Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 234 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАЩЕНИЯ

ГГЛ. 2

В формулу (2.3.3) подставим выражение (2.3.1) для F(p), проинтегрируем почленно*) и получим

ОО

Введем новую переменную интегрирования, положив z = pt; так как t > 0, то вид контура интегрирования не изме нится и мы получим

ОО

/ ( 0 = 2	2= /а+/;р+г ^ z a+^ez dz.	(2.3.4)
k = 0	c*rt

Как известно из теории функций комплексного перемен ного, интегральное представление функции 1/Г (х) имеет вид

			1	h	\ eZ~XdZ'
		г (X)
					с*
где	С* —контур вида			С%,	причем в точках х — 0, — 1,
—2, ... эта функция			обращается в нуль.
	Поэтому формулу		(2.3.4)		можно записать в виде
/ ( 0 — 2 сга+Р+1 Г (— а - Щ <“ +1 2						Г (— а - Щ ’
	А =	0			k =	0
где нужно		вычеркнуть члены с целыми неотрицательными
а +	k$. Теорема доказана.

*) Для возможности почленного интегрирования ряда вдоль бес конечной прямой требуются дополнительные условия. Достаточно, например, потребовать сходимости интеграла вдоль разреза [— сю, — г]

со

от суммы ряда \ez \ 2 \ C k \\ p \k®	(см.,	например,	Г. В а т с о н ,
k = o	ИЛ,	1949, стр.	727).
Теория бесселевых функций, часть I,

Г Л А В А 3

МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА, ОСНОВАННЫЕ

НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ СПЕЦИАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ

§3.1. Обращение преобразования Лапласа

спомощью многочленов, ортогональных на конечном промежутке

Вэтой главе будет построено несколько методов, даю щих в большинстве случаев лишь принципиальную воз можность выполнить обращение преобразования Лапласа при помощи рядов. Коэффициенты таких рядов могут быть найдены из бесконечных систем уравнений с треуголь ными матрицами, решаемых последовательно, или иными равносильными способами.

Эти системы		неустойчивы относительно роста погреш
ностей.	Задачи	оценки	погрешностей и выяснения условий
сходимости реальных			вычислительных процессов еще
не исследованы.
3.1.1. Постановка задачи. Задачу обращения преобра
зования	Лапласа можно решать методами, основанными
на разложении		оригинала в ряды по ортогональным функ
циям, в	частности по		многочленам Чебышева, Лежандра
и Якоби. Эта задача,			которая в окончательном своем виде

сводится к проблеме моментов на конечном промежутке, была подвергнута изучению в работах многих авторов.

Рассмотрим постановку этой задачи в таком виде, как это сделано в работах В. М. Амербаева и в книге В. А. Диткина и А. П. Прудникова [4].

Пусть известно преобразование Лапласа F (р) функции

СО
F(p) = \e~Pф (t)f(t)dt,	( 3. 1. 1)

32 МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ [ГЛ. 3

где	/(£) —искомая функция, а Р (t) —неотрицательная,
абсолютно интегрируемая на [0, со) функция.			Предполо
жим,	что функция f(t) интегрируема	на любом конечном
отрезке [О, Г] и принадлежит классу		L2 (Р (t),	0, оо):
	ОО
	$ Р (0 1 /Ф )Р d t< co .		(3.1.2)
	О

Требуется по изображению F (р) функции р (t)f(t) построить

функцию f(t).						х = е
В интеграле (3.1.1) введем замену переменной						х = е
тогда он приведется к виду
		I
		F(p) = \ хра>(х) ср (лг) dx,				(3.1.3)
где		0
где
	Ф() = /(—1п)>		W = P(~Jn"'•
В силу	условий,	которые	наложены на функции f (t) и
Р(£), интеграл (3.1.3) сходится				всюду	в полуплоскости
Re р 3s 0, поэтому		переменной р		можно	придать	значения
О, 1, 2,	... и получить «взвешенные моменты» функции ф (х):
		1
	р* =	F (k) = J хкш(х) ф (х) dx.				(3.1.4)
		о

После этого решаемую задачу можно сформулировать так: найти функцию ф (х) по ее «взвешенным моментам»

или, что то же самое, найти			функцию		f{t) по значе
ниям	изображения	функции	Р (i) f	(t) в	целочисленных
точках	p = k (k = 0,	1, 2, ...). В частном случае эту задачу
можно упростить и по первым			п + 1	«взвешенным момен
там» искать многочлен
		П
		q« М = £	срх'1
		k=	о

такой, чтобы его «взвешенные моменты» совпадали с за данными моментами функции ф (х), т. е. чтобы выполня лись равенства

F (k) = \ xka (х) qn (х) dx = \x,k	(0 < & < я ) . (3.1.5)
о

§ 3.1]	ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ	33
Если такой многочлен существует, то изображения
функций $(t)qn{e~l) и $(t)f(t) совпадают в точках		p —k
(k = 0,	1.........п) и qn (е~() можно считать некоторым при

ближением к f(t).

З а м е ч а н и е . Если с*, е2, ..., еп —система векторов евклидова пространства, то определителем Грама для этой системы называется определитель

(«1 <0

(е1 е2)

.. •

(«1

еп)

(й2 ег) (е2 е2) . •

(й2 еп)

(ел ^l)

(еп йг)

•••

(еп еп)

где (ekej) — скалярное

произведение

векторов ek и в].

Для системы

функций

fi (x)

(i = 1, ь2........ л),

для

которой

ска-

лярное произведение

определяется

как

^ со (х) fk (х) fj (х) dx,

опреде-

лителем Грама называется

определитель

^ ш fj

^ СО к

■

$ Ю /2

со f'i

•

5®

S ® fn

i n k

. .

■■

где со и (г —функции

от х.

равен

нулю или больше нуля. Он

Определитель

Грама всегда

равен нулю

тогда

и только тогда,

когда векторы.еъ

е2, ... ,

еп или

функции fi,

f2,

..., fn линейно зависимы.

А теперь покажем, что условия (3.1.5) однозначно определяют многочлен qn(x). В самом деле, равенства (3.1.5) представляют собой систему п + 1 линейных алгебраиче ских уравнений с п + 1 неизвестными с0, ........^ — коэф фициентами многочлена qn(x)- Определитель этой системы является определителем Грама функций 1, х, х2, .... хп, и в силу того, что они линейно независимы, определитель отличен от нуля. А отсюда следует, что система (3.1.5) имеет решение и притом единственное. Значит, много член qn{x) существует и условия (3.1.5) определяют его единственным образом.

2 В . И , К р ы л о в , Н . С , С к о б л я

МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ

[ГЛ. 3

Отметим еще одно свойство многочлена цп (х). А именно, в классе многочленов степени не выше п многочлен qn(x), определяемый условиями (3.1.5), доставляет абсолютный минимум следующему функционалу:

J (Со, Ci,

В самом деле, запишем систему, полученную из условий минимальности функционала (3.1.6):

	(О(х) Ф (х) ■	хк dx —О,
или	1
1	1	(6 = 0, 1........п).
J со (х) хи<7„ (х) dx = \ со (х) хкср (х) dx		(6 = 0, 1........п).
о	о
Последняя система	совпадает с системой (3.1.5), следова

тельно, на многочлене q„(x) функционал (3.1.6) имеет стационарное значение. Покажем, что qn (х) доставляет

абсолютный минимум функционалу (3.1.6)			в классе мно
гочленов степени не выше п.		многочлен		степени не
Пусть	Рп(х) — произвольный
выше п,	причем Pn ( x )^ q n(x).	Представим		Рп(х)	в виде
тогда	Рп (х) = qn (х) + е„ (лг),

[ со (х) [ср (х) - Рп(х)]2 dx = $ со (х) [ср (х) - qn(х)]2 dx -
0	о	1
1			(х) dx.		(3.1.7)
— 2 5 со (х) [ср (х) - qn (х)] е„ (х) dx + $ со (х)
О		о
Второе слагаемое правой части (3.1.7) равно				нулю в силу
условия	(3.1.5). Так как Р„(х)	не совпадает тождественно

с qn(x) и ея (х) не является, следовательно, тождественным

нулем, последний	член в (3.1.7) будет положительным и
будет верно неравенство
1	1
5 со (х) [ср (х) -	Рп(х)]2 d x > \ со (х) [ср (х) - qn(х)]2 dx,
о	о

что и доказывает наше утверждение.

§ 3.1]

ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ

Обратим внимание на связь установленных результа тов с рядами по ортогональным многочленам. Обозначим рп{х) (« = 0 ,1 .2 ,...) систему многочленов, ортонормальных на [0, 1] по весу со (лг), и рассмотрим соответствую щий им обобщенный ряд Фурье для ср (х):

	со			I
Ф М ~	2	chpk (х),	ck = $ со (х) ф (х) pk (х) dx.
	k —0			о
Возьмем конечную сумму п членов ряда
			П
		S n (X ) =	£	CkPk ( х ) .
		£ =		1
Это есть многочлен степени			не выше п, и его можно рас
сматривать	как	некоторое приближение к функции ф.

Можно легко указать экстремальное свойство такого приближения. Возьмем произвольные многочлены Рп (х) степени п и среди таких многочленов найдем тот, кото рый наименее уклоняется от ф в смысле среднего квадра тичного. Мы уже знаем, что таким многочленом является qn (х); теперь покажем, что qn (х) совпадает с Sn (х). Мно

гочлен	Рп	можно	разложить		по	многочленам pk (k —
= 0,1, ....		п):
		Рп(х)= 2		Akpk{x).
			k=0
Вычислим среднее квадратичное отклонение Рп от ф:
К = \ w (х) [ф (л:) -			Рп (х)]2 dx =
			Ф (х) -	X	Akpk (х)		dx =
1		1	пI	k =о		1
= ( соф2 dx — 2 ^ соф			V AkPk (x)dx + \ а>				2 ] Akpk{x)	dx =
о		о k = o			о	и = о
		= ( соф2й?х-2 2		Akck+ 2]			А\-
		0	k= 0			k=0
			1			п
			= 5 соф2 d x -			2 cl + 2 (Am-		Ck)\
					k =0		A = 0


36	МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ				[ГЛ. 3
От выбора	многочлена		Рп{х) в полученном равенстве
зависит только последняя			сумма, слагаемые которой все
неотрицательные;		поэтому	достигнет	минимума	в том
и только в том		случае,	когда Ak = ck	(k = 0, 1, ..., п).

Последнее означает, что многочлен Рп, доставляющий наи меньшее значение 6Д, т. е. qn (х), должен совпадать с S„ (х):

	qn( x ) ^ S n(x).		(3.1.8)
Из (3.1.8), в частности, следует, что
		СО
lim qn (х) = lim Sn(x)= 2			ckpk (x)
п—►00	я —»• со	k =	0
и сходимость qn(х)	ср (х) (п -> со)	равносильна возмож

ности разложения функции ср {х) в ряд по ортогональным многочленам рп (х):

СО

ф до = 2 °ирк (х).

к-О

Условия возможности такого разложения во многих слу чаях известны, и, пользуясь ими, можно получить усло вия, при которых оригинал f(t) может быть найден как предел последовательности приближений Р (/) qn (е~‘) (п — = 1, 2, ...). Теперь рассмотрим некоторые частные слу чаи весовой функции со(х).

3.1.2.Обращение преобразования Лапласа с помощью

многочленов Якоби. Пусть	весовая	функция имеет вид
ю (х) = х“ (1 — х)р,	а > — 1,	Р > — 1.	(3.1.9)

Построим многочлен q„(x). Но прежде рассмотрим так называемые смещенные многочлены Якоби />*(«. Р>(*). Они

отличаются от многочленов Якоби Р&< Р>(х) тем, что интер

вал	их определения		сведен	к отрезку	[О, 1] вместо	обыч
ного	[— 1, 1], т. е.
		Р Т ’ ®(х) = Рп’ Р) (2 х - 1).
Такие		многочлены	зависят	от двух параметров, которые
мы обозначили а, Р, и при				любых значениях этих		пара
метров могут быть определены равенством
Р*п		Р) (X) =	X- “ (1 -	ХГ	(ха +" (1 - x f +n),

( 3. 1. 10)

§ 3.1)

ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ

которое часто называют формулой Родрига для Р'п (а' Р). Многочлены Р*(а>р) (х) образуют ортогональную систему на [0, 1] по весу х“ (1 — х)$, и для них верны равенства

$лг“ (1 -xfP * nla' ®(х)Р*т(а’ р) (х) й?л: = 0, п ф т ,	(3.1.11)
О
rn = \x a ( l - x f [ P V a' Р) (x)]*dx =
0
Г (я-\|-а-)-1)Г(А-}-(34-1)	/о i io\
«!(2п + а + р+ 1)Г(п + а + р+1)’

Ортонормированными многочленами, которые в и. 3.1.1 обозначены рк (х:), здесь будут

р Г “’ Р) (x) = j±= -Pt(a-V(x).

Коэффициенты ск разложения		ср (х) по многочленам рк (х)
имеют значения
1
с* = $ ю (х) ср (х) рк {х) с!х—
О	1
	1
=	-±= \| (О(х) ф (х) Pi		Р) (X) dx = y ^ .
Поэтому многочлен	qn (х), совпадающий с частичной сум
мой Sn (х) обобщенного ряда		Фурье, имеет	вид
	П
qn(.х) =	Sn (х) = ^	yk Pt (“' P> (*).		(3.1.13)
	k= o

Можно построить простое выражение ак через коэффициенты многочленов Р*к(“' Р) и величины F (г). Пусть

р%1а'®(х)= 2 « }*У

( 3. 1. 14)

1 = 0

38 МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ [ГЛЗ

Тогда

ak= ^ со (х) cp (х) Pt (“’ Р) {х) dx =

о	1
k

= ^ “ Iй § а>(х) х‘у {х) dx =

t = 0	о
= 2 ]	“ }*Vi = 2] aik)F(i).	(3.1.15)
£ = 0	i= 0

По этой формуле можно вычислять коэффициенты ак раз

ложения (3.1.13), так как числа a f ] известны,	а значения
F (I) заданы.
Таким образом, задача нахождения многочлена qn(x),
который приближает функцию ф(х), решена.	что сходи
В п. 3.1.1 мы обращали внимание на то,	что сходи

мость последовательности приближений qn (х) к ф (х) рав носильна возможности разложения ф (х) в ряд по смещен

ным многочленам		Якоби
	00
/ ( о = ф м =	2	P)w =
	k = 0	= lim	Sn(x)= 11m	qn(x).	(3.1.16)
		= lim	Sn(x)= 11m	qn(x).	(3.1.16)
		П - + С О	f t —► CO
Мы приведем		сейчас	теорему *),	дающую	условия,
достаточные	для	возможности такого		разложения. Сфор

мулируем ее для обычных многочленов Якоби P f р> (х), рассматриваемых на отрезке [ - 1 . 1], но она просто пере носится на разложение (3.1.16) по смещенным многочле нам Якоби.

Сначала приведем		теорему, дающую связь между ча
стичными суммами ряда			по	многочленам	Якоби и ряда
Фурье.	1. Пусть		на	отрезке [— 1,	1] дана изме
Т е о р е м а
римая функция	g{x),	и	пусть имеют конечные значения

*) См., например, Г.	Сег е , Ортогональные многочлены, гл. IX,
§9.1, теорема 9.1.2, М.,	Физматгиз, 1962.

§ 3.1] ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ 39

интегралы

	$ ( l - * ) a (l+ x )P [g (* )\|rf* < o o ,
	—I	(3.1.17)
	1	(3.1.17)
	1

5 (1 - xytz-'H {\ + х)№-'И \ g{x)\dx <оо.

—1

Если Sn(х) означает п-ю частичную сумму ряда по мно гочленам Якоби для функции g(x) и о п(cos 0) означает п-ю частичную сумму ряда Фурье по косинусам для функции

G(0) =	(1 - cos 6)“/2+ ‘/4 (1 +	cos 0)Р/2+ 4*g (cos 6), (3.1.18)
то в промежутке — 1 < х <		1 верно соотношение
lim	(Sn() - (1 _ ) - а /2-	1/4 (! + ^)-Р/2-1/4СТя (*)) = 0.
П - + ОО		(3.1.19)
		(3.1.19)

Оно выполняется равномерно относительно х на всяком

отрезке вида •— l - f s s ^ x ^ l		— е, где 0 < е <			1.
Из приведенной теоремы,		в частности, следует, что
если при каком-либо значении			0 (0 <	0 ■< л)	ряд Фурье
для	функции 0(6) сходится	к	у [G (0 +	0) + G (0 — 0)], то
при	соответствующем значении		x = cos0	частичная сумма
S„(at) будет стремиться к у [g (х + 0) +				g (х - 0)].
Что касается сходимости		ряда Фурье, то для многих
случаев является достаточной следующая *)
Т е о р е м а 2. Пусть G(0)		есть 2п-периодическая функ
ция,	интегрируемая с абсолютным значением на [ —л, я],
и I есть произвольный отрезок на оси х. Если G(6) имеет
ограниченное изменение на I,		то ряд Фурье для G(0) схо
дится к значению у [G (0 + 0) +			G(0 — 0)] во всякой точке 0
внутри I. Если G (в), кроме		того, непрерывна на I, то
ряд Фурье сходится к G(0)		равномерно относительно 0
на каждом отрезке, лежащем внутри I.

Функция G (0), определенная равенством (3.1.18), явля ется 2я-периодической и четной. Ряд Фурье для нее будет рядом по косинусам кратныхч дуг. К определению его

*) См.,	например,	А. З и г м у н д , Тригонометрические ряды,
т. I, гл. II,	М,, «Мир»,	1965.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 234 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ