книги из ГПНТБ / Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга

§ 9.2]

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ f ( x )

141

по

значениям / ('х?) = /<*> с помощью многочлена

Рк (х)

степени nk\

f (х) = Pk {х) +

Гk(х).

(9.2.4)

Рассмотрим

теперь

интеграл

вида (9.1.1),

взяв его не

по полуоси [0,

оо),

а по отрезку [ak, ak+1],

и заменим

а 4 + 1

а4 + 1

Pk (t) cos ut dt =

^

f (t) cos utdtrs*

^

a

k

n

k

a k

a k

+ i

— 2

f f

$

I f

(0 cos ut dt.

i =

0

a k

Суммируя

такие

равенства

по всем частичным отрез­

кам, построим

приближенное

выражение

для

косинус-

преобразования

Фурье:

Фе(«) =

00

о о

п к

a k

+

i

~ \ f ( t ) cos ut dt я»

2

2

f f

l

I f

(t) cos ut dt.

(9.2.5)

о

4 = 0 / = o

'

a k

Каждый

из

интегралов, стоящих под знаком двойной

ства

(9.2.5) будет

иметь следующее значение:

с о

а 4 + 1

#с(ы)= 2

\ гк (0 cos ut dt.

(9.2.6)

4 = 0

ah

Это

представление

Rc{u)

может быть, по

крайней мере

в некоторых случаях, использовано для

получения оценки

погрешности приближенного

представления (9.2.5) для

срс(«). Например, из (9.2.6)

очевидным

образом вытекает

|Яс ( и ) 1 < 2

S

\rk (t)\dt.

(9.2.7)

f t = 0

ak

В этой записи предполагаем,

что правая часть нера­

венства имеет конечное значение.

Величина правой

части

зависит от выбора точек ак,

чисел пк, узлов интерполи­

рования

и свойств функции /,

в частности от наличия у

рим представление в нескольких

простых частных случаях.

Предположим,

что полуось

[0, со) разделена точками

хк= kh (h > 0, k =

0, 1,2,...) на равные отрезки длины h.

ции /

в точках деления: f{xk) = f{kh) = fk-

I.

П р а в и л а в ы ч и с л е н и й ,

о с н о в а н н ы е на

л и н е й н о м и н т е р п о л и р о в а н и и .

Рассмотрим

сна­

чала

аналог

правила

трапеций.

Возьмем

отрезок

[kh, (k-\- \)h]

и

выполним

линейное

интерполирование

функции

f по двум ее значениям на

концах отрезка:

/ (X) = X~ ^ +h1)h-fk+

Ы 1

+

гк (X, /).

(9.2.8)

Погрешность интерполирования гк(х,

/), если f

имеет

непрерывную

вторую

производную,

представима,

как

известно,

в форме *)

гк (х,

/) = /га $ f"'(kh + hx) [(I - т) Е (£ -

т) - 1 (1 -

т)] dx,

о

(9,2.9)

x = xk+ hl = h(k + l),

*) Такое представление можно получить, если воспользоваться фор­

мулой Тейлора с остаточным членом в форме интеграла

f ( x ) = f k + ( x -

x

k) f ' k + $

/ "

(t)

( х - t ) d t =

fk +

( x - X k) / ^

+

Ф ( х ) .

xk

Так как

линейная

функция

/й+ (*—*xk)fk

интерполируется

точно,

144

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ

[ Г Л . 9

членов с

косинусами, то они дадут

внеинтегральные сла­

гаемые для косинус-преобразования.

rk(x, f)

Наконец, если в интеграл с

погрешностью

положив

x — kh-\-h\, получим

выражение для погрешно­

сти в форме двойного интеграла,

и

после суммирования

по отрезкам

[kh, (fe-f l)/z]

(& =

0,

1,

...) для

фс(м) будет

получено следующее точное представление *):

СО

фс (И) = \ f ( О cos ut dt = ■~ ^ ShUhf0 +

О

со

+ 2

2

fkcos ukh+

{u)’ (9-2Л0)

/?e(u) =

A * J d E S r f T [ ( g - T ) £ ( g - T ) - 6 ( l ~ T ) ] x

0

0

CO

x

2 ]

f"

(kh + hx) cos и (kh -f hi).

k=0

ции f. Получим простейшую из таких оценок.

Предва­

рительно отметим, что

ядро двойного интеграла,

стоящее

в квадратных скобках,

имеет значения

при

Т

< I ,

при

т > £ .

Оно отрицательно в области интегрирования 0 < | ,

т < 1.

а к средней

и последней частям

1

найдем

со

1

со

1

1

1

dt

■<2(а+

{a+ht)a

(а —1) haa ~

kh)a

< а1

(а — I) haa ~

k=o

I Rc

h* Г____ !____ +

А 1

(9.2.12)

[ (а —

аа

^

J

1 2 L ( a - l1)e“ -1

а“ .

Представление

(9.2.11) для

Rc может служить

источ­

оно принимает значения,

не большие 1/2 по абсолютной

величине.

Поэтому для Rc верно неравенство

1

1

оо

\ R c ( u ) \ ^ ± h * \ d t

§

2

I f'' (kh +

hi) | dx =

0

k=0

1

CO

■ft3 J

2

\ f " №

+ hx)\dx.

Ho

0

k=0

\ \f" (kh + hT) \dr =

{k+\)h

= i

J

\

!/" d)\dt = ~

Var

/'(*).

n

n kh^t^(k +\)h

а так как

kh

2 ]

Var

/ ' ( / ) =

Var

/'(/),

AT T 0

^ < ( * + 1 ) ft

0 < * < c o

для Rc (и)

получится

оценка

вида

| t f c ( « ) | < i / i 2

Var

/'(/).

(9-2.13)

Она

особенно просто

применяется

в тех случаях, когда

f

(t)

есть

монотонная

или кусочно-монотонная функция

с

просто определяемыми отрезками ее монотонности.

Путем,

сходным с изложенным,

могут быть получены

правила,

основанные

на линейном

интерполировании /,

точках

xk = kh (6 = 0,

± 1 , ± 2 , ...):

СО

Ф(ы)=

§ / (t) ё м dt =

— 00

00

= 2

^

he~iakh + R{u), (9.2.18)

1

1

k=—co

т) E (| -

R {и) = hs $

dx [(i -

t) -

0

0

CO

f" (kh + hx)e-iu^ h+h^.

- g ( l - T ) ]

2

k — —

0 0

СО

| / ? ( и ) | < 1 л » ^

\f"(kh + M)\,

0 < 6 < 1, (9.2.19)

k — — СО

\R(u)\^±-h*

Var

(9.2.20)

^

— 0 0 < ^ < 0 0

f"{x)\ < 5 ( а + | х | ) - *

( а > 1, а > 0 , — о о < х < о о ) ,

II.

П р а в и л а

в ы ч и с л е н и й ,

о с н о в а н н ы е на

и н т е р п о л и р о в а н и и

в т о р о й

с т е п е н и .

Возьмем

отрезок

[kh, {k -f- 2) h]

длины 2h и интерполируем функ­

цию / по ее значениям Д,

/ft+1,

Д +2 в точках kh,

(& + 1)h,

(k-\-2)h многочленом

второй

степени:

i / . л ( х

x k + i ) ( x x k + i )

t

i

( х

x k ) ( х

x k + i )

f

I

(—A)(—2ft)

(— A) ft

/А+1Ц-

+ {x~ Xkl (x~ Xk^

fk+ 2

+

гЛх).

(9.2.22)

§ 9.2]

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ f (*Т

149

интеграла,

применив при его записи гасящую функцию Е:

X

f W =fk + ( x - xk) /* + ! ( * - xkf fi + -j

t)4t =

rk {x) = Y

J

f " ' ( t ) \ ( x - t y E ( x - t ) +

+

(Х

Ч ) ( £

X k+ 2 ) ( * * + i -

О 2Е ( х к+1 -

о -

1

( x— xk) ( х - х к+1)

(xk+2- t f ] d t .

2

№

Первый член в интерполяционном многочлене, отве­

чающий узлу хк:

(х— хь +i) (х - х к+а) (■xk - t f E { x k- t ),

(-А) (-2А)

опущен под знаком

интеграла, так как E(xk— i) = 0 при

xk< t z ^ хк+2.

В последнем члене в квадратных скобках

множитель

E(xk+2 — t) не указан,

так как

он

равен еди­

нице при

всяких t < x k+2-

Упростим представление погрешности гк(х), для чего

введем переменные

£, т,

положив x = xft+

/z£, t — xkAr hx

rk {x) = ^

^ f " (xk + hx)

( | - т ) 2£ ( £ - т ) +

0

+ Б (I - 2) (1 -

Xf Е (1 - т) - 1 Ш - 1) (2 -

т)2] dt. (9.2.23)