книги из ГПНТБ / Марков В.Н. Теория управления (устойчивость, стабилизация, оценки) учебное пособие
.pdfвсех возможных совместных плотностей распределения |
|
||||
|
для всех |
*Ц |
, tw |
из интервала |
|
( -t0> t$ ), где Ы |
любое целое |
число между 1 |
и too |
, |
|
Вообще говоря |
такое количество информации является |
не |
доступным. К счастью большинство случайных процессов,встре чающихся на практике,обладают марковским свойством (или при
водятся к процессам марковского типа). Такой процесс полно
стью определяется заданием плотности совместного раоределе-
ния |
pt^cO)* |
ХС'Ч)! |
|
ДЛЯ |
всех |
t |
, |
% |
в интервале |
||||||
( t o |
» |
)• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так |
как p[xC^,xO£jQ »* p t хс^ /х с \)] р Lx 0*0 |
f |
|
|||||||||||
то марковский |
процесс |
также |
полностью определяется |
заданием |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
* |
|
|
плотностей |
|
|
|
|
|
и |
pL^txO |
для |
всех |
-t , |
|||||
\ |
в интервале ( |
t 0 |
, |
|
). |
Знание |
fC х |
|
|
|
|
||||
позволяет |
в принципе находить |
все |
плотности |
совместных |
|
||||||||||
распределений |
р |
|
|
, |
'ХСЦ) |
9 |
. |
, |
Х(_-Ьм)^ |
* |
|||||
Это.является следствием |
того, |
что для |
процессов |
такого |
типа |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. значения |
|||
процесса, |
в момент -t*. |
зависят |
лишь от его значений в момент |
||||||||||||
|
и не зависят от того, какими они были в более ранние |
||||||||||||||
моменты времени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Вели для |
всех |
-* |
, |
X |
из |
( |
t * , ^ |
) |
р! |
|
|
рЬ |
||
то Х Н |
называют |
чисто |
случайным процессом |
или процессом |
|||||||||||
белого шума. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Марковский процесс, |
у |
которого плотности |
p L x t x j J |
|||||||||||
к |
р £ |
' |
|
являются |
плотностями гауссовского-рас- |
||||||||||
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
нределения называют гаусовским марковским процессом. |
|
||||||||||||||
|
Лсгтность |
p tx U)] такого процесса |
полностью описы- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
- |
*20- |
|
|
|
|
|
|
|
|
вается заданием двух детерминированных функций - вектора ма тематических ожиданий и ковариационной мат рицы
|
|
|
= M.{lX |
|
|
9 1 1 Х ^ - т хД]Т J |
(9.12) |
||||
для всех b |
интервала^ |
|
|
). |
|
|
|
|
|||
Совместная |
плотность |
pt'seCSJj |
требует |
еще |
|
||||||
задания, или знания корреляционной матрицы |
• |
|
|
||||||||
К *С*,,*г)» |
|
|
|
|
-hi uofj1 М.{хФ 4 |
](9Л 3) |
|||||
для всех -by , t*. |
интервала ( |
t c |
, |
). |
|
|
|
||||
Из определения |
следует, |
что |
элементами матрицыК^( |
Ьл , |
|||||||
t t ) являются взаимные корреляционные функции составляющих |
|||||||||||
вектора X |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Irt i^-fcv) |
- № |
|
|
|
s i * '»**•■ ^ |
|||
|
|
|
|
|
|
X |
|
не коррелированны, |
|
-.:> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрица |
|||
K ( |
4 |
) |
превращается |
в диагональную. |
|
|
|||||
-X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Совместные статистические свойства двух векторных слу |
|||||||||||
чайных процессов |
размерности |
^ |
и |
VvvJ полностью определяют |
|||||||
ся их математическими ожиданиями, |
ковариационными матрицами |
||||||||||
и взаимной корреляционной матрицей, |
определяемой как |
|
|
||||||||
К хс ч ч ) = |
|
" |
|
* |
|
} |
s |
|
|
|
|
iiia матрица (vt |
x ^j |
имеет |
своими элементами |
взаншше |
корре |
||||||
ляционные функции составляющих вендоров |
С* «. i,> |
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
-Ь К \ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- т?д ~
Корреляционные матрицы обладаю; следующими свойствами:
ь |
. |
Кс<л«К> =■ К > . еч,-ц) , |
|
|
|
|
|
~ K - |x |
. |
|
|
|
2. |
Для любой венторной функции выполняется неравенство |
|||
|
|
■J |
|
о , |
(9Л6) |
где |
интегрирование ведется по области SL |
, принадлежащей об |
ласти определения венторной случайной функции; равенство дос
тигается лишь в случае, когда *£\1£б.О |
(свойство |
положитель |
||
ной определенности#). - |
• •\ |
" |
|
|
* |
называется |
стационар |
||
Векторный случайный процесс |
ЛД£] |
ны», если стационарны и стационарно связаны все его составля ющие.
Для него:
Я{Хиг)} Ш-М- * to***:
V (9.17)
♦ . у •
,Два векторных стационарных Яроцзсса стационарно связаны,
если все их составляющие связав» стационарно#
• Корреляционные функции определяют вероятностную связь значений функций, разделенных интервалом времени. Характерис
тикой этой связи для стационарных процессов в'Частотноось—
4
ласти является спектральная плотность, определяющая веьоят-.
ностное распределение энергии процесса по частотам. В прак
тических приложениях свойства случайных функций часто задают-;
ся спектральными плотностями, а,-векторных.случайных процесс^
*1* *1 |
>' |
- матрицами спектральных плотностей, |
: |
- Т22 - |
|
корреляционными матрицами и матрицами спектральных
плотностей сущ ествует взаимно однозначное соответстви е, оп
ределяемое преобразованием Фурье
|
|
Ттл |
|
7 |
|
~dwa4' |
l , (9.19) |
|
|
S * * U v»)* )K * C 9 £ <LX |
§ ж. ~ j K a slX j€ |
d |
|||||
где |
^ эс-х.Ц '*) - |
матрица |
спектральной |
плотности |
векторного |
|||
процесса |
a |
S |
- матрица |
взаимной |
спектраль |
|||
ной |
плотности |
процессов |
и |
• |
|
|
|
|
|
Очевидно элементами этих матриц являются взаимные спек |
|||||||
тральные плотности |
составляющих векторов |
Х сч )и |
|
|
||||
|
Корреляционные матрицы могут быть определены по соот |
|||||||
ветствующим спектральным s |
помощью формул |
обращения |
K .< -XJ “ ur |
d \ J K x ’jjtу • |
- j |
<• |
^ |
|
|
|
( 9 .2 0 ) |
|
В практических |
приложениях функции |
спектральных |
плот |
ностей обычно приближают дробно-рациональнымифункциями ком
плексной переменной |
. С учетом свойств корреляцион |
|
ных матриц ( 9 .1 5 ) и ( 9 .1 6 ) |
легко убедиться , что |
|
x t С И |
X X <-~<Н . |
( 9 .2 1 ) |
|
т.е. матрица спектральной плотности |
является |
эрми |
|||
товой. Матрица (К х К) |
спектральной плотности |
S <**. явля |
|||
ется положительно |
определенной, |
г.е. выполняется условии: |
|||
|
с-т |
с |
|
|
(-'•22) |
при люо-ом векторе |
^ |
* “ £ С - \ > С V |
, ' • , |
( Г |
КОМ- |
ность одномерного процесса положительна при любом vO |
|
|
||||
Если матрица |
|
неособая, т.е. |
имеет ранг |
Ю |
, |
то |
ее можно представить в виде |
произведения |
двух матриц |
|
|
||
|
|
|
*• |
|
|
|
|
|
|
|
(9.23) |
||
причем матрицы |
и обратная е # . ф <-*) |
имеют полюса |
|
|||
только в левой .полуплоскости комплексной плоскости |
S |
, |
а |
|||
матрицы ф с-9 и { Ф тс- у Г |
- только в правой. |
|
|
|
||
Представление |
матрицы |
$>**10 в виде |
(9.23) носит |
наз |
вание факторизации и играет важную роль в решении задач оп тимизации и построения фильтров, формирующих процессы с за данным спектром.
Из данного выше определения чисто случайного процесса
следует, что корреляционная функция к ^ ^ г ) |
такого |
процесса |
имеет вид |
|
|
|
|
(9.24) |
и, соответственно, спектральная плотность постоянна: |
||
X) = С Д . |
|
(9.25) |
Под многомерным белым шумом обычно понимают векторный |
||
случайный процесс, составляющими которого |
являются |
не |
коррелированных стационарных процессов с постоянными спек-
1
тральными плотностями.
Матрица его спектральной плотности диагонально и не за висит от 5 :
4. Модель входного воздействия. В задачах практики качестве входного сигнала системы ^сч) принимают обычно адди
- Т24 -
тивную смесь некоторого полезного сигнала ?>l*) и помехи *41^
Модель входного Ч, - мерного полезного вектора представляют
как сумму линейной комбинации известных вектор-функций (регу лярной части) и нерегулярного случайного вектора
|
|
S |
i*; |
tx * j U |
+X,L+J , |
(^27) |
где |
- |
матрица |
(1.x nI) |
составляющих вектор-функций ре |
||
гулярной |
части, |
% ~ • L ' f o - |
- |
вектор коэф |
||
фициентов, |
составляющие которого рассматриваются |
как случай- |
||||
|
|
|
|
\ |
|
|
■величины с заданной матрицей корреляционных моментов
k = k W |
, |
или как некоторые неизвестные |
величины.* |
||
Случайные |
коэффициенты ii |
С -- f хг }...} |
) |
считаются не |
|
коррелированными со |
значениями |
составляющих |
Mt*) и Х ц - у |
Это предположение отражает тот.факт, что на практине регуляр
ная часть полезного сигнала, его нерегулярная часть и помеха
обычно порождаются независимыми друг от друга источниками. По
лагают потому, что Х ^ Ц и независимы и часто рассмат риваются как стационарные случайные процессы, задаваемые сво ими матрицами корреляционных функций или спектральных плот ностей. Математические ожидания их всегда могут быть отнесены н регулярной части, а сами они рассматриваться как центрирован ные.
- т25 -
§ |
10# Преобразование случайного сигнала |
||
|
• |
|
* |
|
лииейвой |
динамической |
онотепой . |
I . |
Соотношения |
во временной |
области. Рассмотрим в рам- |
мах корреляционной теории задачу определения вероятностных характеристик выходного вектора Y(t) линейной динамической
системы, возбуждаемой случайным входным вектором X(t) с
заданными характеристиками. Будем очитать, что система оп ределена своим вхид-выходным соответствием ( р и с . - П ) , на чальные условия нулевые.
G № |
У |
Ш |
W (s ,t) |
= |
> |
|
|
Рио. |
II |
|
|
В ооответотвии с |
( 9 . 5 ) , полагая “Ьв * о |
, |
получим |
|
tr |
|
|
Y w |
=- j QCt,xj X(.v |
. |
(1ол' |
|
О |
|
. |
Применим к обоим частям этого равенства операцию матеыати-
ческого ожидания и поменяем местами операции интегрирования и математического ожидания.
i JG -U .V |
или |
(Ю.2) |
(Ю.З)
a о
Таким образом математическое ожидание входа преобразует
ся" такч;е, как и сам сигнал. Определим теперь кор^е.чнциониук;
матрицу выходмого вектора m
Учитывая |
( 1 0 .2 У'и |
( 1 0 .3 ) |
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
t, t v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K a o v v * j ) е ч > « £ ) м ( х ^ ) ^ Х и ) Д с ч ^ д л а $ - |
|
|||||||||||||||
|
|
|
S |
?с |
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
- 1 j ^ л ) к * е д <^v ) «ц |
|
. |
( ю л > |
|||||||||||
|
Еоли система и входной сигнал стационарны, то с учетом |
|||||||||||||||
замены переменных |
|
|
|
* |
Х\ |
, |
|
|
|
|
|
, |
|
|||
|
|
X |
» |
* |
( Ю Л ) |
можно переписать |
|
в |
виде |
|
|
|||||
|
|
*» |
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
j ) G-^ |
К |
* |
CVtг , - t v) О (Xv) А х t |
«(г< . |
(ю .5) |
|||||||||
|
|
в • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это |
озн ач ает , |
что |
выходной |
вейтор нестационарен. |
|
|
|
|||||||||
|
Если система |
подвержена воздействию сиоль угодно долго |
||||||||||||||
в ( Ю Л ) |
нижние пределы при |
интегрировании |
следует |
принять |
||||||||||||
равными |
~ |
|
*t *t |
|
|
|
|
■ |
|
|
|
|
(Ю.б) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Г |
|
|
e J |
1&0,Д )1£ |
|
|
|
|
|
|
||||||
и тогда вм есто |
( 1 0 . 5 ) |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
•.Касх> * |
J |
|
^ |
|
|
^ |
|
|
|
|
-1Г1»(ю^7) |
|||
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
*> |
- |
|
|
|
|
т . е . выходной |
вектор становится |
стационарным |
после |
того , |
как |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
, |
в систем^ заканчивается переходный |
процесс. |
|
Если |
учесть |
у с |
|||||||||||
ловие физической осущ ествимости,*то |
( 1 0 .7 ) |
можно |
записать в |
|||||||||||||
виде*-^- |
• |
■ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K 8W |
= J |
|
|
|
|
|
|
|
i\^dxx . ( i o . B ) |
|||||
|
.Определим теперь взаимную корреляционную матрицу выход- |
|||||||||||||||
юго |
Ч |
щ |
и входного |
X {Ъ) |
|
векторов |
|
|
|
|
|
|
о |
f л |
|
j . Учитывая (10.2) и (10.3) |
долучим:
|
*,<) * |
] &(-Ч\) м \.Щ )[Х ^ х )] j &у- |
(10.9) |
|
|
л |
|
|
|
=• |
»I ^ о*•» Л ) Ъ - Л Ъ ^ ) |
. |
|
|
Если входной |
сигнал и система стационарны, то[с учетом |
|||
замены переменных |
"Ц~ ^ |
^ ^ |
' Ц -* *С |
и |
(Ю.9) можно переписать в виде
К *еЛ -Ч Ч ) а ] |
«t*U • |
(МЛО) |
Если система подвержена воздействию сколь угодно долго, ниж |
||
ний пределУинтернирования в (10.9) |
следует, принять |
равным |
- ов • |
|
|
О» |
|
|
^ зх С -Ц Ч ) 1 |
, |
(Ю .II) |
и тогда вместо (IG.I0) получим |
с |
< |
ос |
|
(10.12) |
J e'(-vOKxC'l+»0 <А\, , |
т.е. выходной и входной процессы по окончании переходного про
цесса в системе становятся стационарными и стационарно свя
занными. |
|
|
2. Соотношения в |
частотной области. Переходя к матрицам |
|
спектральных плотностей применим к (10.8) преобразование Фурье. |
||
Тогда получим: |
«• о* «ю |
|
|
- 11 ] е~6 |
£ (4.JК * а * ^ -x j &(х.)4хХ^ А - |
|
~ХГ-X»-Ч* |
|
7 , , , ,*w4 |
(гл |
7 т -i^Tv |
ч у л ) * ^X, ) 1 V U 4 V ^ |
d \ ) & щ е . <*tv , |
I
или |
|
' |
|
|
|
, |
(Ю.13)- |
Для одномерных входа |
и выхода (10.13) принимает вид |
|
|
|
|
.. |
(IU.I4) |
Иногда при замене переменных в (10.Д) полагают |
|
||
К а д - К( V |
- 9 |
. и (IU.9) получают в виде |
|
ххV (i(j.I5), Если входной сигнал еди
ничный векторный оелый ш^м, то
|
. |
. |
(ю л е ) |
Сопоставление (10.16) и (9.23) дает основание утверждать, |
|||
что любой WI - |
мерный стационарный процесс с рациональным |
||
онентроы, может |
рассматриваться как результат |
прохождения |
%- мерного белого шума через устойчивую стационарную сис
тему с частотной |
характеристикой W i jtf) |
. Такую систему |
принято называть |
многомерным формирующим |
фильтром. |
На практике |
большинство случайных процессов.рассматри |
вается нам результат такого преоиразования. В соответствии о
(10 ЛД) |
тогда |
очевидно, |
что |
|
спектральная |
плотность |
отдель |
|||||
ных составляющих векторного |
процесса |
должна иметь |
вид |
|
||||||||
|
|
X, X* t° ) ' |
|
fie |
14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q i* .^ |
|
|
|
|
|
|
|||
где ’ Pl t (,eo) |
и |
|
|
полнлоь-ы |
степеней |
Ы |
|
и ’Ж |
||||
от |
, с о |
д е р ж а щ и |
е |
т |
о л ь |
к о |
ч е |
т и аргументаей' ; ' с |
.п 4е |
н и |
||
Такой спектральной |
плотности |
соответствует |
ксадехнци- |
|||||||||
и пнаи _у кк ция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|