книги из ГПНТБ / Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга
.pdf80 МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛИНА [ГЛ. 4
чтобы интерполяционный процесс сходился равномерно на линии интегрирования для любых узлов, расположенных на диаметре d единичного круга. Предположим теперь, что узлы выбираются не произвольными на этом диаметре, а имеют вполне определенное распределение. В этом слу чае возникает задача определения области регулярности функции, обеспечивающей равномерную сходимость интер полирования на линии интегрирования \х —(1 — е)| = 8 .
Для исследования сходимости интерполирования боль шое значение имеет следующий логарифмический потен циал (см. [6], стр. 239):
1
и(х) = ^ In |
(О, |
—1 |
|
где р, (t) — предельная функция распределения узлов. |
|
Рассмотрим линию уровня |
и (х) = cv При большом по |
абсолютной величине отрицательном значении Су такая
линия будет содержать внутри себя |
отрезок [— 1, 1] |
и |
достаточно большую область вблизи |
него, в частности |
и |
линию интегрирования | х —(1 — е) | = е. Назовем эту линию |
||
уровня l C l , а часть плоскости, ограниченную ею, обозна |
||
чим BCl. Когда сг будет возрастать, |
Вс, будет уменьшаться. |
|||
Определим число X как точную верхнюю |
границу значе |
|||
ний Су, |
при которых отрезок [— 1, |
1] и |
линия интегри |
|
рования |
|х — (1 — е)1 = е |
лежат внутри |
Вс,- При СуСХ |
|
линия уровня l Cl будет |
содержать |
внутри себя [—1, 1] |
||
и линию интегрирования. Открытую область плоскости х,
в которой и{х)<.Х, назовем я, |
а дополнение к ней р. |
|||||
Т е о р е м а |
3. Если |
функция Ф(х) регулярна в неко |
||||
торой области D, содержащей внутри себя (5, то интер |
||||||
поляционный |
процесс |
(4.3.4), |
построенный |
по узлам |
||
с предельной |
функцией распределения р(х), |
при n -v o o |
||||
будет сходиться равномерно |
на линии |
интегрирования |
||||
| х — (1 — е) | = |
е, более того, |
он будет сходиться равномерно |
||||
во всей области (3. |
|
|
|
|
|
|
Доказательство этой теоремы совершенно аналогично |
||||||
доказательству теоремы |
о |
сходимости интерполирования |
||||
на отрезке [а, |
£>] с узлами, |
расположенными |
на этом же |
|||
отрезке (см. [6], стр. 240—242). |
|
|
||||
Рассмотрим частный случай, когда предельная функция |
||||||
распределения |
узлов является |
функцией |
Чебышера. Так |
|||
§ 4.5] |
ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ |
81 |
будет, например, в том случае, когда узлами являются корни многочленов Чебышева, Лежандра, Якоби. Лога рифмический потенциал будет иметь в этом случае вид
(см. [6], стр. 246)
« ( * ) = - |
^ 1п- |
|
|
dt |
• In ■ |
|
|
||
x—t | |
V l —P |
X+ Vx |
|
||||||
|
Я |
j l j |
|
|
|
||||
Линии |
уровня и (x) = Cj |
при сг < |
In 2 |
будут |
эллипсами |
||||
с фокусами |
(—1, |
|
1) |
и |
полуосями |
а = —^ |
Ч — ^ ^ , |
||
b = -2 |
|
где |
Cl = ln - , р > 1. |
|
|
||||
При |
р = |
8 ■линия |
уровня |
и (х) = сг —In — будет |
|||||
|
у 28 — в2 |
|
отрезок [—1, |
|
р |
||||
содержать внутри |
себя |
1] и окружность |
|||||||
\х —(1 — е) | = |
е, причем |
последняя |
касается линии уровня |
||||||
в двух симметричных относительно действительной оси точках. Следовательно, множество Р будет состоять из
эллипса с фокусами (— 1, |
1) и полуосями |
||
а = |
Ъ= |
8 |
|
2=1 |
|||
|
|
||
и части плоскости, лежащей внутри его. Это дает воз можность высказать следующую теорему.
Т е о р е м а 4. Если функция Ф (х) регулярна в замкну той области р, состоящей из эллипса с фокусами в точ
ках |
—1, |
1 и полуосями а —"|/~ |
, b = j / ~ |
и обла |
сти, |
лежащей внутри его, то интерполяционный |
процесс |
||
(4.3.4), |
построенный по узлам, |
имеющим в качестве пре |
||
дельной функции распределения |
узлов функцию Чебышева, |
|||
при п -v оо будет сходиться равномерно в указанном выше
эллипсе и, в частности, |
на окружности \х —(1 — е) J= е. |
Эта теорема является |
частным случаем теоремы 3. |
З а м е ч а н и е . Если |
число е взять достаточно малым, |
что мы можем сделать, выбрав достаточно большим с, то указанный в теореме эллипс только в окрестности точек — 1
и 1 |
будет выходить за пределы окружности | х j = |
1. |
А так |
||
как |
функция Ф(х) является |
регулярной |
в круге |
| х | < 1 , |
|
то для выполнения условий |
теоремы 4 |
достаточно |
требо |
||
вать регулярности Ф (х) в окрестности точек х |
= — 1, х = 1, |
например в окрестностях \х — 1|<^2е, |х-Ь 1 |
|==с.2е. |
82 МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛИНА [ГЛ. 4
Снова перейдем от переменной х к переменной р и от функции Ф (х) к функции ф (р). Будет иметь место следующая
Т е о р е м а 4а. |
Если функция ср (р) регулярна в полу |
|
плоскости Re р >• 0, |
в окрестности |
\ р | sg 1/R точки р = О |
и в окрестности \ р \ ^ R бесконечно удаленной точки, то |
||
интерполяционный процесс (4.3.5), |
построенный по узлам |
|
pk= j1—%k где точки xk на отрезке [— 1, 1] имеют в каче-
стве предельной функции распределения узлов функцию Чебышева, будет сходиться равномерно при п-^-оо на линии Rер = с, где Rx u RL есть некоторое число, не меньшее R.
З а м е ч а н и е . В условиях теоремы равномерная сходи мость интерполирования будет иметь место не только на линии интегрирования Rер —с, но также в некоторой области D, в которую переходит область Р теоремы 4 при
14- х
преобразовании р = у-~— в частности, равномерная схо
димость будет иметь место в полуплоскости Re р ^ с , в окре
стности |
действительной полуоси |
0 < р < |
оо и |
в окрест |
ностях |
точек р = 0 и р — оо, т. |
е. |р | с |
l/Rx и |
\ p \ ^ R x |
при некотором Rx.
4.5.3. Сходимость интерполяционного процесса вида
(4.1.4). Прежде всего выполним преобразование |
р=\/х. |
||||
Оно переведет полуплоскость Re р ^ |
а в круг |
радиуса |
|||
1/(2а) с центром в точке 1/(2а). Полупрямая |
а < : р < оо |
||||
перейдет |
в диаметр |
dx этого круга, лежащий |
на' действи |
||
тельной |
оси, линия |
интегрирования |
Rep = c, |
где с > а, |
|
на которой мы интерполируем функцию, перейдет в окруж ность, лежащую внутри указанного выше круга и касаю щуюся его окружности в точке х = 0. Если с выбрать достаточно большим, то радиус этой окружности можно сделать сколь угодно малым. Функция ср (р), регулярная в полуплоскости R e p > a , преобразуется в функцию Ф(х),
регулярную в круге X
2а
Интерполирование функции ф (р) (см. (4.1.4)) по узлам, лежащим на действительной оси R e p > a , станет алгебраи
ческим интерполированием функции Ф (х) по узлам, лежа
1
2а 2а
■ 4.5] |
т е о р е м ы |
о с х о д и м о с т и Ин т е р п о л и р о в а н и я |
83 |
|||
В |
этом случае могут быть сформулированы следующие |
|||||
теоремы. |
5. |
Если функция |
Ф(х) |
регулярна |
в круге |
|
Т е о р е м а |
||||||
х — |
1 |
и в окрестности \ |
х | ^ 2е |
1 |
точки |
|
|
2е < 2^-) |
|||||
х = 0, то интерполяционный процесс (4.5.3), построенный
по любым узлам, лежащим на отрезке |
0, |
будет рав |
|
номерно сходиться к Ф (х) на линии \ |
х — е | = |
г, которую |
|
можно принять за линию интегрирования. Отрезок j^O, |
j |
||
будет наибольшим, принадлежащим диаметру dlt обеспе чивающим равномерную сходимость интерполирования по любым узлам, лежащим на нем, для функций, регулярных в указанной области.
Эта |
теорема доказывается на основании теоремы |
|||
В. И. |
Смирнова |
и Н. А. Лебедева, которую мы привели |
||
при доказательстве теоремы 2. |
Здесь множество G —сумма |
|||
кругов |
х — ~ |
< |
2^- и | х | ^ |
2е, множество В —окруж |
ность |
| х — е | = в. |
Чтобы построить F, необходимо найти |
||
множество центров кругов, содержащих В и принадле жащих G и, кроме того, таких, центры которых лежат на отрезке [0, 1/а]. Очевидно, что этим множеством будет отрезок [0, 1/(2а)]. Теорема доказана.
З а м е ч а н и е . В условиях теоремы 5 равномерная схо димость интерполирования имеет место не только на кон
туре j х — е | = |
е, но также внутри его. |
||
Если перейти |
к старой переменной р и функции ср (р), |
||
то теорему 5 можно сформулировать так: |
|||
Т е о р е м а |
5а. |
Если |
функция <р (р) регулярна в полу |
плоскости Re р > |
а и |
в окрестности \ р | ^ R бесконечно |
|
удаленной точки, то интерполяционный процесс (4.1.4),
построенный по любым узлам pk {k = 0, |
1....... п), лежащим |
на действительной оси так, что pk^ |
2а, будет равно |
мерно сходиться к ср(р) в полуплоскости R e p ^ c , если с выбрать таким, что c ^ R .
Полуось [2а, оо] будет наибольшей областью на дей ствительной оси, обеспечивающей равномерную сходимость интерполирования по любым узлам, лежащим на ней, для функций ф (р), регулярных в указанной выше области.
С л е д с т в и е . Если функция ф (р) регулярна в полу плоскости Re р 1/2 и окрестности бесконечно удаленной
84 |
|
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛИНА |
[ГЛ. 4 |
|||
точки \p\~5zR, то по теореме 5а интерполяционный про |
||||||
цесс будет сходиться равномерно в полуплоскости |
Re р ^ |
|||||
ISzc^ s R |
по любым узлам, лежащим на действительной |
|||||
полуоси |
[1, о о ], в частности, |
он будет сходиться равно |
||||
мерно |
и |
для равноотстоящих |
узлов pk= k-\-\ |
(&= 0, 1, |
||
2, .... |
п\ п= 1, 2, ...), |
рассмотренных б § 4.2. |
квадратур |
|||
При |
доказательстве |
теоремы о сходимости |
||||
ного процесса для равноотстоящих узлов нам, как и выше, потребуется равномерная сходимость интерполирования не
только в полуплоскости Re р |
с, |
но также и в некоторой |
||
окрестности \ p \ ^ R i бесконечно |
удаленной |
точки. |
Для |
|
достижения этого предположим, |
как в § 4.2, |
что функция |
||
Ф (р) регулярна в полуплоскости |
Re р > 0. |
Кроме |
того, |
|
допустим, что она регулярна |
в |
области \ p \ ^ R . |
Тогда |
|
равномерная сходимость интерполирования как для равно
отстоящих узлов, так |
и для любых других узлов, лежащих |
|
на полуоси [1, оо ], |
будет иметь место не только в полу |
|
плоскости R e p ^ c , |
но также в более широкой области. |
|
Чтобы показать |
это, |
перейдем к переменной л: = 1/р; тогда |
функция Ф (х) |
будет |
регулярна в полуплоскости R e x > 0 |
и в области | х | sg 1/R. Узлы интерполирования хк= — =
1Pk
=(k = 0, 1.......... п) будут лежать на отрезке [0, 1].
Справедлива |
Если |
функция Ф(х) |
регулярна в полу |
Т е о р е м а 6. |
|||
плоскости Re х > |
0 и |
в окрестности |
х : ==с 1/R нулевой |
точки, то интерполяционный процесс (4.5.3), построен ный по узлам xk= —Lp (k = 0, 1, ... , п) или по любым
другим узлам, лежащим на отрезке [0, 1], будет схо диться равномерно в области В, являющейся пересечением-
двух кругов |
| х | < |
1/Д и | х — 1 1< V 1 + 1IR2. Область В |
|||
будет наибольшей областью, для которой |
имеет место |
||||
равномерная |
сходимость |
интерполирования |
при |
любой |
|
системе узлов из |
[0, 1]. |
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Эта теорема сразу же |
следует |
|||
из теоремы В. И. Смирнова и Н. А. Лебедева (см. сноску на стр. 77). В ней установлено, что если F и G —два замкнутых множества точек плоскости г и F czG, а К\ — наибольший замкнутый круг, содержащийся в Gи имеющий центр в точке \ е F, то множество В = fl К% является
§ 4.6] СХОДИМОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ МЕТОДОВ 85
наибольшим множеством, для которого выполняется усло
вие {F, В, G} (см. стр. 77). |
G —правая полуплоскость |
|||
В |
нашем случае |
множество |
||
и область |х|<;1/7?, |
множество F — отрезок [0, 1]. Чтобы |
|||
найти |
множество В, |
построим два наибольших замкнутых |
||
круга, |
содержащихся |
в G и с центрами в точках х = |
0 и |
|
х — 1. Этими кругами будут] х\ |
1/7? и ] х — 1 | < ;]/' 1 + |
1/7?2. |
||
Искомым множеством В будет |
пересечение этих кругов. |
|||
Теорема доказана.
Таким образом, равномерная сходимость интерполиро вания будет иметь место не только на контуре интегриро
|
|
х |
2с |
1 |
|
|
|
вания |
2с и внутри его, если с^=7?, |
но также |
|||||
в более широкой области, в частности в круге ] х\ |
^ l/7?i <С |
||||||
< |
1/7?, |
где |
|
|
V rz+ 1-R |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Ri |
|
|
R |
|
|
Если |
же перейти к |
переменной р, то можно сказать, |
||||
что |
равномерная сходимость имеет место не только в полу |
||||||
плоскости |
Re р Ss с, но |
и в области ; р | ;>= 7?ь где |
|||||
|
|
|
|
Ri = |
R |
> 7?. |
|
|
|
|
|
/ Р Ч Ч - Р |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
§ 4.6. Теоремы о сходимости интерполяционных методов обращения
Результаты о сходимости интерполирования, получен ные выше, позволяют высказать некоторые теоремы о схо димости квадратурных процессов (4.3.7) и (4.1.6) при
п —>оо.
На основании |
теоремы 4а можно доказать следующую |
|
теорему. |
|
Пусть функция <р (р) регулярна в полу |
Т е о р е м а 7. |
||
плоскости |
Re р > |
О, а также в окрестности бесконечно |
удаленной |
точки | р | 7? и в окрестности нулевой точки |
|
| р | < 1/ 7? .
Тогда интерполяционный квадратурный процесс (4.3.7),
построенный |
по |
узлам ри = тJ—“ > г<зе Узлы хи имеют на |
|
отрезке |
[— 1, |
1] |
распределение Чебышева, будет сходить |
ся при |
п —>со к |
j (t) при всех значениях t, при этом |
|
8 6 МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА МЁЛЛИНА [ГЛ. 4
равномерно относительно |
t на любом конечном |
отрезке |
O s ^ t^ T < 00, т. е. |
|
|
с -| - i оо |
|
|
$ |
еР*{р-а)~8гп (р)(1р- * 0 |
(4.6.1) |
С — t ОО |
|
|
при п —►оо равномерно относительно t для O ^ t ^ T <С со для всяких Т.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим сначала случай s > 1. Представление (4.6.1) остаточного члена Rn(ф, t) имеет особенность, облегчающую исследование сходимости: интег рал, стоящий справа, в значительной мере не зависит от
выбора с ввиду |
регулярности интегрируемой функции |
в полуплоскости |
R e p > 0 и ограниченности гп(р) в окре |
стности бесконечно удаленной точки. В частности, число с
может быть взято сколь угодно большим. |
Выберем c ^ R |
и оставим за собой право увеличить 'с, |
если это потре |
буется. На основании теоремы 4а можно сказать, что остаток интерполирования гп (р) будет сходиться равно
мерно к нулю на линии интегрирования при |
я — оо и для |
|||
любого е > 0 |
найдется такой номер N, независящий отр, |
|||
что для n ^ N |
будет | |
гп (р) | ^ е. |
|
|
Преобразуем интеграл, выражающий остаточный член |
||||
Rn(ф, t), положив p = c-\-ia: |
|
|||
|
|
СО |
|
|
Rn (ф, 0 = |
§ |
еш ( с - а + io)~s гп(с + |
ia) do. |
|
|
|
— СО |
|
|
Теперь оценим его: |
|
|
||
I Rn (ф. 01 = 2п |
^ еш {с —а~\~ to) s rn (с-f ia) do |
|||
|
|
— СО |
|
|
еЫ |
\еш (c-a-{-io)~s rn(c-\-io) d o \^ |
|||
2л ^ |
||||
|
— CO |
|
|
|
|
|
cT °° |
|
|
|
8 |
2jt |
[(с—а)2+ а2]5/2 |
(4.6.2) |
Последний несобственный интеграл будет сходящимся, так как s > l . Таким образом, из (4.6.2) вытекает, что Rn((р, t) будет стремиться к нулю при я — оо.
§ 4.6] СХОДИМОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ МЕТОДОВ 87
Остается |
|
рассмотреть |
случай |
0 < |
s ^ 1. |
Остаточный |
||||||
член Rn(ср, /) |
преобразуем следующим образом: |
|
||||||||||
|
|
|
|
C- \ - i СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
#я(ф. 0 = |
55 |
|
jj |
ept (Р —a)~s гп (р) dp = |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
с — / со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c - f i со |
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
i |
|
|
|
|
['»(°o) + |
/’„ ( p ) - r II(oo)]dp = |
|||||
|
|
С — I |
со |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
с - { - / с о |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
= |
jj |
еР( (р - |
a)~sdp + |
|
|
|
||
|
|
|
|
£ - } - £ с О |
с — / с о |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
+ |
2^7 |
$ |
е ^ ( р - а Г 5 [г „(р )-/-„(о о )]ф . |
(4.6.3) |
|||||||
|
|
|
|
С—I00 |
|
|
ga^s-l |
|
|
|
||
Интеграл |
в |
первом слагаемом равен |
■, |
а |
погреш |
|||||||
г ^ |
||||||||||||
ность |
интерполирования |
гп (оо) |
стремится |
к |
нулю при |
|||||||
гс — оо, следовательно, первое слагаемое стремится к нулю при гс — оо.
Второе слагаемое перепишем следующим образом:
с |
i с о |
|
JL |
jj |
ep4 p - 4 ~ * P ~ 4 P [M p )-M ° o )]} rfp - (4.6.4) |
с — t o o |
|
|
Покажем, |
что функция р [г„ (р) — гп(оо)] будет равномерно |
|
сходиться |
к |
нулю при гс —* со на линии интегрирования |
Rep = c. |
|
|
По условию теоремы функция ф (р) регулярна в окрест ности бесконечно удаленной точки \р \ ^ R, следовательно,
ипогрешность интерполирования гп (р) и функция гп (р) —
—гп(оо) будут регулярны в этой окрестности. Кроме того, функция гп (р) — гп(оо) в этой окрестности будет стремиться к нулю, как 1/р, а значит, и р[гп(р) — /"„(оо)]
будет регулярной функцией в области | р 1 |
R. Из замечания |
||||||||||
к теореме 4а известно, что гп (р) |
сходится |
равномерно к |
|||||||||
нулю |
при |
гс — оо |
в области | р | Эг R-l при |
некотором |
|||||||
/? ! > # . |
Рассмотрим |
значение |
функции р [гп(р) — гп (оо)] |
||||||||
на |
границе |
этой |
области |
при |
гс — оо. |
Погрешность |
|||||
гп(р) |
равномерно |
относительно |
р |
стремится |
к |
нулю, |
|||||
и, кроме того, гп(оо) — 0, а |
модуль |
р |
остается |
равным |
|||||||
Rx. |
Следовательно, |
вся функция |
равномерно |
сходится |
|||||||
88 |
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛИНА |
[ГЛ. 4 |
|
к нулю на границе области |
\ p ) ^ R 1. А так как эта функ |
||
ция |
является регулярной |
в замкнутой области |
| р | 3s Ri, |
то из принципа максимума модуля сразу же следует равномерная сходимость и внутри области.
|
Если |
с выбрано так, |
что |
C ^ R X, |
то доказано, |
что |
|||||||||
функция |
р[гп(р) — гп(оо)] |
равномерно |
сходится |
к нулю |
|||||||||||
на |
Re р = с. |
|
|
|
|
что функция р [гп (р) — гп(оо)] |
|||||||||
|
Таким образом, доказано, |
||||||||||||||
равномерно сходится к нулю при п — оо на линии |
интег |
||||||||||||||
рирования |
Re р = с, |
т. |
е. |
для |
любого е > |
0 |
найдется |
||||||||
такое N, |
не зависящее от р, что |
при |
n ^ N |
верно |
нера |
||||||||||
венство | р [гп (р) — гп(оо)] |
| ==£ в. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Оценим интеграл |
(4.6.4): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
с+г'со |
еР*(р - a)-sp-'p [гп (р) - |
гп(оо)] |
dp |
|
|
|
|
|||||||
2^ |
jj |
|
|
|
|
||||||||||
|
с — /со |
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
~~-е 2я J |
|
[(с—а)2+ а 2]4/2 (са + а2)1/2 |
- |
|
|
|||||||
Последний |
несобственный |
интеграл сходится |
при |
s > |
О, |
||||||||||
значит, |
и |
второе |
слагаемое |
в |
(4.6.3) |
будет |
стремиться |
||||||||
к нулю при п — со для |
любого s > 0. |
Теорема доказана. |
|||||||||||||
|
З а м е ч а н и е . |
В |
теореме |
7 |
сходимость |
квадратуры |
|||||||||
доказана |
|
для узлов |
рк, |
|
у которых хк= |
имеют пре- |
|||||||||
дельную функцию распределения узлов р, (х), совпадающую с функцией Чебышева. Аналогичная теорема может быть доказана и для узлов р*, имеющих предельную функцию распределения узлов xk общего вида. Отличие будет со стоять лишь в том, что область регулярности функции ср (р) должна быть другой, а именно, ср (р) должна быть регу лярной в области D, в которую переходит область р при
преобразовании |
|
x = |
|
|
|
|
|
Для квадратурного |
процесса |
(4.1.6) |
на основании |
||||
теоремы 6 может быть доказана |
|
регулярна в полу |
|||||
Т е о р е м а |
8. |
Если функция |
ср(р) |
||||
плоскости |
Re р > |
0, а также в окрестности бесконечно |
|||||
удаленной |
точки |
\p\^s R, то интерполяционный квадра |
|||||
турный |
процесс |
(4.1.6), |
построенный |
по |
узлам pk = |
||
= k+ I (k = 0, |
1, |
..., п), |
будет сходиться, |
если с выбрать |
|||
§ 4.6] СХОДИМОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ МЕТОДОВ 89
таким, что c ^ R , |
т. е. |
|
|
|
||
|
|
|
c-\-ico |
|
|
|
# » ( ф. 0 = |
2 ^ |
J |
ePtP~Srn (P )dP - * ° |
|||
при п —*оо. |
|
С — |
t 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство |
теоремы |
совершенно |
аналогично дока |
|||
зательству |
теоремы |
7. |
|
|
|
|
Следует |
заметить, |
что |
в |
условиях |
теоремы 8 квадра |
|
турный процесс (4.1.6) будет сходиться не только для равноотстоящих узлов, но и для любых других узлов, расположенных на действительной полуоси [1, сю).