книги из ГПНТБ / Толшин В.И. Основы автоматики и автоматизации энергетических установок учебник

Если в (4.2) вместо р подставить мнимую величину /со, где ы —■ произвольно изменяемая величина, называемая частотой, то вели­ чину W (jсо) можно называть частотной передаточной функцией:

Поясним физическую сущность передаточной функции. Для этой цели предположим, что на вход звена поступает гармониче­ ский сигнал вида

Установившееся движение выходной величины при условии наличия демпфирования в системе и, следовательно, затухающих свободных колебаний получим в виде

В уравнениях (4.4) и (4.5) х)0 и х20— амплитуды колебаний входной и выходной величин, а ф — сдвиг фаз выходной величины по отношению к входной. При этом х20 и ф зависят от частоты со.

Поставим теперь задачу найти частное от деления х2 на Х\. Подставив (4.4) и (4.5) в (4.1), получим

Сравнивая левые и правые части выражений (4.3) и (4.6), ви­ дим, что они одинаковы. На основании этого можно сделать сле­ дующий вывод: модуль частотной передаточной функции равен отношению амплитуды колебаний выходной величины к вход­ ной, т. е.

Сдвиг фаз ф между входной и выходной величинами равен аргументу W(jсо) при условии, что входная и выходная величины изменяются по гармоническому закону:

скому коэффициенту усиления линейного, звена или системы. Из выражения (4.3) следует, что W(ja) является комплексной вели­ чиной. Представим ее в виде

w u * ) = w x( * ) + j W M ,

где W1(оэ) — реальная (вещественная) часть W(jсо); jW2(a) — мнимая часть W(ja>),

120

или в виде

U7(yu>) = Л ((!))<?ЗУИ

где

A(i») = V w \ (ш) -f w\(u>) ;

t ( ", = ars ‘s | ^ r j -

так как в №2(со) величина со входит в нечетной степени. Абсолют­ ные значения tt^i(co) и (со), а также знак Wi (со) при измене­ нии со на —со не изменяются. Поэтому АФХ, построенная для зна­ чений ш = —сон-0, будет зеркальным отображением АФХ, построен­ ной для значений со = 0-^ + оо. В связи с этим частотные характе­ ристики рассматриваются только для положительных значений со.

Вид АФХ дает наглядное представление о прохождении гармо­ нических сигналов через звено или систему.

В ряде случаев для анализа системы регулирования исполь­ зуются следующие зависимости:

I (со) — вещественная частотная характеристики ВЧХ, т. е. за­ висимость реальной части АФХ от со;

(со)— мнимая частотная характеристика, т. е. зависимость мнимой части АФХ от со;

L (со) = 20 lg| W(jio)\ — логарифмическая амплитудно-частот­ ная характеристика (ЛАХ), т. е. зависимость модуля АФХ от со, построенная в логарифмическом масштабе. При построении ЛАХ. по оси абсцисс откладывается частота в октавах или декадах, по оси ординат — величина 20 lg | W (у'ш) | в децибеллах *);

*) Децибелл равен одной десятой белла — единице, соответствующей усиле­ нию мощности в 10 раз; октава соответствует увеличению частоты в два раза, декада — в 10 раз.

121

■ф(ю)— логарифмическая фазовая частотная характеристи­ ка (ЛФХ), т. е. зависимость сдвига фаз ф, град, от частоты со, ко­ торая откладывается по оси абсцисс в октавах или декадах.

Ниже рассматриваются характеристики типовых линейных ди­ намических звеньев систем автоматического регулирования.

Для каждого звена выводятся передаточные функции и строят­ ся переходные и частотные характеристики, а для безынерционных и инерционных звеньев, называемых позиционными, — и статиче­ ские характеристики.

§ 4.2. Безынерционное звено и инерционное звено 1-го порядка

Безынерционным называется такое звено, динамика которого

Характеристики безынерционного звена показаны на рис. 4.2.

Передаточная функция этого звена W(p) может быть получена из (4.9), если перейти к изображениям: W(p)=k.

Рис. 4.2. Амплитудные характеристики безынерционного звена:

а — статическая; б — переходная; о — логарифмическая

АФХ безынерционного звена — это точка, расположенная на вещественной оси на расстоянии k от начала координат. Фазовый сдвиг между входным и выходным сигналами равен нулю. Выра­ жение для ЛАХ безынерционного звена имеет вид L = 20 IgA

К безынерционным звеньям могут быть отнесены такие эле­ менты реальных систем автоматического регулирования, в которыхзначение выходной величины, соответствующее значению входной по статической характеристике, устанавливается практически мгно­ венно, вслед за изменением входной величины. К таким элементам могут'быть отнесены зубчатые, червячные, рычажные передачи, электронные и полупроводниковые усилители, потенциометрические и индукционные датчики.

Апериодическим или инерционным звеном первого порядка на­ зывается такое звено, зависимость между выходной и входной ве­

122

личинами которого описывается дифференциальным уравнением

Статическая характеристика инерционного звена — прямая ли­ ния с уравнением X2= kx\.

Переходная функция может быть получена решением уравне- • ния (4.10) при условии, что

Переходная характеристика инерционного звена 1-го порядка представлена на рис. 4.3.

Как видно из выражения (4.11), кривая переходного процесса является экспонентой и приближается к своему новому устано­

этому величина Г может быть получена, если провести касательную к кривой переходного процесса при £=0. Отрезок, отсекаемый ка­ сательной на прямой, параллельной оси абсцисс и отстоящей от

123

И7 2 ( с о )

ф= arctg- U7, (со) = arctg (—0)7’).

На рис. 4.4 представлена АФХ инерционного звена, которая,

L (ео) ^ 20 lg k — 20 lg Гш.

Если и увеличить в 10 раз, то

L (ш) Я5 20 lg к - 20 lg 107ш = 20 lg k — 20 lg Гео - 20.

Следовательно, действительная ЛАХ, соответствующая зависи­ мости (4.16), заменена так называемой асимптотической ЛАХ

124

ввиде ломаной, первый участок которой параллелен оси абсцисс,

авторой имеет наклон — 20 дб/дек.

Действительная ЛАХ будет приближаться к асимптотической

на участках частот ш<£ - у и ш> — . Наибольшее отличие при

На рис. 4.5 представлена ЛФХ инерционного звена. Если <о = - i - , то ф = —45°. Наибольший сдвиг фаз, при со= оо, равен —90°. *

К инерционным звеньям мож­ но отнести ряд объектов автома­ тического регулирования, чувст­ вительные элементы температуры и др. В гл. 2 и 3 приведен вывод уравнений элементов САР энер­ гетических установок, которые яв­ ляются инерционными звеньями.

Элементы реальных систем могут соответствовать также не­ устойчивым инерционным звень­ ям с передаточными функциями

125

В этом случае инерционное звено 2-го порядка называется апериодическим звеном 2-го порядка.

Статическая характеристика апериодического звена 2-го по­ рядка является прямой линией с наклоном к оси абсцисс под углом, тангенс которого равен k. Переходные характеристики при Х! = 1(/!) мо"гут быть получены решением уравнения (4.19), характеристи­ ческое уравнение которого приведем к виду

В соответствии с (4.19) переходный процесс является суммой двух экспонент и показан на рис. 4.6, а.

а)

Рис. 4.6. Характеристики апериодического звена 2-го порядка:

Из (4.21) следует, что апериодическое звено 2-го порядка экви­ валентно двум апериодическим звеньям 1-го порядка, включенным последовательно друг другу, с общим коэффициентом передачи k

Асимптотическая ЛАХ может быть представлена в виде лома­ ной, состоящей из трех участков. Пусть дано, что 74>74, тогда

При ш/ /« у1

L (u))^201g/e.

126

I (u>)zzi20\gk — 20lg

Наклон этого отрезка составляет —20 дб/дек.

Для частот u

* г

L (со) « 20 Ig k — 20 lg 7 > — 20 lg 7 > .

Наклон этого участка составляет —40 дб/дек.

Действительная ЛАХ показана на рис. 4.7 пунктиром. На ри­ сунке приведена также ЛФХ инерционного звена 2-го порядка.

Полное решение уравнения (4.23) при *1 = 1 (£) имеет вид

На рис. 4.8 представлена переходная характеристика колеба­ тельного звена. Переходный процесс носит затухающий колеба- - тельный характер. Затухание обусловлейо тем, что в звене имеется

положительное демпфирование: е>0, X = q Y 1 —

Когда е= 0, решение однородного уравнения (4.23) соответ­ ствует синусоиде и переходный процесс представляет собой не­ затухающие колебания.

127

Передаточная функция колебательного звена имеет вид

На рис. 4.9 приведена АФХ колебательного звена, которая отличается от АФХ апериодического звена 2-го порядка тем, что имеет относительно большую вели­ чину модуля при со^д, т. е. при сдвиге фаз около —90°.

ЛАХ колебательного звена при й=1 строится по выражениям

L (о>) = — 201gV'(l - 7’2o)2)2-f 4£27’2U)2.

ф (ш) = arctg [—2e7V (l — Т^ш2)].

На рис. 4.10 представлено семейство ЛАХ и ЛФХ колебатель­ ного звена, построенное для разных величин е. С уменьшением г

модуль АФХ увеличивается. При е= 0 и со = -^- отношение ампли­

туды выходной величины к входной становится равным бесконеч­ ности. В этом случае колебательное звено называется консерва­ тивным.

В реальных системах автоматического регулирования имеется большое число инерционных звеньев 2-го порядка. К колебатель­ ным звеньям относятся: электрические контуры, состоящие из со­ противления R, индуктивности L и емкости С; центробежные изме-

128

рители скорости, мембранные исполнительные элементы с пружи­ ной и др. При увеличении демпфирования (е>1) эти звенья ста­ новятся апериодическими 2-го порядка.

Рис. 4.10. ЛАХ и ЛФХ колебательного звена

§ 4.4. Интегрирующее и дифференцирующее звенья, звено с «чистым» запаздыванием

Дифференциальное уравнение идеального интегрирующего зве­ на имеет вид

d x9

s r = kx‘■

В этом случае статическую характеристику звена построить нельзя, так как при Xi = const выходная величина не принимает установившегося значения, а изменяется с постоянной скоростью, (рис. 4.11, а ).

Передаточная функция звена имеет вид

АФХ может быть получена из (4.27) подстановкой p = jсо:

=А .

На рис. 4.11,6 показана АФХ идеального интегрирующего зве­ на, представляющая собой отрицательную полуось ординат.