книги / Современные методы анализа электрических систем

Умножим гиперматричное уравнение (11-20) слева на прямое произведение bXw*^ и в полученном таким об­ разом произведении пренебрежем слагаемым:

Тогда гиперматричное уравнение порядка 2(п—1) рас­ падется на п—1 матричных уравнений второго порядка:

доказать и на основе теории матриц. В том случае, ког­ да проводится исследование (с помощью дифференци­ альных уравнений в частных производных) переходных процессов, вызванных импульсом напряжения, такое упрощение получается автоматически 1[Л. 87]. Величина w*fe(ee*+ff*)ut мала по отношению к w*fctit. При этом

w*ft (ее* - f ff*) ut= wklult + whn_ ,t =

= / - H ( sin- r ) “.‘+ [ sin M" 7 I)

Если n -*■oo, T O

w*fe (ее* + ff*) ut — 0.

Матричное уравнение (11-21) соответствует уравне­ нию (П6-3), решение которого приводится в приложении [см. (П6-4)]. На основании уравнения (11-14), опреде­ ляющего начальные условия, учитывая (11-19), полу­ чаем:

w * ftu (0) = w * ft {2<I*ftW ftW *ft} eU (0) = <I>few **e(7(0).

Обычным матричным умножением можно доказать соот­ ношение:

Решение дифференциального уравнения согласно (П6-4) может быть представлено также в виде беско­

нечного ряда

00

v=0

Принимая во внимание предыдущую зависимость, получаем:

Произведя обратную подстановку

252

где

* k ~

11-3,6. Двухобмоточный трансформатор. В качестве примера рассмотрим схему замещения двухобмоточного

Рис. 11-7. Схема замещения двухобмоточного трансформатора.

трансформатора, показанную на рис. 11-7 [Л. 100], при следующих упрощениях:

1) импульс напряжения приходит к обмотке высшего напряжения;

2) обмотка низшего напряжения замкнута накорот­

ко;

3) один конец обмотки высшего напряжения зазем­ лен;

253

4)обе обмотки можно разбить на равное число «элементарных обмоток»;

5)активным сопротивлением элементарных обмоток можно пренебречь; емкостные связи следует учитывать только для смежных элементарных обмоток;

6)влиянием магнитного сердечника можно пренеб­ речь (что следует также из условия 2);

7)взаимная индукция может быть учтена в соответ­

ствии с (11-12).

в § 11-3,а. Гиперметричные уравнения обмоток транс­

Начальные условия в матричной форме записи:

Матричное уравнение (11-27) при начальных усло­ виях (11-28) можно решить с помощью метода, изложен­ ного в § 11-3,а. В этом случае (11-27) можно разложить в соответствии с системой собственных векторов матри­ цы К, так как матрица Q-1 согласно (П2-24) выража­

254

ется с помощью равномерной неразрывной матрицы при условии пренебрежения диадами.

Зависимости значительно упрощаются, если две об­ мотки одинаковы, т. е.

Ввиду громоздкости выражений решение здесь не приводится, более подробное изложение можно найти в (Л. 100]. Принципиально ход решения аналогичен при­ веденному в § 11-3.

Ри с. 11-8. С хем а зам ещ ен и я неоднородной обм отки .

11-3,в. Неоднородная обмотка. Для исследования не­ однородной обмотки необходимо записать узловые или

личается от остальных и если она является начальной или конечной «элементарной обмоткой», то этот особый случай можно исследовать методом, изложенным в § 11-3 (Л. 96, 98, 99].

Модель применима к трансформаторам:

1)у которых начальная часть обмотки изготовляется

сбольшей витковой изоляцией;

2)которые снабжены регулятором с регулирующими витками, подключенными к нейтрали и имеющими иные витковую емкость и индуктивность.

Вдальнейшем будет исследован случай 1 (рис. 11-8); случай 2 может быть рассмотрен аналогично.

Исходя из того, что последовательные емкость С{ и индуктивность L{ первого звена схемы замещения об-

255

мотки отличаются от остальных, вводя обозначения

и пользуясь выводами в § 11-3,а, запишем систему ма­ тричных уравнений следующим образом (пренебрегая влиянием взаимоиндукции):

С11 = ,С ( К + а 1 п_ | + 6 е е - ) 4 и - ( 1+ 6) С е Ж ^ '

- t \ u = L (I„+ /ее*)-%■ i - t U .

(11-29)

Начальные условия в матричной форме имеют вид:

(К+ «I + бее*) и (0) = aU (0);

1(0) = 0.

Введя обозначения (11-17) и преобразовав (11-29), полу­ чим:

~ЗГUt— р ^ '( ^ _Ьа^ ч + б®е*)-1 it+

+ (К + а \ п - , + бее*)-1е (1 + б) f C ± U ;

(11-30)

+ ^ = 0 (1 + /е е * )-‘ КС(/.

На основании зависимости Шермана — Моррисона, при­ веденной в гл. 5 (5-12), введем в (11-30) следующие обозначения (другие обозначения — из § 11-3,а):

где Whi — первый элемент вектора w*.

256

перматрицы, состоящей из блоков А' и А".

Последний случай будет рассмотрен в связи с реше­ нием другой задачи.

В случае применения итерационного метода выделя­ ются компоненты матриц А' и А", содержащие проек­ ционные матрицы wftw*ft, и включаются в матрицу А. Остальные компоненты, содержащие матрицы ее*, об­ разуют матрицу В. Тогда дифференциальное уравнение

лить х,, являющийся решением однородного дифференциаль­ ного уравнения — х = Ах.

Подставим величину х, в (11-33):

4 - х = Ах + В х ,

(11-33). Решение неоднородного уравнения можно по­ лучить обычным способом [см. (П6-4)].

257

Для иллюстрации операторного метода расчета ис­ следуем влияние единичного импульса U\. Из (11-29) можно получить (Л. 99]:

Обратное преобразование можно выполнить извест­ ным способом (преобразование Лапласа). Ввиду того, что такому расчету уделено много внимания в литера­ туре [Л. 33, 34], он здесь рассматриваться не будет.

11-4. ЦЕПОЧЕЧНАЯ СХЕМА ЗАМЕЩЕНИЯ ОБМОТКИ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ МАШИНЫ

В условиях эксплуатации в обмотки вращающихся машин проникают волны с крутым фронтом. Во многих случаях нельзя пренебречь воздействием перенапряже­ ний на машины, соединенные с сетью через трансфор­ матор.

Факторы, определяющие распределение импульсов напряжений во вращающихся машинах, другие, чем в трансформаторах. Роль последовательных емкостей

258

вращающихся машин меньше, однако в известных слу­ чаях необходимо учитывать демпфирующее действие по­ терь от вихревых токов путем введения в схему замеще­ ния обмоток активных сопротивлений, включенных па­ раллельно индуктивностям. Несмотря на то, что эти сопротивления зависят от частоты, при исследованиях, проводимых на основе цепочечных схем замещения, практически достаточно оперировать с постоянными средними значениями.

Некоторые авторы не учитывают последовательные емкости, и это приводит к тому, что схема замещения

В случае малого числа витков ее можно учесть, хотя она и невелика. Таким образом, звено цепочечной схе­ мы замещения вращающейся машины можно отобра­ зить четырехполюсником, приведенным на рис. 11-9.

Обмотка вращающейся машины представляет собой сложное соединение отдельных частей. Для упрощения задачи будем учитывать взаимное влияние только тех частей обмотки, которые лежат в одних пазах. Связью между лобовыми частями обмотки пренебрегаем. В слу­ чае однослойной (концентрической) обмотки можно пре­ небречь взаимным влиянием частей обмоток, н только при двухслойной (петлевой) обмотке имеет смысл учи­ тывать взаимные связи. Согласно результатам экспери­ ментов [Л. 103, 1081 емкостной связью можно пренебречь (по отношению к индуктивной). Определение индуктив­ ной связи в большой мере зависит от конструкции ма­ шины. В общем случае тип вращающейся машины, спо­ соб намотки и размеры машины определяют, какую

259

схему замещения можно применить для определения распределения импульса напряжения по обмотке.

Простая схема, приведенная на рис. 11-10, схожа со схемой замещения линии при холостом ходе, но в дан­

Рис. 11-10. Схема замещения разомкнутой обмотки вращающейся машины.

с индуктивностями L. Пользуясь обычными обозначе­ ниями и вводя такие обозначения, как [Л. 104]

после преобразования согласно (11-17) получаем:

(11-36)

Это матричное уравнение можно решить методом, изло­ женным в § 11-3,а. Собственные значения и собст­ венные векторы матрицы К—ff* определяются так, как указано в приложении [см. (П2-17) и (П2-18)]. Исследо-

Рис. 11-11. Схема замещения замкну­ той обмотки вращающейся машины.

060