книги из ГПНТБ / Толшин В.И. Основы автоматики и автоматизации энергетических установок учебник

На рис. 5.4 представлены неправильные годографы (для неустойчивых систем). Прохождение годографа через начало координат (пунктирная кривая) свиде­ тельствует о том, что в системе регулирования есть корни, лежащие на мни­ мой оси.

150

регулирования устойчива.

Вместе с тем можно отметить определенные свойства, присущие годографу Михайлова, для устойчивых систем с увеличением со должно иметь место пооче­ редное равенство нулю вещественной Х(ш) и мнимой К (со) частей М(/со).

§ 5.5. Критерий устойчивости Найквиста и свойства одноконтурных систем

Свойства одноконтурных систем

К р и т е р и й у с т о й ч и в о с т и Н а й к в и с т а

Критерий устойчивости Найквиста используется для оценки замкнутой "САР по АФХ разомкнутой САР. Одновременно должно быть известно, устойчива или неустойчива разомкнутая САР.

В инженерной практике с подобной постановкой вопроса встре­ чаются сравнительно часто. Оценить устойчивость разомкнутой системы, состоящей в ряде случаев из последовательно соединен­ ных типовых звеньев, значительно легче, чем замкнутой.

Достоинством критерия Найквиста является возможность ис­ пользования для оценки устойчивости экспериментально снятых частотных характеристик разомкнутой системы регулирования.

Рассмотрим доказательство критерия Найквиста для системы регулирования, передаточная функция которой в разомкнутом со­ стоянии имеет вид

А4 /0 * 4 /0 = М( р ) ’

что соответствует дифференциальному уравнению

M ( p ) y = N{ p) x .

Очевидно, что оценка устойчивости разомкнутой системы мо­ жет быть произведена по характеристическому уравнению разом­ кнутой системы

М (X) = 0.

По. критерию Михайлова молено установить, устойчива ли разомкнутая система. Оценка устойчивости замкнутой системы может быть произведена по характеристическому уравнению замкнутой системы или по полиному M(p)+N(p), составляющему знаменатель передаточной функции замкнутой системы Ф(р):

Заметим, что степень полинома N(p), как. правило, ниже, чем степень полинома М(р). Поэтому степень полинома N(p) +М(р) равна степени полинома М(р).

151

Имея в виду изложенное, воспользуемся следующим искусст­ венным приемом. Найдем угол поворота вектора, соответствую­ щего годографу комплексного выражения

при изменении со от 0 до + оо.

же АФХ. охватит ее, то условие равенства нулю угла поворота

вектора 1 + Н7(/со) не будет выполнено (рис. 5.7).

Система регулирования, АФХ которой представлена на рис. 5.6, называется абсолютно устойчивой, ибо обеспечение устойчивости

152

такой системы, возможно за счет уменьшения коэффициента уси­ ления разомкнутой системы регулирования.

Из сравнения рис. 5.6, где приведена типовая АФХ абсолютно устойчивой системы, и рис. 5.7, где приведена АФХ неустойчивой системы, видно, что одним из путей обеспечения устойчивости одно­ контурной системы регули­ рования является уменьше­ ние , коэффициента усиле­ ния, например, за счет уменьшения коэффициента усиления одного из по­ следовательно соединенных звеньев.

Пример построения АФХ для устойчивой замкнутой системы, когда разомкну­ тая система помимо устой­ чивых звеньев содержит одно последовательно вклю­ ченное интегрирующее зве­ но, дан на рис. 5.8. Крите­

рий устойчивости Найквиста здесь также справедлив. АФХ разомк­

На рис. 5.9 представлена АФХ системы, устойчивой в разомкну­ том и, согласно критерию Найквиста, в замкнутом состояниях. Однако при уменьшении коэффициента усиления разомкнутой системы замкнутая система может стать неустойчивой. Такая система называется условно устойчивой.

Предположим, что разомкнутая система неустойчива, а харак­ теристическое уравнение разомкнутой системы имеет тп корней в правой полуплоскости. Требуется определить устойчивость замк­ нутой системы.

В этом случае угол поворота вектора M (jсо) при изменении со

7Z

от 0 до + о о составит (п—2т)-^-. Если замкнутая система устой­

чива, то угол поворота вектора Л1(/со) + N(ja) составит-^-п, а угол

строена АФХ для устойчивой замкнутой САР, когда т= 1.

Подобным же образом можно проанализировать вид ампли­ тудно-фазовой характеристики разомкнутой системы для случал, когда разомкнутая система, как и замкнутая система регулирова­ ния, является неустойчивой (рис. 5.10,6).

153-

Приведем окончательную формулировку критерия Найквиста.

Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкну­ той системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы не охватывала точку (—1, jO). Если разомкнутая система неустойчива и m корней ее характеристического уравнения лежат в правой полуплоскости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы охва-

Рис. 5.10. АФХ замкнутой системы. Разомкнутая система неустойчива:

а — устойчивая система; б — неустойчивая система

АФХ систем регулирования, которые в разомкнутом состоянии предполагаются неустойчивыми и имеют два корня в правой полу­ плоскости, представлены на рис. 5.10,6. Очевидно, что в случае а) замкнутая система будет устойчивой, в случае б) замкнутая система неустойчива и имеет также два корня в правой полу­ плоскости.

Свойства одноконтурных систем

Влияние «чистого» запаздывания на устойчивость одноконтур­ ной САР. Проанализируем влияние «чистого» запаздывания на устойчивость одноконтурной системы регулирования на приме­ ре САР, состоящей из двух последовательно соединенных инер­ ционных звеньев и звена с чистым запаздыванием. Для оценки устойчивости используем критерий Найквиста.

■ Структурная схема САР представлена на рис. 5.11, а, а АФХ исследуемой системы при запаздывании т =0 (кривая 1) и запаз­ дывании т> 0 (кривая 2) — на рис. 5.11,6. При запаздывании, рав­ ном нулю, АФХ исследуемой разомкнутой системы не может охва­ тить точку (—1, jO), так как при сдвиге фаз на —180°

| W Г » | = 0.

Поэтому замкнутая система всегда устойчива. Если увеличивать

.запаздывание (т > 0), то система регулирования станет неустой­ чивой.

Таким образом, уменьшение чистого запаздывания в однокон­ турной системе регулирования, состоящей из двух инерционных

154

звеньев и звена с чистым запаздыванием, может быть рекомендо­ вано как одно из средств обеспечения устойчивости системы.

Подобным же образом можно провести анализ влияния запаз­ дывания на устойчивость одноконтурной системы при других ти­ пах звеньев.

Рис. 5.11. Структурная схема САР (а) и АФХ САР со звеном с чистым запазды­ ванием (б)

Структурная устойчивость одноконтурных систем. Анализ рис. 5.R и 5;9 показал, что изменением коэффициента усиления можно добиться того, чтобы неустойчивая система стала устойчи­ вой, при этом будет отсутствовать необходимость изменения струк­ турной схемы системы, т. е. типа звеньев и связей между ними. Такого же результата в ряде случаев можно добиться, воздействуя и на другие постоянные передаточных функций. Однако в некото­ рых случаях нельзя сделать систему устойчивой, не изменив ее структуры. В связи с этим целесообразно ввести понятие о струк­ турной устойчивости.

°) . У

Рис. 5.12. Схемы структурно неустойчивых (а, б п в) структурно устой­ чивой (г) систем

Структурно устойчивой называется такая' система, которую можно сделать устойчивой только за счет выбора ее параметров (постоянных передаточных функций), не изменяя структуры системы.

Структурно неустойчивой называется такая система, которую можно сделать устойчивой, только изменив ее структуру.

155

В работе [2] сформулированы условия структурной устойчи­ вости. Эти условия следующие.

Для того чтобы одноконтурная система была структурно устой­ чивой, необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись неравенства:

q + t < 2 и 4г < п,

где q — число интегрирующих,^— число неустойчивых, г — консер­ вативных звеньев, а п — степень полинома характеристического уравнения замкнутой системы.

В качестве примера на рис. 5.12 приведены схемы структурно неустойчивых систем (а—в) и структурно устойчивой системы (г) для систем регулирования, содержащих интегрирующие И, консер­ вативные КК, колебательные. К, апериодические 1-го порядка А и неустойчивые апериодические 1-го порядка НА звенья.

Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам

Для анализа устойчивости системы по этому способу необхо­ димо построить логарифмическую амплитудную характеристику ЛАХ L(to) и логарифмическую фазовую характеристику ЛФХф(ш) разомкнутой системы.

Наиболее просто построить ЛАХ и ЛФХ системы, состоящей из последовательно соединенных звеньев. В этом случае

Для более сложных систем, где имеются внутренние связи и параллельно включенные звенья, ЛАХ и ЛФХ вычисляют обычным способом по передаточной функции разомкнутой системы.

Устойчивость по ЛАХ и ЛФХ определяется следующим спосо­ бом. Допустим, что разомкнутая система устойчива. Согласно кри­ терию Найквиста, если замкнутая система абсолютно устойчива, то модуль АФХ разомкнутой системы должен быть меньше еди­ ницы при сдвиге фаз ф= —180°. На рис. 5.13 представлены ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы (сплошные линии), которая по усло­ вию считается устойчивой.

Как видно из рисунка, если ф= —180°, то L(co)=20 lgA(o))<0,

следовательно, А (ш)=| У7(у‘ш)|<1 и замкнутая система устойчива.

156

Увеличение коэффициента усиления приводит к перемеще­ нию ЛАХ системы вверх (пунктирная линия), что обусловливает неустойчивость - САР. Если замкнутая система является условно устойчивой, то при ф = —180° АФХ разомкнутой системы должна дважды пересекать левую полуось абсцисс.

ЦШ)

На рис. 5.14 показан характер ЛАХ и ЛФХ условно устойчивой системы. Пунктирная линия соответствует ЛАХ неустойчивой САР.

Рассмотрим пример использований ЛАХ и ЛФХ для анализа устойчивости САР частоты вращения дизель-генератора.

Пример 5.3. Требуется проанализировать устойчивость системы регулирова­ ния частоты вращения ДГ с регулятором скорости прямого действия. Уравнение объема, согласно (2.1), имеет вид

(

Рис. 5.15. Структурная схема САР частоты вращения ДГ

Уравнение регулятора скорости прямого действия, в котором чувствительный элемент передвигает рейку топливных насосов, согласно (3.7) имеет вид

r dfi + Тк dt +

Постоянные уравнения заданы и составляют Та = 6,2 сек; Т2 = 5-10 а сек;

Гк = 7,2.10"4 сек.

157-

Глава 6

ИССЛЕДОВАНИЕ КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

§ 6.1. Общие понятия

Качество регулирования характеризует способность устойчивой системы обеспечивать требуемую точность регулирования в уста­

максимальное отклонение регулируемой величины от прежнего установившегося значения, величина перерегулирования и дли­ тельность переходного процесса.

На рис. 6.1 показан характер изменения регулируемой вели­ чины у при ступенчатом изменении входного воздействия и опреде­ лены показатели переходного процесса: максимальное отклоне­ ние AVmax, перерегулирование ап и время переходного процесса tn — время до вхождения регулируемой величины в заданную зону. Для реальных систем такой зоной принимается зона нечувстви­ тельности. Величина t„ характеризует быстродействие системы, т. е. быстроту ее реагирования на возмущающее или управляющее воздействие.

Непосредственные показатели качества могут быть получены построением графика переходного процесса. Для этой цели исполь-

159