Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Марков В.Н. Теория управления (устойчивость, стабилизация, оценки) учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

10.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2216 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

о рядом из которых мы и ознакомимся в этой главе. Поскольку выбор того или иного способа решения задачи и их эффективно сть зависят от свойств исследуемых систем рассмотрим струк туры типичных нелинейных систем.

Будем для простоты рассматривать одномерную систему,

причем Х о ; - ее вход, aY ("t ) - выход. В общем случае4 преобразование вход-выход записывается в неявном виде с по мощью дифференциальных уравнений

Иногда уравнение такой системы удается записать в явном виде

. Y o ) - F	L	Х 1 ^	± 3 •	( 12 >2 >
где f- - нелинейная	функция	(или функционал)		своих аргумен
тов.

В ряде случаев в системе удается выделить линейную час ть и часть нелинейную, описываемую уравнениями вида (12.2)

или их частной формой

(12.3)

при этом mosho рассматривать два вида структур, которые представлены на рис. 15 (см. [ 14 j ).

- T5w

Рис. 15

Принципиальная разница в структурах заключается в раз

личии сигналов, поступающих непосредственно на нелинейную-

часть. Если в cxewe I - это входное случайное, воздействие,

то в схеме П этот сигнал содержит кроме входного воздействия такие еще искомым выходной сигнал или его линейное преобразо

вание.	Именно эта		разница и определяет	различия	в подходе	к
рассмотрению систем.
	Системы 1-го тина могут быть описаны уравнениями:
	Zl-fe)	*	р [ Х ^ ) Д с * ) , ... Д		.	(12
		Yl*0■•=•j		oir. ,	(12.5)
		о*	—00
или	Y l*)=	J	F [ X i^ X l»,	...x Tv	] Ax . .

_oo

- ToI -

На практике	часто при сведении	системы н	структурам ви~
да I и П удается			I
да I и П удается	так выделить части, что выделенная нелиней-
		f	т,е.
ностъ является простейшей и имеет вид (12,3),			т,е.
2:1# -	и тогда система	описывается	уравнением

Yt<o - [	FlXu;Dctx	„
•	■	*	(12.6)

К подклассу нелинейных систем типа I можно отнести более слож ные преобразования, например:

*> у

а)	Д 1 + )	- « в	К Ш Д 0(г , (12.7)
		- « в

что соответствует параллельному проведению нескольких пре образований, нав это иллюстрируется рис 16е,

что соответствует схеме, изображенной на рис, 17.

Pug, 17

~ т52

Таким ооразом при схеме типа I задача анализа исходной
нелинейной системы формально сводится к решению двух задач:
а) Определению вероятностных характеристик функции		,
связанной о заданной Х ы	нелинейным соотношением (12Л).
о') Анализ»линейной системы (12.5).
Системы подобного типа называют "приводимыми нелинейными сис
темами".
Структура системы Л типа не допускает подобного сведения к
линейной системе и такие	системы называют "неприводимыми не

линейными системами". Преобразование задается неявным соот ношением.

	•о	■оо

V i*; -					.	(12.9)
2.	Нелинейные	злементы.	Помимо такого		разделения на
приводимые и неприводимые системы при анализе					нелинейных
систем существенно, является ли характеристика нелинейной
часгти F	системы непрерывной функцией			своих аргументов			или
нет.‘В атом отношении системы разделяют на системы с просто
нелинейными элементами и системы с существенно нелинейными
элементами (Н.З-.)			'				.
Примерами нелинейных элементов первого типа могут быть
любые элементы для которых функци«			F	являются ди^.ерен-
цируемьиди ^.ункцлнып своих аргументов,				например, W 4 J *			^ Х 1У,
F[XU}) ■-	X l*J	и г.д. Существенно нелинейные				элеыен
ты используются, например, }з различных законах управления.
Примерами характеристик		сущеетьеппо ’нелинейны.: элементов					яь—

лиютен характеристики рояейиые различного типа , линейные .va

рактерйстики с насыщением,	l >,.: , iист резненые ne. ш, сухое
-	тЭО -

трение. Некоторые из них изображены на рис. 18.

Таким образом, одним из признаков классификации не

линейных элементов может быть непрерывность или существен

ная нелинейность функции FIX].

Вторым существенным признаком, по которому также клас сифицируют нелинейные элементы, является наличие или отсут ствие однозначной зависимости выхода H-.'d. от ординаты вход

ной	функции. ~ -
	В том случае, когда	значение Хзд	в момент ^ о-.позна
чно	определяет значение	функций
		в тот же момент, нелинейное звено
называют "безынерционным" (или звеном			"без памяти"). В про

тивном случае звено называют "инерционным". Очевидно в при веденных нами характеристиках это звенья с характеристиками

3 и 6.

Для	инерционного	звена характеристика г является	по-
существу	функционалом,	зависящим от вида функции X I'ty	в

предшествующие моменты времени, а не только от значения ор

динаты X oj> .

Итак можно считать, что нелинейная система обычно мо

жет рассматриваться как совокупность линейных и нелинейны/

звеньев, соединенных различным образом. Лри этом нелинейные звенья могут быть по характеру их зависимости от входаэбыть как существенно нелинейными, так и просто нел:ыийпыш|. кро ме того, в зависимости от того одно'значни эта характеристика или нет они подразделяются па безынерционные и инерционные.

- Т54 -

Рис i£.

- Т55 . .

§ 13« Приводимые нелинейные системы.

I, ОбциЙ подход к определению характеристик выхода но-

линейногб элемента. Как уже говорилось формально рассмотрение приводимой нелинейной системы можно свести к рассмотрению системы,определяемой уравнением (12.5) или, в символической

записи, уравнением			_
			н-*) - L ^ i - y .					с и л )
Исследование этих систем даже в рамках корреляционной теории
наталкивается на существенные трудности.
Действительно-, оооаначая ^							) функцию веса опе
ратора L	и считая для простоты начальные условия								нулевыми
можно записать:					1
		"Ytv)		=.	1		л х
Тогда для		и		L-fc,, t-3
можно как извесно записать				v
			-	J {Jt+.XjUl* (t) Ях. f				(I- .2)
	'	{'	fl	°				. (b ,3 )
V -S + O = )			a		u			. (b ,3 )
		0	a		u
Сюда входит	^ъ^Х)		и ^С-ь^случайной				пункции	i t V		,
связанной со	входом	X l*j			пелииеиным		соо тношеинем
	■?:(£)■=- F H X w l						.		(13.4)
Предположим, что это-нелинейное' преобразование безынер
ционно, Т.6.	2 0 J	однозначно			определяется "значением				•;ункцпн
7jX) в тот же ионегл* времени,
Ооозначим одномерную и дьунебп.ую плотности ы. рояности
через	рлС^с)		иРгО Л)х 7) ,			где■"X l.'V*		Х 1	п Х г= Х Л )
Т о г д а	п р и м е н я я			д - о р м у , ) / •		в ы ч и с л е н и я				г . а т е ; . . а
			-	T5S -

1ыл уункциЕ	слуз&йшх величин г ю п н о записать:
\гь.L-t) = Na\f№^-)]^ ~ j Fc^)p1l'^^3ol'X ,				(13.5)
k 4( t <;+v) -		М ^ Н а ^ Ш - ч ) ] 1; -	п щ м -т .*	u p ,
I		7 T	■	рз-О
**0-1,4)= JJFt^)Fiii)picic-^'x1.)aTt,c»xl.-V4lt-i,)»ti.ot1.).
	- 04 -C0			*
В принципе		эти формулы решают постановленную задачу.
	оказываются			с v п
Иногда они правда неудооньши, особенно			если функция г Ц\Л?]:'
соответствует существенно нелинейно1^’			( сложный вид
преобретает	область интегрирования^

Пример, Рассмотц.цк подробнее процесс вычисления этих характеристик на примере одного из распространенных видов нелинейностей - линейного звена с .симметричным ограничением.

Примем распределение входного	сигнала	нарыалъным.
,		<
Для такого сигнала, как известно -
рх^о -	А* р v Т 5 Г S ,
		►

рг (.асъ х д =

~ г	'Г Г "	O'*. &Г		(Ь .У )
e*i.		O'*. &Г
	M [X i] , g£ - M i d ; - * * £ ) . u u ,
	д	v	■
	д	г- ■■М[СХи-т «-,)(Х1- т . г у 1 .
	Г*- ”. OV.G<Х<L		v	J.
Ноли процесс Xk-fc)		CTaiitip'iiapGH,		сг - M -i,

-157 -

Вычислим теперь Wl4 ,	считая	Х.А) стационарным.
На основании (13.5) и (13.7)	сразу	же можно заметить, что,

вообще говоря, при нормальной входной функции величина Иъ*.

непосредственно определяется	только	величинами	и §•*. :
^ ^ С	J	•	(13. 9)

Примем для нашего вида нелинейности (см.рис.19)

F U >

Тогда,	подставляя (I3.IO)		и (13.7)	в (13.5) ntvnvuM»*'
		а,		О-
		Г		О-
nt»=		х в	+ <Я g	r -<S^A)v
nt»=	т < ? *	х в	+ <Я g	сАос. 4 (гй) e W	4 i
	т < ? *	у	CL	У
		О-	CL	О*

'Не приводя преобразований, загшшим результат: U-ftuJv

4rsF t				Ш-
			где	Ш-	• 43 *1	a.
4		*-L	где	CL
4		*-L		CL
		V
		г
И Ф ( 0 * in	£	oOt	- интеграл вероятности (неличный			ии-

- Т56 -

теграл).

Интересно		рассмотреть графини зависимости	^ V	YV\_ "X
Интересно		рассмотреть графини зависимости		от ^
при различных		^ /с и * Примерный вид их представлен		на
рис.20	т*
рис.20	сх

	ж	-
	0,5	-
	0,5
	* • % / / * $ ' 'ф У '.
		6**5—

0,5 i,0 i,5 г,о CL

рис.20

йа этих зависимостей можно сделать важные качественные выводы.

Во-первых, наличие случайной составляющей сглаживает нелинейность исходной характеристики. Результирующая харак

теристика является аналитической .функцией. Диапазон линейнос ти увеличивается с ростом дисперсии случайной составляющей

входного	сигнала.
Во-вторых,		значение коэффициента усиления	X	на
участках	линейности Характеристики ttUt/tti-y) уменьшается с
ростом	.
Оти свойства являются оощими для широкого класса нелиний
пых элементов.
В меткости		они характерны аДя всех £ —F (JC)» где
идид.сренциальпый" коэффициент усиления ^/ос			падает	с
увеличен.. оЫ Вс		,

черейдем теперь к вычислению момента второго порядка.-

Использование оощего выражения (13.6) существенно затрудняет вычисления. Для. ычь.олин-Ця иоычио -пс пользуют известное раз-

- Т5Э -

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2216 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ