вание короткозамкнутой обмотки (рис. 11-11) можно выполнить с помощью уравнения, аналогичного (11-36), в котором вместо матрицы К—ff* порядка п будет ма трица К порядка п— 1, а вместо 1„ будет единичная ма трица I„_i.
^г2. Ln
Рис. 11-12. Учет витко- |
6) |
вой емкости в звене це |
Рис. 11-13. Преобразова |
почечной схемы заме |
щения. |
ние двухполюсника. |
Витковые емкости учитываются в цепочечной схеме [Л. 106], составленной из четырехполюсников (рис. 11-12). Ясно, что двухполюсник на рис. 11-13,а при любой ча-
Рис. 11-14. Схема замещения обмотки вращающейся машины с уче том витковой емкости.
стоте можно заменить двухполюсником на рис. 11-13,6.
Составленная таким путем цепочка |
показана на |
рис. 11-14. У этой модели, помимо токов |
..., in, сле |
дует рассматривать токи /ь ..., /п. Матричные уравне ния в этом случае:
D,i + D1j = C ^ -u ; |
|
} + abC L §?}= aC L ^-i; |
(1Ь37) |
—D*,u = L-^-I — ent/- |
|
Преобразования этих уравнений аналогичны приве денным в § 11-3,а. Умножение преобразованных выра жений (11-37) на собственный вектор w*ft позволяет по лучить независимые уравнения, содержащие матрицы четвертого порядка, которые проще решить (Л. 106].
*
о
Рис. 11-15. Схема замещения обмотки вра щающейся машины с учетом взаимоиндук ции.
В схеме замещения, приведенной на рис. 11-15, учи тывается взаимная индукция; эта схема схожа со схемой замещения обмотки трансформатора, приведенной на рис. 11-6, только она не содержит последовательной емкости [Л. 105].
11-5. СОСТАВНАЯ ЦЕПОЧЕЧНАЯ СХЕМА ЗАМЕЩЕНИЯ
Составная цепочечная схема образуется соединением цепочечных схем, рассмотренных в § 11-2—11-4. Иссле дование поведения волны коммутационного и атмосфер ного перенапряжений в местах ответвления линий или соединения двух цепочек с различными параметрами часто является важной задачей (Л. 81—83]. Например, возникает вопрос, какое распределение перенапряжений будет при наличии у трансформатора обмотки регули рования.
При исследованиях желательно получить систему уравнений в матричной форме, содержащей равномерно неразрывную матрицу. Учет соединений приводит к из
менению собственных |
значений неразрывных матриц. |
По новым полученным |
собственным значениям с по |
мощью матричных полиномов Лагранжа можно опреде лить новые проекционные матрицы (см. § П-5 приложе ния) и рассчитать составную цепочечную схему.
11-5,а. Ответвление линии [Л. 108]. На рис. 11-16 по казано соединение в одной узловой точке линий а, Ь и с. Разделение линий на участки такое, что электриче
ские параметры С, L, R одинаковы для всех трех линий.
Волна перенапряжения приходит в точку 0 линии а. Кон цы Ьр и cq линий b и с разомкнуты. Обозначим:
У ап |
|
^ап |
И м |
|
h i |
и = |
; |
i = |
ИЬр |
|
h p |
и с1 |
|
h i |
е= n-\-p-\-q элементов;
оJ
cg__. |
|
—lcq_ |
|
о п |
Dn — f„e % |
|
|
|
T = 0 |
Dp |
oi ; fft = |
i |
k элементов |
_ 0 |
0 |
|
L |
о |
|
|
|
1 Л |
|
|
(k — n, р, |
q). |
|
Разностная матрица Dft согласно (П2-9) имеет k-й порядок.
Матричные уравнения переходных процессов в ука занных обозначениях имеют вид:
Т1 = С 4 „ ;
(11-38)
—T*u = L - |-i + tfi — £/е.|
Согласно методу, подробно изложенному в § 11-2,а, перейдем к дифференциальному уравнению (11-7), ма трица В которого будет:
В = |
Ш ТТ* - £ 1- |
|
(П-39) |
Выражение (11-39) |
отличается от |
(11-6) |
тем, что |
в нем вместо матрицы D фигурирует матрица Т. Функ |
ция g(t), имеющаяся |
в выражении |
(11-7), |
совпадает |
с последним выражением (П-6). |
|
|
Собственные значения матрицы В можно найти как корни характеристического определителя
|pim- B | = ^ , | 0 m- T T * | = Of |
(П-40) |
где
m = n~\-p-\-q-
D2
Произведение матриц ТТ* можно записать следующим образом:
где отдельные блоки:
Характеристический определитель можно рассчитать разложением на блоки в соответствии со вторым соотно шением (П1-12). Целесообразно разложение выбрать так, чтобы легко было рассчитать матрицу, обратную Вг. В соответствии с этим примем:
(11-42)
Характеристический определитель согласно (П5-3) равен нулю, на этом основании согласно (П1-12)
| |А, — А*аВ~‘Аа | = 0. |
(11-43) |
Если в (11-42) обозначить
Н р = Я р ( К р f p l * p )
и |
|
Н ,= |
Я, — (К , — f9f*9), |
|
|
|
|
a hptj |
и hqij — элементы матриц Н~' и |
НГ"\ |
|
|
то А * г В |
; , А а = |
( Л Р 1 1 + |
А |
, 1 1 ) 1 п 1 * я . |
Характеристический определитель будет: |
|
| А, - |
А*2В~'А2| = | Я„ - |
Кп - |
(1 + |
V |
+ |
А,м) f f*„ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11-44) |
В матрицы Нр и Нq |
подставляем |
2—^=2 cos 0 и |
в результате |
преобразований |
получаем (Л. 4, 109]: |
|
|
|
|
|
COS 2/7 — |
1 |
в |
|
|
|
|
Арл |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
rcos |
2/? + |
1 |
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2q —1 |
в |
|
|
|
|
hqlx |
|
cos — |
|
|
|
|
|
|
cos |
2*7 +1 |
в |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
характеристический |
определитель |
можно записать в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A, |
А*2В~'А2| = |
2q —1 |
|
|
|
|
2/7 - 1 л |
|
sin (/г + 1)8 + |
1. |
cos----- 2----- в |
cos — |
в |
cos 2р+1 |
|
cos 2q+l |
sin л8 |
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
sin 8 |
|
|
|
|
|
Предполагая, |
что |
0 ^ 0 , |
необходимо |
решить следующее |
уравнение: |
|
sin {ft —|—1)0 —J- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2/7 — |
1 |
8 |
cos |
2q —1 |
|
|
|
|
|
- |
~ о |
€ |
I sin «0 = 0. (11-45) |
+ |
i |
|
|
e |
cos |
|
|
- e |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos — ^ — |
|
|
|
|
|
..., |
Для определения корней этого уравнения |
0 Ь 02, ... |
0 m (m =n+p + q) |
следует пользоваться |
каким-ни |
будь приближенным |
методом. |
|
зан |
11-5,6. Линия и трансформатор. На рис. 11-17 пока |
трансформатор, |
последовательно подключенный |
к линии. Для расчета переходного процесса в такой схеме (как известно из (Л. 7, 82]) применяют графические методы. С помощью матричного метода расчета в этом* случае можно найти математическое решение следующим образом [Л. 109].
*-/ Ь? * *•/» *777+/ *777+2 ^ГП+П
Рис. 11-17. Схема замещения последовательно соединенных линий и обмотки трансформатора.
Для упрощения не будем учитывать взаимную индук цию обмоток трансформатора, хотя в общем случае ее можно учесть (см. разд. 11-3,а).
|
|
|
|
Пусть |
схема замещения линии |
будет разбита на пг |
участков, |
а трансформатора — на |
п участков. Переход |
ные |
процессы в схеме, приведенной на рис. 11-17, для |
/ ^ 0 |
будут описываться следующей системой дифферен |
циальных уравнений:
|
*771- 1 *771 --^ V ~drUm - 19 |
|
*771 *771+1 ^ “^г(**т |
**m+l) |
Um] |
(11-46) |
|
*m+2 —Ci ~TT ( |
um 2w |
|
*771 + 1 |
|
|
♦771+1 |
|
|
|
|
|
|
**77i+2) + |
&Ct -rru |
|
|
|
dt |
**771+1» |
|
* m + n - i * m + nC t —[ft ( W m + n - a 4 " 2 u m + n - i ) " Ь
~\~aCt ~df Ww»+n^j;
U — U x — Lv~ |
it; |
|
u2 Lv ^ |
|
(11-47) |
ux |
iaj |
^m+n- 2 |
__т |
d . |
u m +n- 1 |
dt |
*m+n-i> |
^ « x « o |
j - 7 i — i |
“777“ |
t |
Ur a + n - i |
|
^ г т + п * |
Запишем матричное дифференциальное уравнение для систем (11-46) и (11-47), вводя векторы напряжений и токов.
|
|
|
ax |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
U = |
Um |
* |
i — 1 |
|
|
|
|
|
Jm+1 |
|
|
|
Um+i |
|
|
|
и обозначения |
eft, |
_ |
«Л |
|
_ |
- |
- |
D, D] и |
t*. (см. приложение (П1-9)], |
К [см. приложение (П2-7) —(П2-10)]: |
|
|
|
Г |
Dl |
|
|
0 1 |
i: |
|
|
|
L e„f*m |
- D * J |
|
|
|
= Г Cvlm-' |
|
|
|
|
° |
1 — u- |
L |
0 |
|
Ct (Kn — ee*n) + |
aCtI„ J dt |
’ |
„М 8 ,
Для упрощения записи введем следующие обозначения:
|
Т = Г |
D‘ |
0 |
1; |
|
|
I |
e „f*m - D |
М |
|
(11-49) |
f CvIm_ , |
0 |
|
1 |
l |
0 |
Ct (Kn — e„e*n) + |
aCtln J ’ |
|
B = |
<^Z.vIm, LtIn > ; |
it = |
Ti. |
|
Тогда (11-48) можно записать так:
А - 1
|
4 |
•ч* |
О |
|
.:i= u u - |
v j u h u j ^ |
|
где |
|
(11-50) |
|
__ Г “ 1 |
n 1. |
|
|
|
|
L— ^t,enf*w |
Lt (Kn—ene*n) + Lvene \ J ’ |
В &m+n £ ^m+n*
Собственные значения двух блоков матрицы диффе ренциального уравнения (11-50) не такие, как в анало гичных случаях, рассмотренных в § 11-3,а и 11-5,6, по скольку блоки матрицы
содержат матрицу К и диады, образованные вектора ми е и f. В связи с этим для решения уравнения (11-50) необходимо пользоваться методами, приведенными
вразд. 11-3,в.
ГЛ А В А Д В Е Н А Д Ц А Т А Я
ОБЩИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СЕТИ
12-1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
iB гл. 8—11 мы исследовали переходные процессы в элементах сети, содержащих однотипные звенья. Для исследования систем, содержащих разнообразные эле менты или имеющих сложные виды соединений, необхо димо пользоваться общим методом анализа. В этой гла ве на основе аппарата теории матриц дается такой об щий метод, который позволяет исследовать переходные процессы в указанных случаях с помощью ЭЦВМ.
Уравнения переходных процессов в сети запишем с помощью линейного матричного дифференциального уравнения первого порядка. Для этого выделим отдель но индуктивности и емкости сети. Ветви, содержащие индуктивности и сопротивления, поместим в группу I; ветви, содержащие емкости, поместим в группу II.
Пусть число всех ветвей — trt, число ветвей группы I—й, число ветвей группы II — т—k. Согласно формуле (2-2) р= т —п+р, где ji — дипломатическое число (чис ло независимых контуров); п—р — число ветвей дерева или число независимых узлов.
Введем следующие обозначения: |
|
|
L — матрица индуктивностей ветвей |
с индексом I; |
R— матрица сопротивлений ветвей с индексом |
I; С — |
матрица емкостей ветвей с индексом II; |
ii и ui — векто |
ры токов и напряжений ветвей с индексом I; |
и иц — |
векторы токов и напряжений ветвей с индексом |
II. |
12-2. СИСТЕМА МАТРИЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
При введенных обозначениях матричные дифферен циальные уравнения переходных процессов в ветвях сети имеют вид:
(12-1)
Они содержат т скалярных уравнений. Напишем узло вые и контурные уравнения, рассмотренные в § 3-1:
( 12-2)
где ic — вектор задающих токов узлов; ид— вектор, об разованный из напряжений источников напряжения, раз
мещенных в |
контурах |
сети; |
Ai, Ац — соответствующие |
блоки ветвей |
групп I |
и II матрицы |
соединений |
A; |
Bi, |
Вп — соответствующие |
блоки |
ветвей |
групп I и |
II |
ма |
трицы контуров В. |
|
|
|
|
|
12-2,а. Решение системы уравнений при \i<k. Умно жим слева первое уравнение системы уравнений (12-1) на матрицу Bi и в полученное уравнение подставим вто рое уравнение (12-2). Затем умножим слева второе уравнение (12-1) на матрицу Ац и в полученное урав нение подставим первое уравнение (12-2). В результа-
