагонали; значе­ ния остальных элементов малы, при итерации ими мож­ но пренебречь. Это существенно облегчает расчет AUab и AUbft по известным значениям АРЬ и AQb. При расче­ тах напряжение балансирующего источника следует поддерживать постоянным. Поскольку

то на следующей итерации градиенты следует рассчиты­

жать до тех пор, пока не будет выполнено условие

AU„<E.

6-5,г. Вариант А задания исходных данных при запи­ си комплексных чисел в алгебраической форме. На k-u

итерации необходимо выполнить следующие операции: а) по векторам напряжений U0fc и и ьь, определен­ ным на предыдущей итерации, с помощью выражений

(6-54) рассчитываются векторы мощностей Pfc и Qь;

б) по выражениям (6-53) определяются отклонения активной и реактивной мощностей от заданных значе­ ний— APft и AQfc;

130