книги из ГПНТБ / Марков В.Н. Теория управления (устойчивость, стабилизация, оценки) учебное пособие

iltt)

- ^ C tvb)Xc^») i

v t t ) d x

(Tl.IO)

Предположим, что начальное состояние некоррелпровано о

воздействием

т.е.

(Л .11)

Перемножая ( I I . 10)

и

и

применил опе­

рацию математического

ожидания с учетом. ( I I .il)

получим

м { х с * ) [ ^ т)

j

а,уВ (Х ) M{.U[ у Ц /и г Г .) ш

П . 12)

Имея в виду,

что

М ( ш Д ^ и ? П

^рЬИ)

o(t-x)

Д

= R.,

xt-^ ^ Д Х , учитывая

свойства Г -

функции,

(11.12)

можно

записать в виде:

м\ ! _ ii+ )[^ (> jflj, JLIV) -

i ы у

v s y .

си • 13)

Подогм'зляя (IIЛ З ) и

результат его

тренелоиирования

в

( I I . 9)

получим

К х ®

+В- (Л) R l»

(И .14)

f v

x С_^«Д»)

- задана,

Итак, уравнения

(11.3)

и ( I I .14).являются

линейными дик.,ерён-

циальными^ уравнениями

для

вектора

средних

значении и матри­

цы ковариации

К -тсО ,^

•

Эти -уравнения решаются независимо

друг от друга.

>

2.

.

вектора. Рас­

Определение матрицы кимелянии выходного

смотрим

теперь

корреляционную матрицу гауссовского’ марковс­

кого "случайного

процесса

"iv х С*л>^ J

^

~

-f Y,

V x

{ +

и '

и l ~t f л j ’b . n T Y

f .I Г'Vi

С помошыо ( I I . 5) и

( I I . 9 )

и фундаментальной

матрицы

величину

« . X { V )

можно

записать как

*1<T

о

«

Х с*0* -Ф и иХ /^Х ^О *

(П .1 Г) .

\

4 '

-Ь, 4. -t < t A* x

Умножим обе

части этого

соотношения

на [X ltfl и применим

операцию математического

ожидания

*«*г

K / v v O '$ ^ v « ) R i v o + ) 4 t t « « v o 8 ^ )

t,

При "V> о подинтегральное

выражение

здесь

равняется нулю,

W b j

i

т . к .

- чисто

случайный процессии его

значения

в момент

Ц: не связаны со

значениями, принимаемыми до момента Ф«<,

от которых

зависит

X

в

момент ^ .

Отсюда

сл е д у е т ,

что

при 'Х^ о

*.

.

( иле)

Из определения ( И . 1 5 ) видно, что

Используя (

П Л В ) и ( I I .

^

/

X

J / ■

(П -1 у)

19 уvполучим

•

'

х

(илю)

Умножая обе

части(П. Т.б)на [vHfct/i'- в \л ^

И беря математи­

ческое ожидание, получим с учетом(IT.13)

взаимную корреля­

ционную чунтщию между сигналом B l't)/urCv^

и вектором

состояний —к-хВ1»Г

Mi W x iI tf N ] V u - ) \ - - 1

С? '

(Ц.<:1)

1

J

X < о

s

I 4 'Г . _

экспериментального определения

элементов фундаментальной

матрицы

неизвестной системы.

*

Чтобы это можно было сделать

с Помоною

(II.2 I),

необходимо,

чтобы матрица

была

невырожденной.

Если в исходном уравнении

( I I Л )

матрицы A

^ J

и

й (А )

постоянны, то система стационарна и

Ф (Л а ^

а-л

а

Ф i.%) ;

т.е. зависит только от

X

. Если кроме того

*-

,

то может оказаться, что при

;

-*К*где К х - пос­

тоянная матрица.

Если это так, то

и тогда R x можно найти-из

соотношения

Процесс

А к » +

ь е .ь т х л - о .

А1^)

- стационарен.

Корреляционные матрицы

^

и "К-тагг

стационарного процесса также стационарны, т.е.

являются

пун­

кцией только параметра

%

,

\

K x u j

*

<5%х) T w w

- К ^ ° ) 4 ч

к

Ф и ;В И 6 т

^> о

IX) *

О

х ^ о

)

(11.22)

Отметим, что используя (НЛО) и (11.15), корреляционная

матрица К*.

может быть выражена

через рундаменталь-

нум матрицу

Фс*у-и) системы зь » Д эь. .

Т

K ~xcS 4 ) * Ф 1 % Ч ) К ^ в/ь ,) ф с л г(-ц) +

4л.

| ф ( * л/^ В (х )Ю р вЬр < $«гPQ d x

(11.23)

'•я

- *^\)

К «

с ч

* 0

где

* ФС-Ц)

■V

Отсюда следует,

что

если корреляционная матрица про-

«-Э

ставяма . в виде такого произведения,

причем

' f t v

-

имеют

непрерывные производные и

матрица невырожден-'

.

л

как

вектор

ная,

то этот процесс может быть сформирован

мы тем самым дойдем и решение относительно вектора

состояний

исходной системы.

Так,

пусть-запада система

ССХЬ) — PlV)«x(v)

f

Gr (VJ'UAy

. (II. ?Л)

и статистические

характеристики

вектора fyly

заданы

и от­

личны от характеристик белого шума. Требуется определить

статистические характеристики вектора ос, ( t ).

Предположим мы умеем определить систему, такую, что

OJ =

nJф v n y

( и .2 г>)

гдо'ЧйГ (4:

) - белый шум.

Тогда

(П.2Л)я(11.25)

определят

новую систему

2к&) - АСУзЬтф

*+

B>(*)aTU) f

(11.26)

где

' tk-цГ. о

Г<u.uf

г Nitv;

г ф -

.•« • *

, л о ц

г

1

f e ty -

ОсСу

£

1--

<

£

о

ч

j

Определение

и К .г(^ ^ д ,

исходя из

системы

(11.26),

Вход системы

X.

(

*Ь

)

- стационарный гауссовский яро-

цесс

с

[г

и соответственно

е

£Q*bL

е

K-jc*'0 ^

Определим сначала систему которая преобразует белый шум

в заданный сигнал

Х

( +

>.

Воспользовавшись

(10.16) .получим,

что передаточная функ-

ция

такой системы

\М<® (Л) «

, а

следователь-

vvq>

„

Ъ + oL

д

л

но дифференциальное уравнение фильтра имеет вид

зс,

*. —-oi.x

-v

(У ЛД" ,

(Ii.27)

Тогда в соответствии

с

( I I .14)

определится урав­

нением

]) х (-9 -

-& clD*I.V) ■+2.0'оЦ,

(11.28)

где

Су -

интенсивность

шума ‘ТО";

])хсо)-

значение

дисперсии

в момент включения

системы -Ь* *t0co

На основе (11.22) решение получим в виде: - 2р<4^

D x IV) -

Dx(oJ £

Ч: Сг Су ( Д - -<2.

По условию:

при \

Dx (o*) ^(У2-

,

т.е*

су»1.»

при ^

-

о

Т)л Со] - Obe

Тогда

I) oc.lv)

-

G#t' -

Cowk-V

Таким образом на выходе формирующего фильтра (11.27) нрц

начальных условиях ®ЧеЛЯ).

иX^to) *Q"Vq момента

4: - t ,

и возбуждении белым шумом

с

единичной

интенсивностью

кшш характеристиоами.

■

‘

для решения поставленной задачи рассмотрим теперь сис­

тему , представленную ра рис.14.

%f(t) Г Ш г^ гтт7

х ш

Г с

1 s у/*)

X.

- -

cLOt Ч NfleT0йллГ ,

^

~

Т ” ^ ^ Т7 ^ ^

(11.29)

jA

^

-t

;

(II.3U)

где

*1

-oL

О

’ 'lal'G "'

^

-

'С

Д

,

в

л -

=

0

J

матрицы

ъ

)

h

' т .

>

Дифференциальное

уравнение

относительно ковариационной

(II.I4 )

будем решать при начальных условиях

Г /vi^

о

К >

) -

O'*со)

G'jt.J

( Щ И )

т.е. полагая начальные условия системы

и фильтра

незаГвисимьщи,

причем» как получено выше,

О ^ С о )* -^

. Это решение

( ( I I .23)

при ^

л - * г- *-/t )

определяется

фундаментальной

матрицей решений однородной системы

^

J\, ъ

,

которая в

нашем случае

имеет вид

е

- 1*

О

-оUr

г

(11.32)

,* Г т «

-

t

v

€

I

При

=-° значение V

*■ D^IV)

совпадает

\c^'V

W1 S'

l £ js ° H - \^0'х-

ToL

4 хо1-

" V ° j

Л-t ToL

AtToL

T<JL

\

v

-оцх\

заданный входной процесс,

» т.е.

'

\Х1

k jjjty

«

r\J-~ | Л

-

Т * - 0 T

.

(11.33)

■

г о

a v -o ^ o L

а и . 34)