книги из ГПНТБ / Марков В.Н. Теория управления (устойчивость, стабилизация, оценки) учебное пособие

но положительная матрица 12- ,

такая, что матрица

удов­

летворяющая уравнению

(6.25),

является определенно положи-

тельной.

f

Эта^особенность,

присущая теоремам 6*2, 6*3,

по-разному

интерео.

Пример. Рассмотрим задачу

синтеза регулятора^ для оиств-

мы второго порядка

I

^ 4 е

>

X v *

В этом случае определяемая уравнением (6.25) матрица

Г

I

Я*Чс

(С -

> о )

ч

И ~ ~

1г -

ЙС

«г.

Это множество

onptделено

с точностью д о произвольных пос­

тоянны

t ?

Н-д ^

удовлетворяюще. неравенства"

t > о

х г > о >

± - А , 2. 4

у. =* с. г. .

(?л>

5 - А, г + А ц> чЬчЧц(-ь)

где 2- -

вектор’ состояния

объекта

регулировании,

21 £г^- ^

- выходной вектор

объекта,

Це ЯГ .

^

- вектор

состо*шш

йсгашгителышх устройств,

^

П*«-

-I

‘

.

<л,

~ вектор управления*

U ь R." , д ,

, А ъ , Л ъ */ Ц

? Б «С -

ш)-ст0^ыш& матриц раз-

-иерЕоетй

С.^-*х Кч) , ОцхН>.) , Оку.vtх)

, (j*x*s»e,) и 1

»

собтвет-

отвеннр,

=.

v-‘-;vCv.Cu^i't>) j

~ вектор-функция

характеристик

испольнителышх устройств,

oтнocитeльнo; кoтo-

pыx известно.|

что

при всех

& о

■ Yv*\ t

U i^ iM j .+ U

V , . Ц ч . . ^ ,

(V.2)

где

-

заданные

положительные

числа,

^Пусть

и

~ постоянные яатряцы 'размерности (Jfc \* t)

и .{j*. xvuj

з £

(7.1)

Допустимым законом убавлениядли -системы

Ч

+ V C ^ ,

(7.3).

•0днак~ здесь

понятие допустимого закона управления нуждается

в известном

уточнении.

Дело в том, что принятое

ранее .опре-

А

X = Л , 2- 4

;

(7,7)

~ А-^Х -V А ч^ + Ь

'

(7.8)

Структурная схема замкнутой системы показана

на рис.

3.

.ЧГ-*

исполнительное

—

г

L,

Зстиматор,

с 1

устройство

*

регулятор

1— -

-ис. 5

Задачу о стабилизации системы (7.1) теперь мы можем сфор

мулировать с^едупщим образом.

Задача

7 .1 . Дано множество допустимых контуров обратной

связи (7.4),

(7.6), (7.8), Требуется из. (7.4), (7,о), (7.8)

выделить подмножество контуров,

гарантирующих асиылтотичес-

кую

устойчивость замкнутой системы

(7.7), (7.4), (7.6), (7.8)

при любых начальных возмущениях

х любь. ; характе­

ристиках исполнительных устройств'

(7.2).

«

2. Синтез законов управления.

.Решение поставлена-за­

дачи

начнем с построения законов

управления (7.3), обеспе­

чивающих стабилизацию системы (7.1)

при любых характеристи­

ках

исполнительных устройств- (7.2).

Г z'\

Г

О

i

J

h

Я ъ Л ч

Ъ

(7Л ) являются частным случаем условия

(6,2),

то в соответст­

вии с теоремой 6.2

любой из законов

управления

\Л ~

~ -ГГ- 1 9s.I

\

(V.9)

v, L 4

' и ,

обеспечивает стабилизацию системы (7Л )

при любых характерис­

тиках исполнительных устройств (7.2),

если

Г

з Q

- опреде­

ленно положительные (К х К,) матрицы»

удгзяетзоряющие

уравне­

нию

I

* Д , Д -J

Го!

'<Л I

(7.10)

о = ~ $ - Г |

Г

[ .Я-ь А ч

Обладающие указанными

свойствами матрицы

'

и Q

будем ис -

к'ать в виде

[

Qi?\

^

[ Г ,

и ]

Q -г. i

-ч \

5

Г

— ,

г>

г

Г

(7.11)

L

к

i

‘

г

' 1 j

где Q ,,

и Q г , Гь

симметричные матрицы размерности

(V\\ х Vx^J

и(Лг **ъ)

соответственно.

Q ^

,

CL ~ матрицы раз-

ме^ости

(o'mxWJ.

подстановка

(7ЛГ)

в (?.. ТО), (7*9) дает

r G * Q

■ F 'A!

Д . Х г А 'Н , г л

Q ~ -

Я- Я\

+

J

I Q M - M V

J

I О

L

J L

L

Г* Г

r ° 1 I ° T i г, М

\

•г i A

г-1 г, 1

!

I

,

Б.

м 'а

; м

Ь-

) J

0=-ЙП+ЦД, -л\ч-

+ 2.Лг^. Гг.,

если удовлетворяющие уравнениям fnl!2) матрицы Т л ,

Гг ,

,

и 6

ц ?

QT ?

Q-

образуют определенно

положительные

матрицы

(7Л

1)е

•

'

■

Заметим, что полученные законы управлени.. являются ре­

шением расе

-гриваекой задачи и т гда,

когда яри выполнении

ч Qa f ^

*■ Q y у. -.овлетворжо .соотяли&мям

a & - $«

) ~

- r,л , - л',r , - r-cя -j,-л^гх-+глг.з^'г',. ,

il'H

o t

-

Q i - r V A ,.- а 'л

-Г 3 Ач

v> -t 2.А

-*!>Ф*~з л

которые являются частным случаем норавенства

О ^

-

Q,

Qj."

' 'Г ,

Гг | • •

А',

Л «1

[ Л 1 А ь] ! | Ь

ГР

<3’

<5Ъ

„ ^ г ^

• A j

А ч]

[ A s / u |

{f <

fi-И

Щ Г Л Г о ГГ о у

Г, ГЛ

+ I X г. 'г i I

6,

г. Г-л

,

Очевидно, т о

матрица

Г

, составленная -з матриц

Го ,

' ■^

/

iудовлетворяющих условию

Гс

~^-£л>ти

f^CVj

при -ь

^ U '- V - Д . ( " л ч

- де

f V

* s /

^

<-У

- частно

реюзние матрич ых

П It)

V СУ

и V

дифференциальных уравнений

-

Г, о а л + Г ,А ,ч А ',0 + ?;'A J+A %

- г л т л ^ г , ' j

Гсо)=);

V<-й/

Г,

= Ох.*-^Л +ЧЛ-гА ^ Л +ПАТ. ОфЬЛРз , Ггс.)=.е,

Гг

Q , + ?! А л А ' Д - А А ч + А ?* -