|
ч ;*.(оуч*,е-х ) ^ ^ .w t 4 |
•+ |
"ае.4«, ■'** .w-stja ьлуН |
, |
|
гтг |
|
• -jj- | л к ч о г . в х ) d . T , |
|
1ST |
|
^ = i : |
WiiT s-x) и ч т |
, |
|
a |
|
|
гу |
|
~£['~jr j^A m -.+ a^T ^».) |
AT, |
(1$Л7)
(16.18)
(16.19)
(16.20)
|
|
|
|
|
|
Поступая аналогично с функцией К* |
, |
оставим |
в разложении |
только яоотоянгу . |
составляю*^» о |
зм, |
чтобы в аппроксимирую |
щем выражении для |
Y(iJ |
избежать появления |
нелинейных |
членов - произведения гармонических и центрированной случай ной составляющих* т.в. примем;
/УЦв-»,* ^ i]kAv*v'aVihY,®»)AY. {-16‘21^
Подставляя (16Л7) и (.76*21) |
в (16.16) мы получим чашу ап |
проксимирующую линейную зависимостьД16Л Ь) между сс |
тавляю |
щими гхода и выхода.нелинейного элемента. |
|
Сами функции |
и ^ |
вы шляются по известным' |
нам |
формулам (он, } 15) |
которые |
в рассматриваемом случае |
при |
наличии гармонической составляющей во входном сигнале ирин'!
мают вид:
-с*0
v£0(w aMntot ,'"V) =. (^ 1'^-* ^ к ^ )р ,{ъ ;& х 7
•сс
!<^twx*QVtawt,^«±£..| j |
^ |
t |
x |
+ a s i |
K W t ) |
(16.23 |
|
|
oe |
|
|
|
|
|
|
к 1W + 4^Wt,Q'xJ* 5* |
k-x-»v)f(?c* »i(ixwvjp,i>.j <Ax . |
(16.^) |
|
TL |
|
|
|
|
|
|
|
|
— 90 |
|
|
|
|
|
|
Можно воспользоваться |
также соотношением |
|
|
С |
- |
|
v ? |
* |
О |
|
(16.25) |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
или применять вместо |
, *д> |
и |
> и; |
статический |
эквива- |
К , |
м |
лентный коэффициент усиления. |
|
|
|
|
В случае нечетной характеристики нелинейного звена |
(16.15) и (16.1°) |
дают; |
|
|
|
ял |
|
|
w |
ч. w |
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
(16.2о |
|
WI- |
|
m * |
|
|
Таким образом 12с и 12 представляют собой усреднен
ные за период изменения гармонической составляющей статисти
ческие |
ыэффициенты усиления |
и |
к 4 |
. Коэффициенты |
12 |
и |
12 s |
- гармонические коэффициенты усилг шя |
ста |
тистической характеристики |
# получаемой из (‘г6.13> |
статистическим |
\»среднением. |
|
|
|
|
Функция |
есть результат |
vcoeAKeHKfi |
за |
период ’зменени; гармс^ичес^. |
й составляющей. |
|
|
Привеченные соотношения можно получить примеь я снача |
ла гармоническую линеаризацию, а зп^ем статис лческую* |
|
величины |
|
|
мо:::но таь.£в определить из |
условия совпадения средних значений математических ожиданий
и дисперсий случайных функций y(tj и Uii'j за период
гармонической составляющей (первый способ) или из условия минимума среднего значения за период среднего квадрата ошибки (второй способ)а
Выражения (16.12) и (16.14) могут быть записаны в комплекс ной форме;
^ A > t |
О |
|
2 W = ftlx + ^ + |
ОС Иг) , |
(16.27) |
|
|
(16.28) |
где
Основной смысл совместной гармонической и статистичес
кой линеаризации, составляющий аилу этого метода, и причину
его широкого распространения, заключается в возможности за
мены нелинейной зависимости между самими сигналами прибли женной нелинейной зависимостью, между их основными парамет рами - постоянными (или медленно изменяющимися) составляю щими, амплитудами и фазами синусоидальных составляющих и дисперсиями случайных составляющих - и.приближенной линей ной зависимостью между быстро изменяющимися (гармонически ми и случайными) составляющими. При этом с достаточной для
многих случаев точностью учитываются нелинейные свойства нелинейных звеньев и,- в то же время, используется возмож
ность исследования хорошо разработанными методами теории
линейных систем (см. \_12] ).
3.Применение метода совместной линеаризации. пусть
система стационарна, имеет одно полип, :V,oe звено ^ |
и |
стационарную линейную часть с передаточной функцией N^V) .
Для простоты рассмотрим структуру с включением нелинейности
в обратную связь, т.е. |
когда выход системы и |
вход нелиней |
ности совпадают (см. рис. 23). Предположим, |
что на входе ' |
действует стационарный |
случайный сигнал X lv, . В отличие от |
рассмотренного в § 15 примера на применение метода статисти
ческой линеаризации к |
замкнутой системе |
предположим наличие |
в системе смещенных автоколебаний. Представим в связи с |
зтлы переменные |
и 2: |
в виде |
сумм постоянных сос |
тавляющих, гармонических составляющих с неизвестными ампли
тудами, частотой и сдвигом фаз, а также |
случайных центриро |
ванных составляющих |
|
|
|
1 |
<16.29) |
2 - Z -t СкbSrivt (wet ч |
ч i J |
, |
Применим для полинейпооти совместную статистическую и гар моническую линеаризацию, тогда для функции £(t) можно записать приближенное равенство
математическое ожидание входа линейной части |
|
является разностью |
постоянного |
сигнала 1^х Ь* ) |
И Гаи- |
цинического еИх1пала |
й ь |
I |
Л **ъ) |
|
Поатому для |
м ид.* и |
с. дет записать: |
|
Имея в виду, что в каждом ив выражений (16.29) и (16.30)
первые два члена правых частей представляют сооой математи ческие ожидания левт:х частей, можно с учетом (16.31) запи сать:
^ |
JnH t/Vt-е И Оюх- Ъ) - i |
| ft* |
v |
^ |
f |
£ -v (\ьУ\)х(wet -* = |
,V^$) jd^ мЧ |
* 9 MJ , |
Сравнивая теперь постоянные составляющие, амплитуд^ и фазы гармонических составляющих в последних двух формулах, полу-
чим систему уравнений:
|
|
|
|
|
|
|
= т г . |
(16.34) |
|
Четвертое |
уравнение |
может бы-ть составлено если учесть, что |
|
в (16.30) |
нелинейное |
звено |
по отношению к случайной состав- |
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
дладей *X |
|
заменено |
усилителем с коэффициентом уси |
|
ления |
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому для |
|
|
пользуясь соотношениями линейной |
|
теории можно записать |
|
|
|
|
|
|
|
О* |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
и |
*S^(w)o(4) |
(16.33) |
|
ОТ |
ац |
j и + * Л{ |
|
и$':» |
|
|
|
|
|
|
|
|
—90 |
|
|
|
|
гд~ |
|
|
* передаточная функция линеаризо |
ванном замкнутой |
системна |
S^tvoj |
- лгектральна* |
плот |
ность входного сигнала |
X № |
|
|
Таким образом мы |
располагаем 4~м. |
((16.32)-(16.35)) |
уравне- |
ниями для определения |
|
|
ф . |
> |
четырех неизвестных ^ 5^^^ |
Для их совместного решения можно применить следующий пот*ем.
|
Зададимся рядгмзначений |
|
|
для |
каждого |
лз них |
решим уравнения |
(16,32), |
(16*33) |
и (16.34*, в результате че- |
го получим |
^ * ; |
а |
|
и |
1А>« |
как |
функции |
|
|
. Для |
каждого пз |
6^. |
это можно сделать, например, |
так. |
Задава- |
ясь |
различными |
$ |
из уравнение |
(16.32) |
стчоим зависимость |
|
|
от |
§ |
' |
(кривая |
I, |
рис, |
25). |
Затем при определе - |
ном значении |
|
|
, задаваяс1 |
различными |
^ |
; |
находим |
из (16.33) |
соответствующие значения |
|
и строим график |
(кривая 2, рис. |
°5). |
При эом тз |
|
|
по (16.34) |
строим |
аналогичную зависимость |
й^. |
|
от |
^ |
(кривая 3, рис.25). |
Пересечение кривых 2 и 3 дает точку |
с соответствующей оциф |
ровкой |
W* |
|
, |
Так находится несколько точек для |
"азных |
ЧАЗо |
|
соединяя которые, |
получим кривую 4. |
Пересечение кри |
вых I и 4 дает значение |
* |
и |
|
* |
, удовлевторяющее |
|
|
|
всем |
трем уравнениям |
(16.32), |
(16.33) |
te, (16.34). |
Значение |
оОо |
уточняется |
подстановкой |
этих |
значений |
|
СЦ |
и |
|
|
в уравнения (16,33) или (16,34х (вообще . оворя при |
бит хенно оно определяется |
оцифровкой кривой 4). |
|
|
После |
того, |
как |
для |
ряда |
зна* зний |
|
получены соответ- |
ствующие ^ |
1 |
|
\ |
иОо , |
для каждого из них можно опреде- • |
лить |
значения |
коэффициента |
|
|
|
^ ) |
|
и по этим Дан~ |
ним |
построить |
зависимость |
правой |
час*и уравнения (1^,35) от/ |
|
|
(см. |
рис. 26, кривая |
I). |
Точка пересечения |
этой кри- |
вой с параболой |
[&) |
- ( З ^ |
(кривая 2, рис. 26) |
определяет |
значение |
(5^. |
» при котором удовлетворяют |
ся все четыре наших уравнения. Соответствующие атому |
значения |
^ * ) Ц^_ |
|
и |
|
и представляют собой ис |
комые постоянную составляющую, амплитуду и частоту авто |
колебаний. |
Коли не существует |
решения этих уравнений с по |
ложительными значениями |
(Х^ |
и |
, то автоколебания |
в системе |
невозможны. |
|
|
|
|
для решения уравнений может быть использован и метод после довательных приближений,
В отличие от случая, когда автоколебания в системе от сутствуют, здесь уже, воооще говоря, выходной сигнал нельзя
считать нормально распределенным. Этот факт следует учиты вать при расчете вероятностных точностных показателей систе мы, Июли статистическая и гармоническая линеаризации приме нимы к системе, в соответствии с (16._Г) случайную составля-
ыщую выхода можно рассматривать как сумму двух случа:пых
г
сin’налов - гармонического сигнала со случайной, ласой
Ик,(w.t ч и нормально распределенного chi .,а-
ла Y % Y * г Грачем в ноевом приили :сн.:и ^аза может рас-
сматрмваться независимой о г \ |
и равномерно |
распределен |
не# в интервале О -гД тГ . Тогда |
одномерный |
закон рас |
пределения сигнала представляет собой композицию законов распределения каждой из составляющих и полностью оп реде-
ляется найденными значениями й • Такое
уточнение закона распределения позволяет более полно и
правильно |
оценить точностные показатели работы системы |
(см . t ie 3 |
) |
Л И Т Е Р А Т У Р А s
1.Барбаиин E.A. Функции Ляпунова* "Наука”, М., 1970,
2.Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости» "Наука” , М., Х967*
3.Калнин.* Р«, Фаяб П„0 Арбгб М. Очерки по «атематичес-
кой теории систем* ’‘Мир”, М., 1971.
A.Калалин В.И.9 Пупко^ К.А.„Фурасов Ъ.Д. Аналитическая теория непрерывных систем» Изд-во МИЭМ, М., Х973.
5.Красо ский Н.Н* Некоторые задачи теории устойчивое®!
д* ижеяия. Физматгиз, М., Х959*
6. Красовский Я.И. Проблемы стабилизации ; правляешх
движений. |
Длполнение к [ 9 ] , |
7. Летов А.М. |
Динамика полета и управление. "Наука",М.9 |
1969. |
\ |
|
B. Летов А.М. |
Некоторые нерешенные задачи автоматичео- |
’ ого управления,, Дифференциальные уравнения., т.6, №4*. 1970»
9.Малкин И.Г Теория устойчивости движения. "Наука”,, М*, 1966.
10.Псрвозвадский АдА* Случайные процессы в нелинейных автомат: веских системах. Физматгиз, 1962.
XI. Петров Б.Н., РутковсниЙ '".Ю., Крутова И.Н., Земля
ков С.Д. Принципы пост оения и проектирования само настраивающихся систем управления. "Машиностроение",
|
ei., 1972* |
а |
12. |
Пугачев В.С. ред/ Основы автоматического ^правления. |
|
г .>"на,\ М., |
196*\ |
|
* |
|
13. |
.упкоь К.А. |
Статистический расчет нелинейных систем |
автоматического управления. "Маш .аоСХ’роение", М., 1965.
О
Г CLO -
1 4 . Свешников А.А, Прикладные методы теории случайных
функций* “Наука"f М ., 1968,
1 5 о Солодовников В.В* р ед . Техническая кибернетика. Кь.З
ч. П, “Машиностроение", М ., 1967 .
16..Пупков д . А . , Чемоданов Е .С . Некоторые результаты ис следования релейных автоколебательных систем iip i еду чайнрх воздействиях. Техническая кибернетика, № 6 , 1973.
