Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Марков В.Н. Теория управления (устойчивость, стабилизация, оценки) учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

10.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 224 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

§ Зс Устойчивость в большом, в целом.

9 ‘

Определения. При исследовании реальных систем часто

начальные возмущения -нельзя считать сколь угодно малыми. В

этом случае естественно говорить об асимптотической устойчи

вости системы ___v при начальных возмущениях из заданной

области, или об асиьштотич ской устойчивости при любых на чальных возмущениях. Приведем соответствующие определениям

Определение 3,1.	Пусть & - заданное положительное
число о OGTewa 2 1	называется устойчивой в большом,		если
она равномерно асимптотически устойчива и условие		(2Л)	вы-
полняjtgh на всех движениях системы, начинающихся		области
	- -	( з . 1 )

Определение 5Л . Система Л--* называется устойчивой в целом, если она равномерно асимптотически устойчива при лю бых начальных возмущениях 'тГ.^о) »

Поящим спрвде-лвдля па системе

i - t * - o C . x , + 6 1 + \з : / + у-ас?			,	w _
'Х.г	Г	ОС-\	Gs'- behit Д->с}Ч3>2)
	~оСХг - ^>Ct)ос...
п При -любых функциях		эта	система асимптотически ус
тойчива,	если <->о Она устойчива в большом,			если

—1фС’

до ^ г . Свойством асимптотической устойчивости в це; м сис

тема (? 2) не обладает.

2. Устойчивость в большом. Достаточные условия устойчи-

ч		■*	следующими предложениями.
^ооти в	большо: устаг ^вливаются
Теорема ЗЛ . Пусть А/"х/Д)			-	определенно положительная
функция,		"опускающая бесконечно малый высший предел и опре
деленно	отрииг^ел! ую производную на множестве (2 Л 4 \ Сие-
тема <щс>’		устойчила в оольшом,	если		/
		nr.. 1! ЛС.Ц		$	t ^ О) >

> $up( V' хд) при НхЦ - А '.t > о), (Д^)

Доказательство теорема! проводится стандартным путем. При

выполнении условия (3,3)			а	зсех движениях сис: змы				на
чинающихся в области		(3.1),		выполняется			неравенство
		'*х Ct)tt <. s			t :>t
и условие
Vt ocuv*) —					при		t
Так как функция	V^Xpt)		допускает			бесконечно малый высший
предел на множестве (2Лч)} а ее производная, вычисленная, в
силу уравнения	возмущенного движения					(1 .6), является футкци-
ай опред ленно							V 3	*
	отрицательной на этом множестве, то Vw« О
/							'
Следовательно,
V l t c f o . t ) —>■>				при			-t ■+*,
H0tCt)ii		»	0	при		г
область (3.1)	принадлежит			области		ритяжения левозмукевко-
го движения системы		4STJ	*
Подиер I. Система (1ЛЗ) устойчива							в бельевом, если она
асимптотически' устойчива			и функция		V		удовлетворяет усло

вию (3.3). .
Прщшр 2.		Линейная система (2.9) асимлтотиче ни устой
чива в большой,		если она асимптотически устойчива,	с?
Пример. 3.		—
		Система (2.8) устойчив*, в большом, есл:	V'J.
г'	,1™"	’
/ с i	\ 1

Г•

зУстойчивость в целом. Рассмотрим сначала определен ie,

регламентирующее поведение		Ус.X .-		беоконечносг*
	функции \Koc.-t) на
Ошжд&д-фще 3.3, Функцию		Vcsc,-.)	, определенную в
пространстве переменных х ,	v .	пр,;	всех	“t	9 ,

будем называть определенно положительной функцией, доьускаю-

ояй бесконечно оольшо. низшие предо;если существует опое-

деленко

положительная

функция

г-'t'.

такая,

что

при верх

зь

к всех t> 0

VcocHt)/>

Vtf

^ с*о

*1.—

5» £jo^

при

Из определения 3*3 .слрцу;етт.

что цели

щ$уох$#к

бесконечно большой низший предел,

я$ для лх>бру,р цодр^ддаль-

ногр числа

суще;а]гр^ат дрдржит"льнов що$$ Р

за

висящее

пт ^

такое ,

рто при всех

И %

если

ft -'■ ■' > 'Я

Тащм обозом, поверхности уровня

V c x ,-t> « c

яв- .

функция,- допускающей ббслбнечнс большой низший предел,,

ляются

замкнутые

в простран

?ве

при всех,

' 0

и любых значениях

iГ*

^ _____ _

. . .

как

бесконечно большой низший-предел допускает, ‘пк

х 5Гос

> ft ’i ?глг-

где

~ наименьшее.из

собственных значений матрицы

Функция

V -

'■зс?

** П~С1

бесконечно большой низшей предел

не допускает,

поверхности

уровня ЗТОЙ

функции

г.

~ Cl

•I.

Х’' + -~ч х*

ябляютс

-замнь,тыми .шь тогда, когда

*„

Теорема Ъь2< Система

-асимптотиче ки устойчива в

цел и, епди существует определенно положительная функция

\,Сэс/£ч , дол :ка.

цвя бесконечно малый высший и

бесконечно

большой низший пределы, и производная о~ой. функции в билу

уважения возмущеанот о

дв:

ен

** пвляется

функцией упрапеяаннс

Отрицательной в пространстве переменных ЭС-			i	при
всех	t > 0 .
Доказательств-, теоремы проводится по		тому же плану, что
и доказателj отва.теорем II, 1.2, 2.1 и ЗЛ .			Поэтому на нем-
мы останавливаться не будем.
Б закл чение рассмотрим пример 111		, показывающий* что
■’аличие	определенно положительной функции	V	, имеющей во

всем пространстве определенно отрицательную производную* доо таточное г,ля асимптотической устойчивости9 не достаточно для асимптотической устойчивости в целом.

Пусть возмущенное движение системы описывается диффе-

ренциальними	уравнениями [11
х ~	2 х	Ч		г *		.(.n e t/2
(V x V		Ч	Ъ = " С/1-,чгхи)г			.(.n e t/2
и пусть
		V -	х г
Тогда		Ч х г
Тогда	v ^	U	-	.
	v ^	U	-	.
и в соответствии с теоремой 2.Л				система	(3Л ) . асимптотически
устойчива.
" -Рассмотрим теперь кривую
		%	**•г +	1 4 ос2-		(3	5 )
На кривой (3.5) ди. ференциальные уравнения						(ЗЛ ) имеют в д
		о
	*• ~ ~ T ^ x ^ F + 4 + T T F •
		I	S	*		2-ос. _
		I		\		2-ос. _
				14 ос	СА+ос1)2'4
Отсюдь угловс.* ноаф*ициент 'раанторий системы (-ЗЛ) ^							тонкрх
.кривой 15.5)	определяется		выражением			*
.кривой 15.5)	определяется		выражением

УгАой коэффициент касательной к кривой (3.5) находима по формуле

К » -

f l V x y

Очевидно,

что

К < Ктр

при достаточно

больших положительных

ос .

•

Рассмотрим

теперь

область

f определенную неравенст

вами.

х > э с 0

l/u + x * )

, где

зс.»

настолько

большое,

что

К ^ Кт9

при

эс > ос Q и

2 ос»

(Л* ос*)г

Тогда в точках прямой

ос*осса

в силу уравнений

(3 .6 ) Х> О

и траектории уравнений (3.4) не будут выходить из области

■_G*, так как они переоекают границу этой области снаружи

внутрь.

Теорема Барбашииа-Красовского.

При исследовании нелиней

ных систем и особенно при исследовании устойчивости в боль

шом и в целом иногда достаточно просто удается найти опреде ленно, положительную функцию V(pc/t) , производная которой

Л /с»,*) является функцией знакопостоянной отрицательной. В

этом случае решение вопроса об асимптотической устойчивости

в целом системы	, возмущенное движение которой в прост
ранстве переменных	х , ,... ,о с г„		описывается дифференциаль
ным уравнением	х	“ F С х),		(3.7)	'
Ф

можно решить с помощью следующей теоремы,				предложенной 3 .Л.
Барбашиным и Н.И.1Срасовсккм
Теорема 3.3. Система		2 L .	асимптотически устойчива		в

целом, если существует допускающая			бесконечно	большой низший
предел	определенно положительная	функция V С х) , произ
водная	которой в силу уравнения	(3	.7) является	функцией зна-

34 -

непостоянной отрицательной и многообразие V СзО *0 не содержит возмущенных движений системы*

Дадим нестрогое доказательство, оонованное на геомет

рической интерпретации условий теоремы. Строгое доказательст

во теоремы можно найти в £1,4,5"].

Как уже отмечалось, поверхности уровня

V Сос) «. с

функции, допускающей бесконечно большой низший предел, яв

ляются замкнутыми при любых		значениях постоянной		С
При этом,	если С1 С* ,	то поверхность	V ex }	=* с.i
целиком заключена внутри поверхности			~ С.	Пусть
t ~ t 0	-произвольный момент времени и пусть О			- любая

положительная величина. Так как функцияN/c.-x)~ знакопостоян ная отрицательная, то при всвх'1>10 любое из возмущенных

движений системы 2 1 » начинающихся на поверхности

Vt^c^to)) = с*

.(3.8)

удовлетворяет условию

V C^cC-t))*=*сЛ

Теорема будет доказана,	если будет доказано,	что существует,
такой момент времени	что
V (о ссТ ))^ С *		(3.9)

для любого возмущенного движения системы, начинающегося на поверхности (3.8).

Обозначим через L	- множество значений ос(Д.4), удовлеь»
воряющих условию (3.8)	и неравенству

		( ш >Fi*>)	<. о,
а через М			ОС »-
		- пересечение поверхности		(3.8)	с 4ногоо0ра~
зием	♦	. Иными словами,	через -V	мы	обо^чачим «во-
	V в о
кество	всех		*ч
		3CCte) , удовлетворяющих условиям

	V e	x e t c ) ) ~ С * >	( 1	х ‘ Г 'Д )'1		=	О-
		,			/ X -= X (.t.)
Неравенство (3.9) выполняется					на зс'еЛ движениях систе
мы (3;7),	начинающихся на		L/	. Движения системы,			начинаю
щиеся на	Д	не будут удовлетворять этому неравенству, ес
ли при всех		они будут принадлежать многообразию
о				•	,	содержит ’целых
V =- О .	Но по условию теоремы V " О не

возмущенных движений. Следовательно, неравенство (3,9) вы

полняется и на движени. х системы,

начинающихся

на множестве

Л/

, Теорема доказана.

Примечание.

Если производная функции

\ /

о б р а щ а е т

ся

в нуль на многообразии, заданном уравнением

ТСэц} -

то

условие

Ъ?

О ^ и + о)

является достаточным условием отсутствия йи&тгош

целых

возмущенных движений на многообразии

V ~ ^ .

Пример. Пусть возмущенное движение системы удовлетво

ряет дифференциальным уравнениям

С х .. . х

И пухгть

■x-l -

х ,

$с,ocv> 0) dot 1

г |

Тогда

V "

2..[fcao,

,о)1 х

условия

устойчивости в целом имеют вид

■ .

+ с .х ,%о)-х1 о

о»ц а , * о

««l*,»-*-*>,

[ j

x j - j<-*■,, 0)1

о При

± a ,

Абсолютная

устойчивость.»

Частным случаем

задачи

об

устойчивости в целом является

задача

об асимптотической ус-

- 36

. *

тойчивосгси системы

z. = Az +■€ ё ,

	^ . Ф<^>. а (У =, c /z -				9 %,	А	'	(ЗЛО)
где ■.$,. С- ,.7 /	Къ--		мерные	векторы,			~	постоянная
( 'Л н у\>	ма1рица. и		^ G',	9	~ скалярные			величины.
Определение 7 Л . Система ,Л~» , возмущеннее дх женке
которой удовлетворяет .уравнениям (ЗЛО),						называется абсо
лютно устойчивой, если ока			асимптотически устойчива в це
лом при людых дуакциях		^(J?) , удовлетворяющих условиям
(fl<3psiG'^-oo		пРи(в\|-><» г ^№) <>7 О r.wCr’^O. (ЗЛ1)
*>	i		рассмотрения задач				абсолютной ус
Реальной	основой для

тойчивости .могут служить системы типа ’'обьект+регулятор1*. .В этом случае .Z - вектор состояния объекта ре. улирования,

% - переменная, характеризующая состояние исполнительного

органа, (э - закон регулирования, ^ - характеристика

исполнительного органа.

При исследовании системы (ЗЛО) мы будет считать, что корни характеристического .уравнения матрицы к имеют от-

	V
рицагельниз	вещественные части, Сделсиное	допущение, %с од
ной стороны,	позволяет сравнительно просто	указать эффект *в-
		*

ны& критерии абсолютной устойчивости. С другой стороны, ьаг дача Л) абсолютно# устойчивости системы (ЗЛО‘ становится

if. ло>,одермательной,	если	среди	к >рней уравнения i А ~ .ХЕ $
♦	с полож:г ельной вещественной			*
есть хотя бы. один				частью.
Теорема'3.4. Пусть Г		и с	-постоянные	опре-
.-м.ленно положительные матрицы,			связанные уравнением
.	Г А А Т — С ,			(ЗЛ2)
Система (ЗЛО) абсолютно		устойчива, если

- 37

ф>d!C ct ms ct•»V% + ^ *

Доказательство* Преобразование

х « Az * 1Ц ,

(ИОТОМу (З Л О ) приводи® н виду

x » A;Xx +'8'p(“'% ,<5^ **cx rpfte).

Пусть

(3.13)

-(3.14)

Vcx,£) « xT*. +

Тогда	О
Тогда
	'♦
	VcхД) а dh/Гх + x T i +Npc®')^ ~

(A -x+^fw ) Гх 4- ocl r(A x ’vl'fcr)) + ^ Ф ) ( с х - p'ft'GO) SB.

— - (jx)Col **Zx !d ^ c# ) * p vp\<n)

и так как \/ С х д ) ■- определено положительная функция,

допуокающая бесконечно большой низший предел, го в соот ветствии о теоремой 3.2 система (ЗЛО) устойчива в целом,

если функция

od C x - 2.x'd^<®3 t p'fls'J	(ЗЛ5)
1

является определенно положительной. Неравенства Сильвестра,

составленные для функции (3.15), как квадратичной формы tv*4 переменных записываются следующим

образом

си ... с1л	С -	d
	С -	d
	> 0 С^4>..Д),	> о.

-0>лл

- 38 -

Первые	tv	неравенств выполняются автоматически,	так	как
С	- определенно положительная матрица, последнее		из	вы-
		*
писанных неравенств приводится к виду

и выполняется в силу условия (ЗЛЗ) теоремы.

Таким образом, при выполнении условий теоремы система

(3,10) асимптотически устойчива в целом. Следовательно, она

абсолютно устойчива.

Замечание I. Задача об устойчивости исходной системы

эквивалентна задаче об устойчивости преобразованной системы если преобразование (ЗЛ4) является невырожденным. Условие невырожденности преобразования

СI		^	О
СI	"Р
может быть записано в виде'
	+ С h		+ 0.	(3*16)
В сил^ условий теоремы

- с’		-с d)Q cl.

Таким образом, выполнение неравенства (3.16) является след ствием выполнения неравенства (ЗЛ З).

Замечание 2. Доказанная теорема справедлива и тогда,

когда функция	4f(^ )	не -удовлетворяет		условию
	GV
	'С®")d	©	' 00 при 1<И‘
	VО
В этом случае	устойчивость		в целом системы	s' . следует

- 39 -

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 224 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ