книги из ГПНТБ / Толшин В.И. Основы автоматики и автоматизации энергетических установок учебник

так как все члены, входящие в Q(со), содержат со; следовательно, Q(0) =0. Поэтому

Произведем преобразования подынтегрального выражения,

учитывая, что ejmt = cos at+j sin at:

Подынтегральная функция 1-го интеграла четная, поэтому его нижний предел можно взять равным нулю и удвоить значение интеграла. Подынтегральная функция 2-го интеграла нечетная, поэтому второй интеграл обращается в нуль. Таким образом,

Известно, что последний интеграл выражения (6.14) равен я/2, поэтому

170

Если принять нулевые начальные условия, то до приложения внешнего воздействия (при t<0) y (t ) —0. Заменив в (6.14) t на —t, получим

О

Следовательно, если входное воздействие представляет собой единичную ступеньку, то переходная функция системы может быть получена по известному выражению ВЧХ Р(со) с помощью фор­ мулы (6.17).

Однако вычисление h{i) при реальном криволинейном харак­ тере зависимости Я (со) сопряжено со значительными трудностями. Поэтому обычно используют приближенное решение задачи. Это

171

Введем понятие интегрального синуса si («о = Р ^

инового времени т=£шп. Получим

Л[Я(0), X. ■=] =

Так как значения интегрального синуса определяются числен­ ным методом, то выражение (6.18) при Я(0) = 1 вычислено заранее для различных значений х и т (приложение 2).

Для получения переходного процесса в реальном времени и для случая, когда Я (0)^1, необходимо перестроить переходную функ-

прямоугольных трапецеидальных частотных характеристик. Для этой цели первоначально криволинейную зависимость Р (о) заме­ няют ломаной. Точность дальнейшего расчета будет тем выше, чем

больше число отрезков у ломаной, т. е. чем точнее ломаная линия аппроксимирует реаль­

ную зависимость Я (со). Затем Я (со) в виде ло­

маной линии заменяют трапецеидальными харак­ теристиками по следую­ щим правилам:

а) вертикальная боко­ вая сторона каждой тра­ пеции должна совпадать с осью ординат ВЧХ;

б) сумма ординат всех трапецеидальных частот­ ных характеристик (с учетом их знаков) долж­ на быть равна ординате ломаной линии, которой аппроксимируется реаль­ ная ВЧХ.

На рис. 6.10 показана замена реальной ВЧХ суммой трапеце­ идальных характеристик. Первоначально кривая заменена ломаной линией P(0)bcdef. Затем строятся трапеции в соответствии с изло­

172

ординат этих трапеций равна ординатам ломаной Р(0)Ьст. Участок ломаной mdef заменяется трапециями Ogef и Ogdm.

Так как трапеция Опгса, а также Ogdm в сумме составляют трапецию aiOd\cx, то окончательно ВЧХ заменяется тремя

трапецеидальных характеристик, можно производить графически. В этом случае при построении hL(t) следует учитывать масштабы времени.

Пример 6.2. В качестве примера рассмотрим определение показателей пере­ ходных процессов в системе регулирования частоты вращения дизель-генератора с регулятором непрямого действия и упруго присоединенным катарактом, схема которой была представлена на рис.. 6.4. Принцип действия регулятора был изло­

Подставляя в эту формулу /со и учитывая, что исследование ведется для сброса нагрузки (Х=—1), получаем выражение ВЧХ

чениям единичных трапецеидальных характеристик Л/ (xi, т) с величинами xi, Х2>

173

а)

Рис. 6.11. Разбиение ВЧХ на отдельные прямоугольные трапеции

Рис. 6.12. Построение приближенной переходной характеристики

174

Т а б л и ц а 6.2

§ 6.4. Косвенные методы оценки качества переходных процессов

Приблиоюенная оценка вида переходного процесса по вещественной частотной характеристике

Можно выделить следующие основные свойства ВЧХ, по ко­ торым оценивается вид переходного процесса:

а) Приблизительно одинаковым вещественным частотным ха­ рактеристикам соответствуют приблизительно одинаковые по виду переходные процессы.

б) Если имеются две сходные вещественные характеристики, различающиеся в основном значениями и>п, то переходный процесс, определяемый ВЧХ, у которой ве-

Это вытекает из теоремы о начальном и конечном значении ориги­ нала.

г) Если при каком-либо <b = coi, отличном от нуля, ВЧХ стре­ мится к бесконечности и в ней имеется разрыв непрерывности (рис. 6.13, кривая 1), то это означает, что система регулирования

175

находится на границе устойчивости и в ней происходят незатухаю­ щие гармонические колебания с частотой соь Это следует из выра­ жения для передаточной функции замкнутой системы. Наличие мнимых корней знаменателя приводит к тому, что он становится равным нулю, а Р ( а Н -> оо. Наличие больших пиков означает, что система регулирования близка к границе устойчивости.

Если ВЧХ стремится к бесконечности при со = 0 (рис. 6.13, кри­ вая 2), то это означает, что характеристическое уравнение имеет нулевой корень и система находится на границе устойчивости.

д) Если вещественная частотная характеристика положительна и представляет собой невозрастающую функцию частоты, т. е.

d P ™ <0; Р {ш)> 0 при всех ш, то величина перерегулирования не

превышает 18% статического отклонения.

е) Часть вещественной частотной характеристики, в которо ее ординаты становятся меньше 0,1—0,2 начального значения Р(0), можно не принимать во внимание, так как это приводит к несу­ щественным погрешностям при анализе переходной функции в ее начальной стадии.

Пример 6.3. Требуется оценить качество регулирования САР частоты враще­ ния, показанной на рис. 6.4, при дополнительном оборудовании регулятора уст­ ройством измерения активной мощности. Сигнал измерителя активной мощности

Рис. 6.14. Структурная схема САР с комбиниро­ ванным принципом регулирования

усиливается гидравлическим усилителем золотникового типа и поступает на сервомотор с жесткой обратной связью, затем на суммирующий элемент "регуля­ тора и рейку топливных насосов. Структурная схема САР частоты вращения, реализующей комбинированный принцип регулирования, представлена на рис. 6.14.

Принято, что изменению нагрузки на 100% (А,= I) соответствует перемеще­ ние хода рейки на 50% (г2=0,5). Постоянные времени обоих сервомоторов оди­ наковы: Т. — Т' .

176

Запасом устойчивости по модулю называется величина, опре­ деляемая в общем случае для условно устойчивой САР по выра­ жениям

связаны с видом переходного процесса. Так, например, уменьше­ ние демпфирования в звеньях системы, приводящее к увеличению колебательности процесса, как правило, приводит к уменьшению запасов устойчивости по модулю и фазе.

В хорошо демпфированных системах запас устойчивости по мо­ дулю составляет 6—20 дб, а запас устойчивости по фазе 30—60°.

Интегральные оценки

Интегральные оценки качества косвенно характеризуют откло­ нение регулируемой величины, быстроту затухания процесса, число колебаний и могут быть получены без непосредственного решения' системы дифференциальных уравнений.

Наиболее простая интегральная оценка качества

где y=y(t) — отклонение регулируемой величины от нового уста­ новившегося значения (у/=„ = 0).

178

Геометрически величина / j соответствует площади под кривой переходного процесса (рис. 6.17). Чем меньше площадь, тем быст­ рее затухает переходный процесс, тем меньше величина перерегу­ лирования и выше точность регулирования в переходном режиме. Однако для колебательного процесса (рис. 6.18) суммирование положительных и отрицательных площадей может при­ вести к условию /1= 0, в то время как качествр регулирования будет низким.

Поэтому более предпочтительна другая, так называемая «квадратичная», оценка качества

л а оценка не зависит от знаков отклонений и, следовательно, от формы

процесса. Однако величина /2 также не зависит от частоты коле­ баний.

Уже отмечалось, что большая колебательность регулируемой величины нежелательна, так как она может привести к резонанс­ ным явлениям. Например, колебание напряжения вследствие коле­ баний регулируемой величины — угловой скорости ротора гене­ ратора — может привести к резонансным явлениям в цепях потре­ бителей тока. Поэтому для оценки качества процесса регулирова­

ния может быть использована улучшенная квадратичная инте­ гральная оценка качества / 3:

пример, величина /] может быть определена следующим образом:

где У(p) — изображение по Лапласу величины у.

Подобным образом могут быть получены выражения для /2 и /3.