Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2318 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

170	ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ		[ГЛ. 9
узлы	интерполирования	хк перейдут в узлы zk = {\-\-xky 1
(1 ^ г о> г 1> . . . > 2„ >		0), и на оси г получим	задачу

интерполирования ф (г) многочленом (9.3.8). Погрешность интерполирования в этой новой задаче совпадает с погреш ностью гп(х)\

Рп(2) = Ф (z) — Рп (2) = F(x)— Рп {х) = Гп (х).

Но выражение для остатка рл (г) хорошо известно.

Воспользуемся			формулой			Тейлора	для ф (г), считая, что
ф(г)	имеет	на	[0, 1] непрерывную				производную порядка
п + 1 :
Ф (г) =	ф(1) +	(2 -		1)ф' (1) +		.. .+ ^ (г -1 )» Ф < я) (1) +
					2
			+	"j	^ я}э(/г+1) (т) (z — х)п dx =
					1	1
						1
	~ П„ (г) + ("				^ Д+1	ф(я+1) (т) (т - z)n dx =
					z	1
						1
	= Пл(г) +					1 ^ ф(га+1) (т) (т — z)n Е (т — г) dx.
	/					«
Многочлен			Пл интерполируется				точно, и рл (г) совпа

дает с погрешностью интерполирования интегрального

члена.	Так	как				П
						П
			рл (г =		ф (2) —	J ] Л(г)ф(г),
					&—О		п
	Ak {z) =						п
	Ak {z) =					Q (z)=П (г -
то							; = 0
то			1		,
			1		,	z f Е { т - г ) ~
Рл (2) =	Ц	р	J ф("+1) (г) (т -			z f Е { т - г ) ~
			0		*
		-	п	K { z ) ( x - z k)nE { x - z k)JrfT.
		-	£	K { z ) ( x - z k)nE { x - z k)JrfT.				(9.3.9)
			fc = o
Для получения гп (х)					возвратимся к		прежней	числовой
оси х.	Положим			т =	Р у ,	t = ^r— 1.	Ввиду	того, что

§ 9.3] ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

171

dx = — ^ _\|_^2	между операторами дифференцирования
по т и по t верно равенство
	a h - O	+ O ’ a .	(9.3.Ю)
Применив	его п + 1 раз	к функции ф ( т )= /:'(/), полу

чим следующее правило вычисления производной по пере менной т:

¥ ш) W = ( - 1 Г 1 (1 + t f А (1+ t f | ... (i + t f ± F (t).

Легко можно видеть, что после выполнения дифферен цирования получится равенство приводимого ниже вида, в котором мы не станем сейчас вычислять коэффициенты

Hi, ..., ап;

XjjU+l) _	(— 1)л+1 (1	^n+X	1 _\|_ /)я+1 /Нга+1) (f)
+	Ях (1 + t f FM (t) +		а2 (1 + t f - 1	(/) + ...
	... + ап_i (1 +	t f F" (t) + an(1 + 0 F' (0] =
	= ( - l)«+i(l +ty-11Ln+i(F).				(9.3.11)

Рассмотрим дифференциальное уравнение ф(л+1)(т) = 0. Общее его решение есть многочлен от т степени п с про извольными коэффициентами, в качестве же полной системы

независимых решений

можно взять

1, т, т2.........хп.

Этому уравнению эквивалентно

уравнение

Ln+1(F) = (l + ()n+1 F<л+1) (t) + ах (1 + t f Я»> (t) +

+ п2 (1 + t f - 1F

(t) + .. ,+

аЛ 1 + t)F'

(t) = 0.

(9.3.12)

Оно

является

уравнением

Эйлера *)

особыми точ

ками t = — 1 и t = оо. Полная система « +

1 линейно неза

висимых

решений его, в которые при преобразовании

г = (1 +

переходят

степени

т' (/ = 0, 1,..., п),

есть 1,

(1 -ff)-1,

(1+ 0 "2. •••>

(1-W)- ".

Это

дает

возможность

указать

простой путь для

вычисления

о,-( /= 1, 2 , . . . , л).

Если

записать

уравнение

(9.3.12) и затем присоединить

к нему результаты

подстановок

в него

решений

(1 + 0 ~ \

*) Уравнение Эйлера порядка п с особыми точками х = 0 и * = 0 0

есть

A0xny<n>+ A1xn - 1y tn~1)Jr--- + Any ^ O .

Уравнение (9.3.12) отличается от него

заменой

переменной

* = 1 -|-/.

172	ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ					[ГЛ. 9
(1+ 0 -2. • • •. (1		получится, после некоторых				упро
щений, следующая система п -\-1 равенств:
+		+	+t)nF ^ +
	+ а2 (1 + /у -у * » -1) + . . . + ал (1 + ОF' = О,
(я +	1)1 — ахп\ + а2(п — 1)! —...			+	(— 1)па1П = 0,
(л +	2)! —ах(/г + 1)! + а2п\ —...			+	(— 1)па12! = 0 ,
(2л)! - ах(2л -		1)! + а2(2л -	2)! - . . .	+	(— 1 )пахп\ =	0.

Ее можно рассматривать как однородную линейную систему уравнений относительно величин 1, аъ а2, ..., а„, обра зующих ненулевое решение системы. Определитель системы должен обращаться в нуль, что дает иную запись урав нения (9.3.12):

(1 _ \|_ ^ л + 1 д т + и		+	""а 1	*5
( « + В '	- л 1	( « — 1)1
(« 4 -2 )1	- ( « + ! ) !		п\

а 1

•	< 1 + Q	f '
..	(— I)»	11
..	(— 1)л 2!

(2я)1 — (2/г — 1)! ( 2 л - 2 ) 1 .. (— 1)« п!

(9.3.13)

Если разложить определитель по элементам первой строки, должно получиться уравнение, отличающееся от (9.3.12) постоянным множителем. Поэтому коэффициенты alt а2, ...

должны быть равны соответственно отношению алгебраи ческих дополнений элементов первой строки детерминанта (9.3.13), начиная со второго, к алгебраическому дополне нию первого элемента строки. Это необходимо сделать, так как в (9.3.12) коэффициент при производной высшего порядка приведен к ( l- f /) 'J+1.

Возвратимся теперь к преобразованию интеграла (9.3.9)

к старым переменным х, t и положим т = у - ^ , 2 = у-р^.

При этом ф(л+1)(т)	перейдет	в (— l)ra+1 (1 + t)n+1Ln+1(F).
По поводу ядра	интеграла	(9.3.9), стоящего в фигур

ных скобках, полезно сделать предварительное замечание, поясняющее его значение. Мы присоединим к ядру мно житель (/г!)-1.

В функции (т — z)n Е (т — г) будем рассматривать г

как независимую переменную и т —как параметр. При

§ 9.31	ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ					173
г < т ,	когда Е (т — z) =		1, эта	функция есть решение урав-
нения	^	= 0, удовлетворяющее			в точке г = т условиям
У(т) =	у' (т) = ■• • =		(т) = 0	и	г/(л)(т )= 1 . При	г > т ,
когда	Е (т — z) = 0, это решение				продолжено тождествен
ным нулем.		Само же	ядро есть		погрешность интерполи

рования такой функции алгебраическим многочленом сте

пени п по значениям в узлах zk		(ft = 0,	1,...,	п).
В переменных *, t	отдельные	части	ядра	будут иметь
следующие выражения:
<->" = \ ] + ,	1 -j-x	( x - t y
<->" = \ ] + ,	1 -j-x	(1+0* (1+*)" ’
	x — t	= E ( x - t ) ,
		= E ( x - t ) ,

( г - г 0) ... ( z - z fe_t) ( z - z ft+ 1) ...	( г - г д)
Л А (2) = (zA- z 0) ... (zk—zk_{) (г* — zk+ 1) ...	(гк — гл)

Иv1+ х 1+	1
	II \1+ хк 1+ х/
/ фк	(1 +хкУ

. ( х )

(1 +*)" (*-**) “ ;+i(**)’

	J«+1=		Д			at
						dr
			/ = о			О+ О2'

Подстановка их в интеграл (9.3.9) дает для погреш
ности интерполирования гп(х)						приводимое ниже	значение
Гп (*)“					(.x - t ) nE ( x - t ) -
	^ L*+l(/?)nl(l + х }
		Мп+1 (*)			(хк) (хк -	dt
	(х — хк) Юп + 1					t f Е (хк - 1) 1 -\~t	(9.3.14)
Величина, стоящая					внутри	фигурных скобок под зна
ком интеграла,		есть		не что иное, как погрешность алге
браического интерполирования						по переменной х	функции
(x — t)nE(x — i)		по		значениям		ее в узлах хк.	Когда t
меньше	х, х0, ...,		хп, то интерполирование точное и вели
чина в	фигурных		скобках в (9.3.14) обращается				в нуль.

Когда же t больше х, х0.........хя, все «гасящие» функции E(x — i), E(xk — t) равны нулю, и она также равна нулю. Величина в фигурных скобках может принимать значения,

сре:

174	ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ	[ГЛ. 9
отличные	от нуля, только на отрезке,	где располага

ются х, х0........х„. Поэтому интеграл по полуоси 0 «s; t < со, при условии непрерывности Ln+1(/), является, по сути дела, собственным.

9.3.2. Общее интерполяционное квадратурное правило. Для удобства записи объединим косинус- и синус-преобра зования Фурье в одном интеграле с показательной функ цией

00
Фе (и) = \ eiuxf (х) dx.	(9.3.15)
о

Если / есть действительная функция, косинус- и синуспреобразования / будут соответственно действительной и мнимой частью <ре(и).

Выше предполагалось, что f(x) = F (х) (1 + * ) 's ( s > 1) и F (х) есть непрерывная и достаточно гладкая функция на полуоси 0 s=S х г^оо.

Интерполируем функцию F при помощи многочлена Р„(х) степени п от (1+л:)-1 и запишем Рп(х) в форме

(9.3.7).

Заменив в интеграле (9.3.15) оригинал f его выраже нием

/(*) = (! + *)'*^(*) = 0 +x)-s [Pn{x) + rn(*)],

получим для ц>е (и) следующее представление, которое после отбрасывания остаточного члена Rn может служить вычислительным правилом для

фе(«) =	5 eiax (1 + x)~sF (х) dx —
	о
	ОО
=	J eiux (1 +	л:)-s [Pn (х) + rn {х)] dx =
	2 F ^	J ^	0+**)"_ х	■(9.3.16)
	2 F ^	2	со' (ж*)	■(9.3.16)
	к= 0	( = 0
	00
	X ^ ё их{\-\-x)~n+l~s dx			Rn(u),

Rn(u) =J e ***(\+ x ) - s ra {x)dx.

§ 9.3] ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

175

		м	{l + xh)n
Здесь	коэффициенты Аи -	ci			зависят только
		и	,,	,
от узлов			(	Ч )	от функции F.
	хк и не зависят ни		от s, ни

Их можно табулировать для наиболее употребительных систем узлов.

Интегралы	^ eil,x ( I х ) ~ п+1~ sdx	зависят	лишь	от
частоты и и от	о	убывания	f(x)	при
	s, т. е. от быстроты

неограниченном возрастании х. В п. 9.3.5 мы укажем правила вычисления этих интегралов.

Из представления для погрешности Rn(u) в (9.3.16) просто получается равномерная относительно и оценка

через погрешность интерполирования	гп (х):
I * » (« )!<	(9.3. И)
о

Из нее вытекает теорема о сходимости вычислительного процесса, соответствующего (9.3.16).

Пусть процесс определяется бесконечной треугольной таблицей узлов интерполирования

Х =		*■(«)	(9.3.18)
	Ци)		хп
	*0	1
Предположим, что интерполирование (9.3.7) функции У7
выполняется по узлам х[п)		(& =	0, 1....... п), принадлежа
щим строке номера	п таблицы		X. Допустим теперь, что
/г-> оо; тогда имеет	место следующая

Те о р е м а 1. Пусть выполняются условия:

1)интерполяционный процесс (9.3.7), определяемый таблицей узлов (9.3.18), сходится для функции F (х) при

почти всех значениях х на полуоси 0 «с х < оо; 2) погрешность гп (х) интерполирования при всех доста

точно больших п удовлетворяет условию

| (лг) I Af < ° ° (О йСхСоо ).

Тогда остаточный член Rn (и) соответствующего вычис лительного процесса (9.3.16) для преобразования срДи)

176 ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ [ГЛ. 9

стремится к нулю при п-+ со равномерно относительно и на оси — со < и < со.

Эта теорема есть непосредственное следствие известной теоремы о предельном переходе в интеграле Лебега *): если последовательность суммируемых на множестве Е функций gn(x) сходится почти везде на £ к суммируемой

на Е функции g(x)	и существует суммируемая на Е функ
ция 1г\х) такая, что при всяких п и		выполняется
неравенство \|gn (х) \|	h (х), то

$ gn(x)dx-+ \g(x)dx.

ЕЕ

Для нахождения оценок погрешности Rn(u) в зависи мости от свойств функции F (х) может быть полезно, по крайней мере в некоторых случаях, иное представление Rn(x), получающееся из (9.3.16) путем замены гп(х) его представлением вида (9.3.14):

CJU

СО

Rn(u)= ^ dx е‘“	.x)n+s ^
	п! (1 +x)‘

X ( x - t y E ( x - t ) -

Ln+i (F) X

У -	- т - “ -	- " +	1 , ( Xл с )	.
	х - х ь	® ' ,	х
* = о(X~ Xk) “ п + 1(**)

x{xk - t Y E { x k- t ) \ j ~ t . (9.3.19)

Сделаем еще замечание				о знаке	ядра двойного инте
грала			1
К* (х,	t) ■		1
К* (х,	t) ■	п\ (1 + лг)л« ( 1 + 0 \|(х — t)n E(x — t)~
			П (X)	(xk - i ) nE(xk - i ) \ =
	-	__ ( X -	х к ) “ n+l W	(xk - i ) nE(xk - i ) \ =
	-	__ ( X -	х к ) “ n+l W
		4 = 0
				п\	(1 + X )re+1	( 1 + 0	К ( х , t).
Знак	его	совпадает со знаком выражения				R (х,	t), стоя
щего	в фигурных		скобках.	Это выражение встречалось

*) См., например, И.	П. Н а т а н с о н ,	Теория функций вещест
венной переменной, изд.	2-е, гл. VI, §	3, М., Гостехиздат, 1957,
стр. 166— 167.


§ 9.3]	ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ							177
в равенстве (9.3.9).				Напомним,		что оно является		ядром
в интегральном			представлении			погрешности	следующей
задачи	алгебраического интерполирования.
Пусть		узлы	хк	(k = 0,	1, ... ,	п) и точка л: интерполи
рования		лежат на отрезке			[а, Ь]	и функция	g (*)	интер

полируется по ее значениям g (хк) многочленом рп (х) сте

пени п. Если g(x)

имеет на

[а,

непрерывную

произ

водную порядка

п + 1 ,

то

погрешность

интерполирования

Рп (х) = g(x) — рп(х)

представима

через

производную по

рядка п + 1 от

g в форме

рп (X) =

jJ- $

(/) К (X,

t) dt.

(9.3.20)

С другой стороны, для рп(х) известно

представление Ла-

гранжа

aw 1 М

Рп (х )

gin+1) (£),

(9.3.21)

(п+1)!

откуда следует,

что если

производная

g (n+1) (л-)

отлична

от нуля на [а,

Ь],

то

рп (х) не обращается в нуль ни в од

ной

точке х, кроме

узлов

(k — 0,

1........п). Поэтому

при каждом фиксированном значении х,

отличном

от узлов

xk, ядро К {х, t), как

функция от t,

не изменяет свой знак

при

a ^ t ^ b ,

так

как

если

бы ядро К (х,

t) изменяло

знак, то существовала

бы такая функция g (n+1) (т), сохра

няющая знак, для которой

интеграл

(9.3.20)

обращался

бы в нуль,

чего

не может быть

ввиду х ф х к (6 =

0, 1,...

. .. , п).

g(x)

Кроме

того,

если

считать

многочленом

степени

п + 1 , для

которого

g(ra+1 >(х) =

1, то

из

обоих

представле

ний

погрешности р„(х)

следует

М/1-f1 (X)

п\

(п + 1)1

Стало быть,

при

каждом

фиксированном

х знак ядра

К(х , t) совпадает со знаком и„+1 (х).

9.3.3.Случай равноотстоящих узлов. За узлы интер

полирования примем равноотстоящие точки хк = Шг (k = 0,

1, 2, ... ; Л >0 ) . В этом случае сол+1 (х) = х(х — К). . . (х — nh),

178 ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ [ГЛ, 9

коэффициенты с\к) определяются из равенства
^	&	= x ( x - h ) . . . [ x - ( k - \ ) h ] [ x - ( k +							\)h].. .(x — nh) =
						= \|> < * > (1 + х )'			(А = 0,	1........я).
В	равномерном случае						1= 0
В	равномерном случае
©# (xk)= kh{k-				\ ) h . . . h {— h) { - 2 h ) . . . ( - \ ) ( n - k ) h =
							= hn(— \)n~kk\ (n — k)\,
							c\k) (1 + Щ п			(9.3.22)
					Аы = (_\)n-khnki (n—k)V					(9.3.22)
	При составлении числовых таблиц для								Аы всегда можно
считать			h= 1,	так		как	всякое другое	значение		h приво
дится		к	единице		линейным преобразованием независимой
переменной*)				x = hx'.
	Правило вычислений (9.3.16) в случае равноотстоящих
узлов		принимает				вид
			00
фЛ«) =			elttX^ ^			f dx =
	п		О	п		со
	- 2		F{kh)	s	Аы\ eittx{\-\-x)-"-s+ldx + Rn(u).					(9.3.23)
	k=0		1=0			о
	Проблема сходимости вычислительного процесса, когда
Rn(u)->- 0 при «-*• оо,							иначе говоря,	проблема		возмож

ности сколь угодно точного вычисления фе (и) по правилу (9.3.23) здесь является весьма своеобразной и требует


пояснений. В предыдущем пункте отмечалось,					что в основе
вопроса сходимости		Рп(и) к нулю	лежит сходимость					ин
терполирования функции F (х) рациональной						функцией
Рп(х) (см. (9.3.4)) и для равномерного				стремления			Р„(и)
к нулю достаточно,		чтобы Рп{х)	почти	везде		на [0,		оо]
ограниченно сходилась к F (х).
Чтобы сделать изложение наглядным, вернемся							к	пе
ременной z, положив г —д_^_х . Замкнутая					полуось			О С
sg x sg o o	перейдет в замкнутый отрезок			l ^ s z ^ O .			Функ
ция F (х),	которую мы предполагали непрерывной						на	по
луоси O ^ x s g o o ,		преобразуется	в некоторую			функцию

*)	Таблицы значений Akl (ft,	1 = 0, 1, .... п) для я = 1 (1 )1 5
и h = 1	с 10 знаками можно найти	в книге [7].

§ 9.3] ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

179

ф(г) = . Р ^ — lj, непрерывную на единичном отрезке 0=g:

eg;2 ^	1, аРп(х) —в некоторый алгебраический многочлен
рп{г)	степени п, интерполирующий				1)5(2) по значениям
=	в узлах	zk = —_щ -	(к =	0,	1, ... , п ) .
При увеличении		п старые	узлы	сохраняются и к ним

добавляются еще новые. Если рассмотреть все множество

узлов интерполирования		zk {k — 0, 1,2,...),	то они	обра
зуют монотонную убывающую последовательность,				сходя
щуюся к нулю.		интерполирования	необходимо
Проблему	сходимости
рассматривать	только в таких множествах функций,			когда

каждая функция вполне определяется значениями, кото

рые	она	принимает на счетном множестве всех узлов.
Если	это	условие не выполняется и если существует не

сколько функций, которые принимают одинаковые значе ния во всех узлах интерполирования и, следовательно, обладают одинаковыми интерполирующими их многочле нами, то вопрос о сходимости интерполирования не имеет обычного смысла.

Когда рассматривают вопрос о сходимости интерполи рования для множества всех функций, непрерывных на отрезке [а, Ь\, или для множества функций, имеющих непрерывные производные до некоторого фиксированного порядка т, то принимают во внимание, что каждая такая функция определяется своими значениями на счетном множестве точек, всюду плотном на [а, Ь]. В соответствии с этим в исследованиях сходимости интерполирования таких функций всегда предполагается, что узлы интерпо

лирования	z\k)	(i = 0, 1,	k;		k = 0, 1, 2, ...)			лежат на
[а, Ь] также всюду плотно.
В рассматриваемой нами				задаче		таблица	узлов		интер
полирования имеет вид
		Z = [ z°		21	гг	.		(9.3.24)
			\ г0	г1
Строки	ее —отрезки		последовательности				узлов		г0, 2Ь
г2, . .. , [zft = (l -f khy1],			сходящейся к единственной						точке
сгущения	2 = 0.	Простейшим		и естественным				множеством
функций,	которые определяются					значениями		на	такой

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2318 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ