Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Марков В.Н. Теория управления (устойчивость, стабилизация, оценки) учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

10.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 228 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Итак,		любой из законов управления
			it	* - ( л е	« ± е ')е .‘г «			(6.8)
является решением задачи о стабилизации							системы (6.4), если
Г - определенно положительная матрица, удовлетворяющая не
равенству	(6.6).
По аналогии			о	, матрица		Г	может быть найдена из
уо 'ОВИЯ				< ч /
				< ч /
			I «	-влгк> Г (Л}	п?и	-t			(6i9)
где TCvj	~ частное			решение матричного дифференциального					урав
нения
Гид		<3 ч CU)A+ д'гс*) -						ft) оДб.Ю )
Построенная		таким образом матрица Г				заведомо		является	оп-
редёленно	положительной, если
			Чамс [б>,		...^А			(6 .I I )
Заметим, что применение теоремы 5.2						при решении задачи о			ста-*
*билизации системы (6.4) очень часто						позволяет		уменьшить
трудности,		связанные		с нахождением матрицы Г
Пример		С	.	В случае	малых отклонений уравнения				воз-
					\

'мущенного движения в задаче о стабилизации спутника по задач-

ному направлению имеют вид
1	* а« * г ,
х х	5. - а,-х,		*	v u ,,	(6*12)
		x ч >
^ 4	~	^ t	L . —	"t

где u , , - некоторые постоянные величины. В этом случае отыскание в аналитической форме определенно положи тельной матрицы Г , удовлетворяющей неравенству (6.6), свя зано с опоеделенными трудностями. Условиям же теоремы 5.2

- 70 -

можно удовлетворить,	положив
u f* -	+ 'yz	l - i	\1- па}	^

UA*- -Хч. + г,х*м ; ци

обеспечивают стабилизацию системы (6.12) при любых значениях постоянной р12_ .

3, Принцип наименьшего принуждения. Множество законов стабилизации (6.В) является частным случаем стабилизирующе го множества законов (5.5). При этом, если (5.5) получено как множествен законов, обеспечивающих выполнение неравенства (5«Л), то (6.8) - множество законов, обеспечивающих выполне ние неравенства

При решении конкретных задач стабилизации естественно

из множества законов (5.5), а следовательно, и (6.8), выде лить законы управления, наилучшие в том или ином смысле* Один из таких подходов к рассматриваемой проблеме, как уже отме чалось, связан с функционалом (5.19). В основе подхода, раз виваемого ниже и, как будет показано, имеющего самое непос

редственное отношение к задаче 6.1, лежит принцип наимень

шего принуждение.

Напомним, что один из наиболее общих принципов динамики

- принцип наименьшего принуждения - сформулирован в 1829 году Гауссом в виде следующей теоремы:

"Движение системы материальных точек, связанных между собой произвольным образом и подверженных любым влияниям, в

каждое мгновение происходит в наиболее совершенном, какое только возможно, согласии с тем движением, каким обладали-

бы эти точки, если бы все они стали свободными, т.е. оно происходит с наименьшим возможным принуждением, если в ка-

- 71 -

честве меры принуждени; , примене .ыого в течении бесконечно

"малого мгновения, принять сумму произведений массы наядо*

точки на квадрат величины ее отклонения от того положения,

которое она заняла бы, если бы была свободной”.

Нетрудно увидеть аналогию между свободным движением то

чек материальной системы v. неуправляемым движением рассмат

риваемой си темы - з^о с одной стороны, а с другой - между движением то^ек, подверженных любым влияниям, и управляемым

движение!■системы» Обобщая принцип Гаусса-на управляемые

системы, мы будем считать, что в соответствии с принципом

наименьшего принуждения движение любой управляемой системы должно происходить.в наиболее совершенном, какое только воз можно при-'требованиях, предъг^ляемьрс к системе, согласии с

ре неуправляемом движением,	т.е. движение любой управляемой'
системы должно происходить	с наименьшим возможным принужде- '
	9

нием, если в качестве меры принуждение, приив"енного в те-

генпз бесконечно ‘'алого мгновения, принять меру ее отклонения

от иеу: равляемого движения.
При этом, хотя принуждение	( )	может оцениваться как
функцией	\|
2.w ~ Н	\|
так и функцией	-

-4 l x ; u ;t),

мы ограничимся рассмотрением случая, когда

	''	=■ кип^	(6.13)
'Покажем, что		'"оебоволп з минимума принуждения в этом
случае	имеет ьполн	определенный физлчес^ий. смысл и непосред-
ответ о	в~генает из сфе^мулдро-аш.аго принципа,		е^ли вектор-
-столб:	г	—»>
	’ матрицы	5" >^ ь образуют ортонормиро-ванную

<70

I -- *“

\|иотему, TsQ. если
( I v f j ) * 0		> ec*w	U <b	и			1	*	"ors)a ^		'
ействительно, пусть в некоторей момент времени,^										изоб~
акающая точна 2 -* , соответствующая					системе			(5*1),		заки-
вет положение'о		координатами		^ ^ о с .^			,	По	истечении
ьсконечно малого промежутка времени ьt						она	займет			поло-
;бние2^-, если		ич * о	(	**v	),	и 2L*.,			«.сяи		LUf-o
I < ~	^ «vj	v По формуле Тейлора с				точностью до членов
торого порядка											#•
торого порядка		малости найдем координаты хтдожения <Z~L:
			i ^ b t '		Li*
,ля положения		будем	иметь
		ОС-^Ч			U - V v ;* ') -
бсзначив через			- «L ьач э... ^				«	отклонение
иотемы	(5.1) от	неуправляемого движения, получим
		a	-	JT^bt	few
		a	-	JT^bt	« 2 1 ^ ;* . U..
Роюда			™								'
шдоватедьно,		^				'
		Я6 x H*~ » Нм jj1, fcV			—	VI1!
	Законы стабилизации,			оптимальные		по принуждению и

^ЙШШ§Ц§-Лк £ Ш • Стабилизирующие законы управления, удов-' >творяющие принципу наименьшего принуждения, т.е. законы

давления, обеспечивающие выполнение'неравенства (-5.4-) о именьшам значёнием величину (6ЛЗ) в каждой точке

ожесгва (2.14), будем называть закогыш стабили; ции, оя-

иальныыа по принуждению.

Законы стабилизации, оп-пмальные к указанном смысле,

находятся в виде

и	Д.	Д	(6 .14)
		СгЙ
если на множестве (2Л 4):		’

1)функции А^ДС'х,'^ - удовлетворяет неравенству (5Л?]

2)\j - определенно положительная функция, допускаю

щая бесконечно малый высдшй предел;
3)	д * >■?) + 4	Ю	(« .к ).
Д- йствительно,	при выполнение	указа иных условий множе

ство стабилизирующих законов .управления в соответствии о те оремой 5Л находится в виде

U..		А Ш		фСх Д)
где ]Ц ■-	-	произвольная		функция, удовлетворяю
щая неравенству	j*	2 о	на множестве (2.1*0»			При'.
этои в силу условия (5,6)				4
этои в силу условия (5,6)
Zl'W -- (_™ -г				l
		J У		l
Следовательно, неравенство (5Л) выполняется с найменьч
шим принуждением, примененным к				системе, если	t*	q ,
p C x ^so .
^Заметим, что	в соответствии		о теоремой 5*3		закон	ста

билизации, оптимальный по принуждению, является законом, оп

тимальным и по отношению к функционалу .						~-
	о о		f	,-/.• -21.\ х SL.си ш1 л\|-
	3(м) -
			"ц~ VТтс. >		XJ	Д О* iUJJ *f-
	Особый интерес представлет следующее свойство заколов
стабилизации, оптимальных по принуждению.
	Теосема 6.1»	I			стабилизации, оптималь-д
		любой из законов
й ы х	по принуждению для системы			(5Л ), является решением за
дачи	о стабилизации	и для	системы
		-	74 -

= ЕЧ-^*) +			(6.16)
если при всех ^	-
C4,uJ	^	1	(6Л7)
Доказательство. Рассмотрим производную		Njc^c3у	, оп

ределенную на движениях-замкнутой системы (6.16), 'ЗЛ 4).

;	Vt>v) - (.«>£’'•	(гX4' •>)) * i? •
»
г.

[Прибавляя к правой части этого уравнения и вычитая

:	j	t 'в. г а н		4
	Л V 'Ь-Х >		С75-7		*
получим	ч /	г \ X	( б\1		л p' hv \ '$М
\ir

	, X (у 1 г ^'ЬЧ \	f ъч о а / X г *ъЧ л \
	+ Т U xA G	^	(л Т
Отсюда	A /W	« ' W u	/?у
j				*	X )

	* ' ^ 4 ( й ^ я П й > И 1 -

и так как

ьХ{	X Л		X	J 3V	ч'Л
		X X w \ ( }L r{*V
л[\г		fr. >- ъ	T	&гх	,t))J>

то в силу неравенства *6 Л ?)
	\К.тс,	^
илсимгтотическая u ;тойчивость s		шнутой системы (6 Л 6 ',
('6Л^) являв: ..я	лвдствиеы асимптотической ^тойчивости
системы (бЛ)»	(г Л ч).
Пост. >еш	законов стабилизации, оптиы; ".ьиыя но :в«-

- 76

нуждению, связано с решение!/} уравнения в частных производ

ных (6Л 5).	Нетрудно- однако		увидеть, что закон управле
ния (6.14) является стабилизирующим законом д;>у* системы
(5Л ) и тогда, когда функция			VUjV) удовлетворяет неравен
ству	•
	Ш -с	( _	О	*U & ) .	(6.18)
	"" - M4U,*)	Ъ-TL	а. V

При выполнении указанного неравенства и неравенства (5Л7)

законы управления (6,14) будем называть йвазиоп-тимальными законами стабилизации.

Свойства квазиоптимальных законов аналогичны законам,

оптимальным яо принуждению, С той лишь разницей, что на

движениях системы (5 Л ) ■нвазио.птимальныэ			законы доставляют
минимум,функционалу
31м) - о			3 ^ .
-где	определяется выражением (5,20).
Пример.	Положив в (5,10)	=	» мы полу

чим законы стабилизации, оптимальные по принуждению для сис темы (5,3). В соответствии с теоремой 6Л полученные ^законы обеспечивают стабилизацию, системы

Зг-"^

(6.19)

^'Зл —"Зг.

—3 7 - *

при любых характеристиках исполнительных устройств

удовлетворяющих неравенству (s.v?):

-•76

И* + ut 4 - £

5» Синтез нелинейных регулируемых систем. В случае

--------------- ' ' ~ ~ т ~ • mi" >■ ' l l ' Г Г Г и т г и а п щ » ш г Г~>И~ > 1Н - % Л ittii' h h и г d i n — n w —i— — w	ч 7
системы (6Л ) закон управления
U. «. -Л&'Гэс.	(6.21)

является законом стабилизации,		оптимальным по принуждению,
если матрица Г удовлетворяет		уравнению
0= - Q	- ГА - А1г	-*гД ГВ й 'г	(6.22)
и квазиоптимальным,	если эта.матрица удовлетворяет неравен

ству (6.6).

В соответствии ,с теоремой 6Л закон управления (6.21)

обеспечивает стабилизацию системы (6Л ) при любых характе-

; ристиках исполнительных устройств, удовлетворяющих неравен-

^огву (6Л ?).					I
^огву (6Л ?).	Покажем теперь, что решение задачи о стабили
зации системы	(6Л )	при характеристиках			иопольнителъных
устройств (6.2) находится в виде
■		и.		Б Гос.	(6.23)
Справедливость сделанного утверждения непосредственно
‘Следует из теоремы 6.1, так				как система	(6.1) всегда может
г
>быть представлена з виде
[	ъ *	А х	ч	t4,th
>Д®	г	*		■
	^	U,4)	»	-ij-

При этом закон управления (6.23) является законом стабили зации, оптимальным по принуждению или квазиоптимальным для

- 77 -

системы

х.

=. Л ос. -х V* Ъ

а вектор-фуш.дия

в С Ш У условий

0 ,2 )

удовлетворя

ет неравенству

-t>o.

Впрочем

в справедливоеги сделанного утверждения мож

но убедиться г прямым вычислением пре .зводной функции

\j с. х? Гх

на движениях системы (6Л ),

(6.23).

Действитель

но, в рассматриваемом случае

<Jl- ) .

(.Ях+Л'?(.- V. в ' Гх ^ Угх

-V х' Г С Л х

+ Ъ^(.

= -х'1 ГД -л!'Г]х + г.{$ г~ , ■■£L-

з'г*, ^

а так как

в сил0

условия Ф* 2 )

'ЧСЙГх^О v,В?Г*,Ц -s -

то

V(XJ 6

-x'pY.

а г з ь 'г ] ^

& - x 'Q x

и асимптотическая

устой*

гвость системы

(6Л ),

(6.23) еле-

'дует из ас. штотьчкой устойчивости

системы

(6 .4), (6.21).

Полученный оезультгт сформулируем в виде следующего

предложения.

Теорема 6Л .

Пусть Л

- произвольная

положительная

постояннг 1

- произвольная

определенно положительная

матрица,

^юбой ljKOh [ равлевия

вида (6.23)

является реше

нием задачи 6.1,

если

определенно положительная мат

рица, удовлетворяющая неравенству (6.6),

Определяемая

условие

(6.9)

матрица Г „ очевидно,,

удовлетворяет уравь-нию ^*22). Хаким.образо*', вопрос о

постое ниц

законов стабмиз-

дни

оптимальных по принужде

нию для

толке

управляемых аист,

т .1*.

систем, удовдотво-

ряющих условию (o .II), мо,..ет быть решен положительно с по-

мощью электронно вычислительных машин. Единственная прог

рамма, которая необходима для расчета нелинейных регулиру

емых систем (6*”.) в этом случае,

э;то программа итериро

вания дифференциальных уравнений

(6Л 0),

хотя, кскечно, воз

можны ,и другие способы решения уравнения

(6.22)

(см,'

н при

мер,

'). Отметим в этой св^зи, что

в рамках рассмат

риваемого метода, используя произвол в bi

;оре матрицы Q

решение уравнений (6,22) можно свести к решению линейного

уравнения

относительно

ГiУ - 4

В самом деле, из разрешимости уравнения (6*22) для

любой матрицы

следует -существование

определенно

п ло«

жительний матрицы" &

удовлетворяющей уравнению

т=. Г

(

)

Подставляя (6,24) в (6.22),

о=-пг.г г.гл-.а!г4 г.л ив'г

и умножая

слева и

справа на

1 ,

мы получит

О--

- « - - л Г

а Ч

1 :И У .

(в.25.)

Уравнение

(6,25)

позволяет

теорему 6.2 переформулировать

следующим образом,

Теорема 6,3.

Пусть Л

произвольная

положительна., пос

тоянная и *£L

произвольная

определенно

положительная мат

рица. .Любой закон управления

вида

(6.23)

является решением

-задачи 6.1,

определенно

матрица,

-золи Г

положительна*

удовлетворяющая уравнению (6.2о).

Как уже отмечалось, из выполнения условия (6.1") сле дует, что для любой определенно положительной матрицы существует единственная матрица Г , удовлетворяющая урав-

- 79. -

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 228 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ