книги из ГПНТБ / Марков В.Н. Теория управления (устойчивость, стабилизация, оценки) учебное пособие
.pdf
Министеу зтво высшего и среднего специального образования-РСФСР ЙЮСКПВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОГО МАШИНОСТРОЕНИЯ
Кафедра Кибернетики
в. н. марков, в . л л т с о в
ТЕОРИЙ УПРАВЛЕНИЯ
(Устойчивость, стабилизация, оце.пш)
Под общей редакцией профЛС.А.ПУНЦОВА
Рекомендовано десятом
•института в качестве учеб*.'его ire
собия
Москва - IS7
|
|
О Г Л А В Л Е Н И Е |
|
|
|
|
|||
ГЛАВА I . |
УСТОЙЧИВОСТЬ, МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА, |
|
|
|
|||||
§ I . |
Устойчивость |
по |
Ляпцнову.................................. |
, . |
. 8 |
||||
|
X . |
Определение |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . Уравнение возмущенного движения |
|
|
|
|
||||
|
3 . |
Функции Ляпунова |
|
|
|
|
|
||
|
4 . Теорема Ляпунова об устойчивости |
|
|
|
|
||||
|
5 . |
Равномерная |
устойчивость |
|
|
|
|
||
§ |
2 , |
Асимптотическая |
устойчивость . |
. . . . |
. |
.-/9 |
|||
|
I* |
Определение |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , |
Теорема |
Ляпунова |
об асимптотической |
устойчи |
|
|
||
|
|
вости |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
3 , |
Устойчивость |
по |
первому приближению |
|
|
|
|
|
|
4 , |
Равномерная |
асимптотическая устойчивость |
|
|
|
|||
|
5 , |
Теоремы |
существования |
|
|
|
|
||
§ |
3 . |
Устойчивость |
в большом, в целом........................ |
* |
. 3 0 |
||||
|
1 . |
Определения |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 . Устойчивость в большом |
|
|
|
|
||||
|
3 . Устойчивость в целом |
|
|
|
|
||||
|
4 . Теорема Барбашина-Красовокого |
|
|
|
|
||||
|
5 . |
Абсолютная устойчивость |
|
|
|
|
|||
§ |
4 . |
Экспоненциальная |
устой ч и в ость .. |
|
|
. 4 |
2 |
||
|
1 . |
Определение |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
Функции Ляпунова, |
удовлевторяющие оценкам, ха |
|
|||||
|
|
рактерным |
для |
квадратичных форм |
|
|
|
|
|
|
3 . |
Векторные |
функции Ляпунова |
у |
|
|
|
||
|
4 . |
Устойчивость |
взаимосвязанных систем |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
ГЛАВА 2 , |
СТАБИЛИЗАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ. |
|
|
||||||
|
§ |
5 . |
Общие вопросы теории стабилизации ......................... |
||||||
|
|
Г, Постановка задачи о стабилизации |
|
|
|||||
|
|
2» |
Построение |
множества стабилизирующих |
законов |
||||
|
|
3 . Применение теоремы Барба^яна-КрасСвокого |
|
||||||
|
|
4* |
Определение |
свойств стабилизирующих |
законов |
||||
|
§ |
6 , |
Синтез |
абсолютно |
устойчивых сясТоМ, |
. * . |
а . |
||
|
|
I» |
П остановка,задачи |
|
|
|
|
||
|
|
2 . Стабилизация линейных регулируемых систем |
|
||||||
|
|
3* |
Принцип наименьшего принуждения |
|
|
||||
|
|
4 . |
Законы |
стабилизации, оптимальные по принужде |
|||||
|
|
|
нию и квазвоптямадьныа |
|
|
|
|||
|
|
5 . |
Сннтов |
Балйнвйных регулируемых систем |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
§ |
7•- Стабилизация нелинейных регулируемых |
систем |
||||||
|
|
|
при неполной информации о состоянии объекта . |
||||||
|
|
■I. |
Постановка |
задачи , |
|
|
|
||
|
|
2* |
Синтез |
законов управления |
|
|
|
||
|
|
3 . Построзни® эстиматора |
|
|
|
||||
|
|
4 . |
Синтез |
контуров обратной связи |
4 |
|
|||
|
§ |
8 , |
Синтез |
самонастраивающихся |
систем стабилизации |
||||
|
|
1 . Постановка задачи-"' |
|
|
|
||||
|
|
2 , |
Структурная |
схема |
системы |
стабилизации |
|
||
|
|
З в |
Синтез |
основного |
контура |
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 . |
Построение |
эотиьатэра |
|
|
|
||
|
|
Б «О пределение |
алгоритма самонастройки |
|
|
||||
|
|
6 . Синтез сызтекы стабилизации |
|
|
|||||
ГЛАВА 3 , |
ПОВЕДЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ |
|
|||||||
|
|
|
СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ. |
|
|
|
|||
' |
§ |
9 , |
Вводные |
замечания |
ж определения. . . |
. |
* • |
||
|
|
|
|
- 4 |
|
|
|
|
|
|
X. |
Йздетвпуйнированнооть поведения систем |
|
|
|
||||
|
2 . |
Задание мссяедуемой системы |
|
|
|
|
|||
|
3 . Характеристики случайных процессов |
|
|
|
|
||||
|
|
|
/• |
|
|
|
|
|
|
|
4 . Модель входного воздействия |
|
|
|
|
||||
§ |
XG* |
Преобразование случайного сигнале |
линейной |
|
|
||||
|
|
|
динамической системой * . . . , . |
« . |
. , , . .. |
|
|||
1 |
I* |
Соотношения во временной облает* |
|
|
|
|
|||
|
2* |
Соотношения |
в частотной |
облаетж |
|
|
|
|
|
|
3 . |
0 преобразовании закона |
распределения |
|
|
|
|||
§ |
II* |
|
Соотношения |
в-пространстве состояний, |
|
|
/ 3 8 |
||
|
X* |
|
Дифференциальное уравнение относительно |
|
|
||||
|
|
|
ковариационной матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
2* |
|
Определение |
матрицы корреляции’ выходного |
|
|
|||
|
|
|
вектора |
■< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3* Случай небелого шума на входе |
|
|
|
|
||||
Ш ВА |
4 . |
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ |
|
|
|||||
|
|
ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ* |
|
|
|
|
|||
§ |
12* |
Особенности исследования нелинейных |
систем |
. |
/ 4-9 |
||||
|
1 . |
|
Иодолв нелинейных с стем |
|
|
|
|
||
|
2 , |
|
Нелинейные |
элементы |
|
|
|
|
|
§ |
1 3 . |
Приводимые |
нелинейные |
системы. . . . . . . |
. . |
/56 |
|||
|
1 . |
|
Общий подход к определению характеристик |
|
|
||||
|
|
|
выхода нелинейного элемента |
|
. |
' |
' |
||
|
2 . |
Использование характеристических функций |
|
|
|||||
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
' |
3 . |
|
Разложение |
|
|
|
|
|
|
|
нелинейной функции в ь„д |
|
|
|
|||||
§ |
14 . |
Общая характеристика методов исследования |
- |
|
|||||
|
|
|
нелинейных |
сисзом с обратной ивлзыо. . , , |
. „ |
/65 |
|||
|
I . |
Исследование разлоненммнелинейной |
функции |
|
|
||||
- 5 - |
v |
|
Z•.И спользование разложения решения |
||||||||
|
3 . |
Метод последовательных |
приближений |
||||||
|
4 . Метод статнотичеоних испытаний |
|
|||||||
§ |
15» |
М етод-статистической |
линеаризации. « . . . ./ Г б |
||||||
|
I* |
Линеаризация |
нелинейной функции |
безинер - |
|||||
|
|
ционныы преобразованием |
|
|
|||||
|
2» |
Об сценке |
точности |
линеаризации |
|
||||
|
3 . |
Применение |
метода |
для |
определения точности |
||||
|
|
замкнутой |
вметены |
|
|
|
|
||
|
,4. |
Приближение |
нелинейной |
функции |
линейной |
||||
|
|
динамической |
системой |
|
|
|
|||
.§ |
16» |
Метод |
совместной |
гармонической |
и статиоти - |
||||
> |
|
|
|
|
|
|
. ................................................. 195 |
||
|
|
ческой |
линеаризации. |
||||||
|
|1 . |
Гармоническая линеаризация |
нелинейной |
||||||
|
|
■* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции |
|
|
|
^ |
|
|
|
< |
2» |
Совместная |
статистическая |
и гармоническая |
|||||
|
|
линеаризация |
нелинейной функции |
|
|||||
|
3» |
Применение |
метода |
совместной линеаризации |
|||||
- 6 -
Предисловие^
Настоящее пособие составляет одну из частей курса лек ций, прочитанного авторами в 1969 - 1972гг. на факультете Прикладной математики. В него вошли вопросы, связанные в основном с устойчивостью динамических систем и с оценкой поведения систем при случайных воздействиях. •
В первой главе приводятся основные понятия теории ус тойчивости нелинейных систем. Рассматриваются вопросы ус тойчивости по Ляпунову, асимптотической устойчивости, ус тойчивости в большом, в целом и экспоненциальной устойчи вости.
Вторая глава пособия посвящена построению устойчивых систем, стабилизации нелинейных регулируемых систем при неполной информации о состоянии объекта. В заключении этой '
главы приводится методика синтеза самонастраивающихся систем стабилизации.
Вопросам оценки поведения систем при случайных воз
действиях посвящены главы третья и четвертая.
. В третьей главе дается постановка задачи, приводятся основные характеристики случайных функций и способы зада ния исследуемых систем. Рассмотрены методы анализа линей
ных динамических систем.
Методы исследования нелинейных динамических систем
излагаются |
в четвертой глазе. Здесь дается их общая харак- • |
терне тика, |
|
особенности применения. Подробнее рассмотрены |
методы статистической и гармонической линеаризации.
- 7 -
ГЛАВА I . УСТОЙЧИВОСТЬ. МЕТОД ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА.,
§ ! • Устойчивость по Ляпунову
I . Определение . Ргтсмотрим динамическую систему 2 1 *
поведение которой описывается уравнениями
|
|
£ |
= |
|
|
» |
f| = H u bt), |
(1Л ) |
|||
гд е |
Z. |
- вектор ьоотоя^ия, |
^ |
ж |
fj |
входной а |
|||||
выходной |
векторы , |
Ф |
и |
Н |
|
- |
заданные вектор-функции |
||||
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - |
время* |
Предположим* |
что |
£ * < t) |
|
^ н ек о т о р о е |
||||
фш тированное движение |
системы |
2 1 |
* |
отвечающее входно |
|||||||
му |
воздействию |
го |
® |
е * |
|
|
при |
выполнений условия |
|||
^ |
% '*> |
|
|
||||||||
|
|
|
|
Z ( t ) = Z U . \ |
|
|
|
. 0 - 2 ) |
|||
Невыполнение условия (1.2) будем рассматривать как возму щение в момент вреьенд i - t 6 движения Z?it) ,
коюрое следуя концепции А.М. Ляпунова* будем называть не-
возмущенным движением. Любое другое движение системы^ §оэм
гное при |
!.'=£>%> |
а выполнении неравенства Z(t*)^2*Ci> |
||
(^rCt0) -* z^ct,)) |
i |
будем называть возмущенным • дви |
||
жениемВ Д ■ I » |
|
|
|
|
« М . А * lf.1* — |
|
|
|
|
Пусть |
Q(2,»(,t) |
' |
- заданная гладкая вектор- |
|
функции., |
Q ~ { Q , , Q 2 , |
> 0 ^ ) |
е На невоз?£увд~ |
|
ком двь-ении системы эта. функция обращается в известную функцию времени
~ O u\t> , Л )(t) , гд= ^и)= К(г^и>^),
8 —
Обозначав через |
х |
разн ое?! Q tz^t,) - Qct) |
х * 0 (2,Г( t) - Qct),
мы |
будем |
иметь: |
х « о |
на невозмущенном движении и |
||
|
х ^ о |
на любом другом |
(возмущенном) движении аистемыс |
|||
|
Определение |
1 Л « Система |
21 |
называется устойчивой |
||
по |
отношению н переменным |
t x b |
. , ? х?, |
, если для лю- |
||
Сого числа |
Ь>0 |
существует (зависящее от |
|||
число |
8 >0 |
|
такое, |
что при всех |
t ^ t 0 |
|
|
|
ifx ct)!i^ £ s |
|
|
если |
только |
|
И |
< 61 |
|
* |
|
|
|
||
и в
(1 .з:
(I-1*)
В противном случае система неустойчива»
Система может быть устойчивой по отношению к одним пе
ременным и неустойчивой по отношению к другим» la. , напри
мерс |
система |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z = 0t.z + \ |
. |
>) = Q |
21 |
|
|
||
при |
\ |
устойчива по отношению к переменной состоя |
|||||||
ния |
1 , |
если |
|
|
, |
и неустойчива |
отношению к |
||
выходной переменной |
г( |
, |
если |
|
. Очевид |
||||
но„ |
что эта система неустойчива по отношению к переменно* |
||||||||
состояния, |
когда |
сС>о |
, |
но усто!^ва |
по отношеш |
к |
|||
выходной переменной, |
если |
|
|
|
|
|
|||
|
Другим примерам являв'* оя драение по круговой орбите |
||||||||
материальной точки, |
притягиваемой нс ;одвижным центром обрат |
||||||||
но пропорционально |
квадрату расстояния. Это движение \ той- |
||||||||
чиво по отношению к прямоугольным координатам, Движек |
*ой |
||||||||
ье точки по эллиптической |
орбите меусюйчиви не ^олько |
m от |
|||||||
ношению к прямоугольным координатам, |
к, . |
по отношению-к |
|||||||
_ о _