книги из ГПНТБ / Марков В.Н. Теория управления (устойчивость, стабилизация, оценки) учебное пособие
.pdfиз ограниченности решений дифференциальных уравнений (ЗЛО)*
Подроби, з по зиму поводу см* \l,5 j »
Разноь :дностыо задач абсолютной устойчивости являются
задачи об уст йчивости систем типа
А - А-XI4 -B'fisr) ; e (зл?)
Яри этом, если системы лида (ЗЛО) называются системами
{ '
непрямого ре: .дарования, то системы (3*1?) - системами пря
мого регулирогдая* |
|
Теорема 3,5* Пусть, как и раньше, Г и С |
- постоян |
ные определенно положительные матрицы, связанные уравнением
(З Л 2 \ |
Пусть, |
кроме того, |
^ |
- |
некоторая |
неотрицательная |
|||||||
постоянная |
и пусть |
функция |
|
|
удовлетворяет ослабленно |
||||||||
му условию (3*11), |
т,е. |
|
* |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
^С<^ о > С ' г |
^cau |
& Ф |
0. |
(3,18) |
||||
Система ,(ЗЛ '7) |
абсолютно устойчива, |
если |
|
|
|
||||||||
|
|
|
>(r-s +1 |
|
|
|
|
|
|
(3.19) |
|||
> |
Длг.доказательства |
*еоремы рассмотрим функцию |
> |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ОТ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У с х ) ~ •эс'Гэс |
\ ^ (.r)d .r |
|
- |
' |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
. . . |
|
|||
При выполнении. условий теоремы функция |
V |
|
является опре |
||||||||||
деленно Положительной, допускающей бесконечно большой низ |
|||||||||||||
шийпредел. |
Производная функции |
V |
|
|
, вычисленная в |
||||||||
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Склу системы. ^5. 7), Г'ВВОДИТСЯ в виду |
|
|
|
|
|||||||||
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vcoc.) |
(ос*Сх - |
2.x 1 |
|
|
|
+]f |
V ) ) |
|
||||
Так Ki*k пр |
"деланных предложен!, |
х функция |
v ex ' |
являет- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
/ |
система (ЗЛ7) устойчива |
|||||
ся опреде енно ^трицателЕ^ой,'то |
|||||||||||||
1 це ом* |
Следовательно, |
пне. |
абсолютно уст ’йчюа. |
|
|||||||||
|
Замечание. |
Из условия |
^ Л ^ ) |
следует, |
что вве.^е |
чыГ |
f
в рассмотрение параметр* |
t |
необходимо должен удовлетво |
||||
рять неравенству |
^ > 0 |
, йо условия абсолютной устойчи |
||||
вости могу'* быть |
получена и ирк ^ |
~ 0 |
. В этом случае |
|||
<i |
|
|
|
|
|
, |
V(;x) ^ |
эс! Гх |
i 2 |
x |
|
|
|
я в силу условия |
(ЗЛ 8) |
система |
(ЗД 7) |
абсолютно устойчива, |
||
если |
|
|
|
|
|
|
Условия, доставляемые теоремами ЗА* 3.5* это достаточ ные условия абсолютной устойчивости. Необходимым условием абсолютной устойчивости является асимптотическая устойчи вость системы 'и
X *■Дэс 4 ^Vc’op. '{v« COhit ,V>0)
для систем прямого регулирования.
41 -
|
§ 4. Экспоненциальная, устойчивость. |
||||||
|
I. Определение. Пусть уравнение возмущенного движения |
||||||
(1.6) |
системы ^EL |
определено |
на множестве |
|
|||
|
|
$ т |
** |
; 8ocn <■S . , -fc > eV |
|||
и пусх'ь, как |
и раньше/вектор-функция |
F |
на рассматривав |
||||
мом множестве имеет частные пр )изводные по переменным |
|||||||
ОЦЬ ■?ЭС.*. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 4 Л . |
Система |
^ . |
.тзывается экспонен |
|||
циально устойчивой, если существуют положительные числа |
|||||||
R, oL Л . |
такие, что |
|
|
|
|||
Л |
Иг |
|
* |
|
|
|
|
- <*<Л
11-х<ЛМ\*К w-x^toii е ^ t ^ t o если lv*.dol*A .
Из экспоненциальной устойчивости системы следует ее асимптотическая устойчивость. Обратное утверждение неспра ведливо уже для линейных нестационарных систем. Например,
система
0С< = . |
г у Od.~ ^ - X^ - |
асимптотически |
устойчива, но свойством экспоненциальной ус |
тойчивости эта |
система не обладает. |
2.Функции Ляпунова, удовлетворяющие оценкам, харак
терным для квадратичных форм, Наиболее просто вопрос об экспоненциальной устойчивости решается в случае, к гда воз мущенное движение системы описываемся линейным дифферен циальным уравнением
= А эс |
|
j ) |
и все корни характеристического уравнения |
матрицы |
|
имеют отрицательные вещественные части, В |
этом случае, как |
|
уже o.-мечалось, для любой определенно |
положительной кзад- |
-- 42
ратичной формы *\j«x*Cx существует, и причем, единственная определено положительная квадратичная форма V * ос* Г х ,
такся, что
Vex) * х'(ГЛ ■*А Г)х - -о^Сос,
Пусть теперь с« , c z г с ь ~ положительные постоянные» выби раемые из условия
|
С ,* т Х Л ^ ^ |
|
|
тхжс х_Г* |
> с г = muu |
}/~\ |
|||
|
> |
|
х L х |
||||||
|
йсс^ |
|
|
|
ilxll2 |
|
|
RОСНг |
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Иными словами, п у с т ь С п |
и |
Сг ■- |
наименьшее и |
наибольшее |
|||||
из |
собственных значений матрицы |
Г |
, |
Сь - наименьшее из |
|||||
собственных значений матрицы |
С |
|
« Тогда |
|
|
||||
|
С«ЙО&И<«V cx>^ C.iiXi!* |
|
(4.2) |
||||||
ж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V ex ) |
^ |
~'cb lccl\ |
|
|
( 4 . 3 ) |
|||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
V ex) |
|
'-г. |
V ex) |
|
|
|
||
при з^ех> > - t 0 |
г 4 «ха,')1!г в ~ е > |
■ъ.) |
|
|
|||||
|
’ «лсукг 4 |
|
( 4 . 4 Ь |
Следовательно, экспоненциальная устойчивость зистемы ччЛ )
является следствием ее асимптотической устойчивости.
Полученный ; эзультат легко распространяется на ;,л-
нейяые нестационарные системы и .вообин юбые динам*, вес
кие сис1 ...лы, для которых существуют |
фуп ции Ляпунова, удов |
|||
летворяющие" оценка**, з.нало1 л ч н ы у .неравенствам (4.2)„ |
(Ч.З4 |
|||
Теооема М , |
Система |
2 * эксы. .ненциальни устойчива, |
||
если на мужестве |
(2.14) |
существует |
Ляпунова, |
,дов*- |
летдоряюща1' оценкам
г*,iio c ,n ^ \ к х ^ ) * с ги х « ( с , # С,;* COMtJC„Cr > ^ (# < 5 )
«
V ( X , t , ) ^ - С г !1ОС *1х ( c 3~ c c ^ t , ц > о ) . |
|
|||
Доказательство. |
теоремы очевидно. |
В силу оценок. |
*%*5> |
|
неравенство (4.4) выполняется на всех движениях сиетеш |
||||
—^ t начинающихся в ооласти А |
|
|
||
|
I! |
эсЦ,)1' & - s \ |^ |
|
|
Функции V £x/t) |
, |
удовлетворяющие- |
оценкам (4*5),. |
сле |
дуя Н.Н.Красовскому [4] г будем называть функциями Ляпуно
ва, удовлетворяющими оценкам, характерным для квадратичных форм.
Используя функции Ляпунова, удовлетворяющие оценкам
(4 .5), нетрудно |
получить |
признаки |
экспоненциальной устой |
|||
чивости в большом и в целом. Действительно, |
система .21 |
|||||
экспоненциально устойчива при люоых начальных возмущениях |
||||||
4из заданной области HxCtOft^Js |
(£>-cornet, &> о) , если оцен |
|||||
ки (4.5) выполняэтся на множестве |
ИxR< & |
« |
||||
Если оценки (4.5) выполняются-в пространстве'переменных |
||||||
ос,, |
ос.^ при всех |
t ^ о |
э то система (1.6) экспо |
|||
ненциально устойчива при любых начальных возмущениях |
||||||
xC*to) |
т.е. экспоненциально |
устойчива в целом. |
||||
Пример I. Система (2.6) экспоненциально устойчива, ес |
||||||
ли она устойчива |
асимптотически и |
|
|
|||
|
|
сЦНхК £ |
llXll |
£ oljixS, |
|
|
где сЦ , |
- |
положительные |
постоянные. Е |
этом случае |
параметры экспоненциальной устойчивости определяются по формулам
- -44 -
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
» -cU |
ГсГ |
|
|
. |
c* d , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fit* |
\\ C- |
|
|
|
|
|
|
|
|
r; |
|
|
Г, . |
|
(Х Л (Г т а )-» (Г ч»х)3X) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Пример 2. |
|
|
|
|
Ш |
0 |
|
|
{Ъ,Т*} экспо- |
|
|||
|
Система прямого |
регулирования |
|
|
||||||||||
йфщциаль-но устойчива:, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
% |
|
|
г •> О . С >0 ; |
|
Гк ■*' А*Г » - С |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
г-е |
- |
о |
, |
|
|
|
. |
•- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3. Векторные пункции Ляпунова. |
В основе |
|
условий экспо |
|
|||||||||
ненциальной |
устойчивости, доставляемых'теоремой Л .1 |
лежит |
|
|||||||||||
дифференциальное |
неравенств |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
\/с г » |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
Естественно попытаться получить признаки экспоненциал?чой |
|
|||||||||||||
устойчивости с использованием более сложных дифференциальных |
|
|||||||||||||
неравенств или даже систем дифференциальных неравечс«> |
|
|||||||||||||
Один из таких подходов к решению рассматриваемой задачи сзя- |
|
|||||||||||||
. .и с применением нескольких функций Ляпунова, |
ил., |
векторной |
|
|||||||||||
Функции Ляпунова. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Теорема 4.2. |
Пусть |
|
|
^ \/g С^Д) |
- |
знакопосто |
|
||||||
янные |
положительные функции, |
удовлеть |
ряющие на множестве |
|
||||||||||
(2Л4) |
неравенствам |
. |
|
/ |
|
|
|
. - |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
С^осв1^ У^эслз* ■••• |
|
|
сгУ |
|
|
|
|
|||||
|
|
♦ |
|
|
d^C'fcjV^cx.tj * |
|
♦ 4e.Vt u ;t) |
|
- ( r.6^ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
. |
4 |
|
и |
и..и всех |
t ;> о |
d^<±)^0 |
, |
если |
* |
Система S 1 |
|
||||||
экспоненциально |
устойчива, если'экспоненциально,устойчива |
|
||||||||||||
. |
с тема |
|
|
... |
|
|
|
... |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.+ |
|
|
f \ u v ., Ь,. |
(4 7)- |
|
|||
|
Доказательство. |
В силу дифференциальных неравенств. |
|
46 -
(4,6‘ производные функций |
V%tx ^ ) ?... ^ Vecx,t) |
9 определен |
|||||
ные на двиаеннях системы |
2 » |
|
$ приводятся к виду |
|
|||
> |
-& |
|
|
|
|
|
|
Чех,*.) -2-4}«)Ч<.зс,1) |
* |
с i -- v |
Д) |
(4.8) , |
|||
где |
0 |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ (х л ) = |
|
^ |
- |
J l d^wV,cx,t) |
ё,о . |
|
|
В векторно-матричных обозначе |
|
Дг4 |
3 |
|
|
||
иях |
|
|
|
1 |
|
|
г V * ,« ’ |
||
V |
|
1 1 |
%. ex у |
|
|
|
%- |
|
|
||
; |
|
V СХД)” |
|
|
|
|
|
|
|
||
! : ; |
|
|
|
|
|
1 • |
|
|
■ |
|
-- |
|
|
|
, |
|
|
Ь е , |
|
|
^ |
И |
|. и| |
/ |
|
«■> |
d t, |
W | |
|
d 2,c+) |
d Kc*;l |
К !А9 |
|
. { - |
| |
|
Г |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
W ' |
уравнения |
(4.?)* (^,8) |
записываются следующим образом |
- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(#.9} |
|
|
|
|
<* |
|
j)\/(.x,t) |
t |
| c x ;-t) |
|
|
(чЛО) |
|||
|
|
|
|
V e x ,г )» |
|
|
||||||||
Из (чЛО) |
'а'ходим |
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|||
УСВДД) * Att)Yaft)V^^4fte) |
t С |
|
|
f,X( 'v/x) d^. |
|
|||||||||
гд^ |
л / |
|
|
|
|
|
|
|
|
решений дифференциаль |
||||
fet) ~ фундаментальная матрица |
||||||||||||||
ного урав |
ения |
|
Из ^отрицательности |
внедиагональных |
||||||||||
элементов ма рицы |
D |
следует |
неотрицательность всех |
эле |
||||||||||
ментов матрицы |
i ( |
} *Y( |
to) |
|
при |
t. > |
t ; |
и матрицы . |
||||||
"Yc-t) • |
— л |
при |
|
|
|
* |
^-аким образом, при всех |
|||||||
х |
* ъ) |
|
|
|
||||||||||
^ |
“t |
о ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•Vг |
|
|
|
|
(t) ^ ct |
*4 v |
л s. |
ц,(л ):. |
|
|||
есл*1 |
|
|
лр{ К *)V с 'г (л0) t Л ^ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V'CxCtO tt,) ^ |
|
|
. |
|
|
|
|||
и при } |
'ex |
t.-v't |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
/1'У\ I / |
|
|
^ |
О |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
С*>IU} |
|
|
|
|
|
|
|||
в \ uij |
.,вравсн<-тв |
(ч»6)., Векдурные |
нсравен... /ва |
здесь |
озна~ |
|||||||||
дают, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
ь-.е ' |
|
соответствующим яера&ензУБаы удовлетворяю!, |
компоненты указанных вениров. Следовательно, |
при всех t > t c, |
||
, |
V lxc |
|
|
и экспоненциальная устойчивость системы (1.6) вытекает *з |
|||
экспоненциальной устойчивости системы (4.7). |
|
||
Замечание. |
Экспоненциальная |
'Ч |
|
устойчивость |
системы . |
||
(4.V) может о'ыть установлена следующим обпазом, Пусть |
|||
Я а' = И |
<■1 • i,-J) |
||
л |
ч * &updi|U) |
СУ |
; W p • |
Я |
гогда система (4.7) экспоненциально устойчива, если асим-
vt
гготически устойчива цистемг
<й -ц )
Лесбходиыые и достаточные условия асимп этической усид чивости системы (4 .II) даются неравенствами
|
|
|
t* |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
!> с |
(к*1, •••.>£) |
• |
|
|
|
|
|
|
• |
- ЧкК I |
|
|
|
|
|
|
|
Л] тер 2а |
Рассмотрим систему дифференциальных урав |
||||||||
нений |
|
|
_„ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x t |
~ F iСх^-ь) *& , Xj, |
V^i |
> |
г-'' |
|
(^Л2) |
|||
|
. |
—s> |
/ |
|
— |
|
||||
|
x t * Е, cx v -ь) + Ь ,: се, |
|
|
|
мо- |
|||||
и гридположим, |
что для каждой вектор-функции |
X- 1 |
||||||||
«жет Сыть, указана функции Ляпунова |
Vt c5^-t), |
удовлетвори- |
||||||||
!>..,лн |
оценкам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
Ч |
, |
« |
X |
(c;, Cltc » St |
|
> Д м Д |
||
'• |
Л Эх . |
|
|
^ “C^UX-Д |
(Х;ъ« c<wv$t, С(г>1> j C-M.z), |
- 47 ~
ъ\п
1 Ъ зМ ^ С -^ п х .» Сйч*««'Л,си(>*;1М>-,
Производные названных функций, вычисленных j силу урав нений (4.12), приводттся к виду
\ / C x4j-t> 4 - с п 13 /- + ( Ц ь Ъ, & - С1Ъ|Х ,»ь +
■ 8 ^$,1 |
ЙЬЛг г1 « - с 1г» х <1г+ с<ц«5,< 'НВ1» |
» 5 11 у |
|
|
- с ц 1 |
1 х / т ( Ц |
|
|
|
W.,. |
|
+ |
Ц а^ и |
- Ч ъ « « , в t-Cj,ui|Xii |
\iB j H x |
И так как при любых числах сх> о и 4> ■* о
|
- O ^ + ^ z £ ~ т г гг +■ ТЕ |
■<*.I3) |
|||||
при всех |
• |
, |
то |
|
|
|
* _ |
V, <24>г) 4 - |
лг + |
|
аБ / |
|
|
||
сх |
С г |
|
|
С^ч |
|
|
„ t |
|
|
|
|
(Ь-Хиз.* |
|||
|
|
|
|
2Сгг- ^ |
- - , |
|
|
Следовательно |
|
|
|
|
|
|
|
\ у г >л' |
с<> |
., |
.. |
, ci «ЬХ |
V |
_ |
|
zc.,г |
|
С '<*•) |
+ Т с ~ 7 " |
<-*..4 |
- 46 ~
V/ (X -и <. - - - - ■ \1 VX -U -г -с^ |
^ |
||
v ^ * * .* )- |
гсьг^ ^ *■') |
2.c2 icM |
|
и система (ЧЛ2) экспоненциально |
устойчива, |
||
|
1Д |
|
|
\/ г 5с |
^ |
4-\ |
v *“ |
|
если
Заметим, что норма матрицы 5>^ определяется здесь как нижняя грань чисел cli , для которых справедливо неравен ство
8 5* |
КОС;* |
Устойчивость взаимосвязанных систем. Используемаа |
при исследовании системы (4.12) конструкция векторной фун
кции Ляпунова легко |
ра шространяетсг |
на взаимосвязанные |
||||||||||
системы, возмущенное движение которых на множестве |
|
|||||||||||
|
|
i |
X , .,...ОГ |
е ,\> |
О =*4,..у«) ; |
|
(4.*-*) |
|||||
|
|
|
ч» |
> |
|
|||||||
удовлетворяет |
дифференциальным уравнени,м |
|
|
|
||||||||
|
|
Я?. ~ |
— |
|
с |
|
|
СН,-,€). (4Л5) |
||||
|
|
|
|
+ 21 Нц |
|
|||||||
Здесь |
- |
вектор переменных, |
по отношению к которым ис~ |
|||||||||
* |
|
устойчивость |
• * |
той системы, |
|
^ |
~2, |
|||||
следуется |
1 - |
х (:ё"\ , |
г с |
|||||||||
вектор-функция, определенная |
и апрерывная.на |
множестве |
||||||||||
(чЛА j вместе |
со своими |
частными производными по первые: |
||||||||||
ньш |
X,'Л ъ• • • |
^ |
-»Ч |
|
* |
И й |
|
- |
матрица |
|||
характеризующая |
влияние |
^ - |
той системы на поведение |
|||||||||
t - |
той |
системы, |
,1-ч«-0 |
|
_ |
|
|
& |
||||
|
4» |
|
|
|
|
|
|
|
миделей даже простей |
|||
|
При построении математических |
ших динамических .систем взаимодействие |
между отдельными |
||||
|
/ |
|
|
ишь с |
той или |
элементами с-,ст^мы может ui :ь установлено |
|||||
иной |
точностью. Поэтому |
в общем случаи |
от |
еситс |
ько мат |
риц |
;звс •тно только |
|
|
h г!'Л |
|
что на множеств-*4 Л |
|