книги из ГПНТБ / Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга
.pdf120 |
ОБРАЩЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ [ГЛ. 5 |
Система (5.3.13) состоит из 2п уравнений. На самом же деле их будет всего п, так как числа рк являются комп лексно сопряженными числами:
|
Рг ~ Pi> |
Pi = p3< |
||
Следовательно, |
|
|
|
|
^2 = ®1> |
^4 — S3, |
•••! |
= |
CTj, O4 = — (Т3, . . . |
В таблицах |
1 и 2 |
книги [8] |
приведены значения узлов |
|
и коэффициентов квадратурной формулы (5.1.5), имеющей
наивысшую |
степень точности, для |
s = 1, |
2, 3, 4, 5; п— |
|
= 1(1)15 |
с |
20 верными знаками |
и для |
s = 0,01 (0,01)3; |
п = 1 ( 1) 1 0 |
с |
7 — 8 верными знаками. |
|
|
Г Л А В А 6
МЕТОДЫ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА С ПОМОЩЬЮ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ С РАВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ 6.1. Построение вычислительной формулы
Будем предполагать, что задача обращения преобразо вания Лапласа снова сведена к вычислению интеграла
|
|
|
e + io o |
|
|
|
|
|
|
i |
jj |
epp~sy{p)dp. |
(6.1 Л) |
|
|
|
8 — 1 СО |
|
|
|
Для |
вычисления |
его |
построим квадратурную |
формулу |
||
с равными коэффициентами |
|
|||||
|
e + |
ico |
|
п |
|
|
|
— |
jj |
epp-sф (р) ё р ^ С п ^Ч> (Pk). |
(6. 1 .2) |
||
|
8—100 |
|
k= 1 |
|
||
Неизвестными |
величинами, выбором которых можно |
|||||
распорядиться, |
в формуле |
(6.1.2) являются числа Сп и pk |
||||
(k = l, |
2, . .. , п). Выберем |
их так, чтобы формула (6.1.2) |
||||
была |
точной для |
любого |
многочлена степени |
п от пере |
||
менной 1 /р. Это требование равносильно тому, чтобы фор
мула (6. 1.2) |
была |
точной для функций q>(p)=l/pk (k = |
= О, 1.........п). |
Множитель Сп определим из условия, |
|
чтобы равенство (6. |
1.2) было точным для функции ср (р) = 1: |
|
е+ £ оо
Ш§ ерр-Ыр = пСп,
£ — 1 СО
следовательно,
е -И с о
^ л — "к 2л7 \ еРР S ~ лГ (s)' |
(6.1.3) |
£ — 1 СО
122 ФОРМУЛЫ С РАВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [ГЛ. 6
Правило (6.1.2) |
при найденном таким образом |
значе |
|||
нии Сп принимает вид |
|
|
|
||
e + io o |
|
|
|
|
|
2я1 |
ерр- 5Ф (р) dp ■- |
nV(s) |
2 ф(Р*)- |
(6.1.4) |
|
- Ссо |
|
|
|
k = \ |
|
Если перейти |
от |
переменной |
р к |
переменной х — \/р |
|
и обозначить хк=1/рк, то для неизвестных хк получится
следующая система |
уравнений: |
|
|
||||
|
|
8+ tСО |
пТ (а) |
|
|||
х 1 + х 2 + |
... + хп = Щ ^ 1 |
J |
еРр-’ р -Ы р |
|
|||
Г ( 5 + 1 ) ’ |
|
||||||
|
|
8 — С оо |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
8 + |
С СО |
|
ПГ(8) |
|
|
^ + ^ + |
••■ + 4 = ^ |
^ |
[ |
epp~sp~2dp |
(6.1.5) |
||
Г (s+2) ’ |
|||||||
|
|
8—tOO |
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
e + too |
|
пГ (s) |
|
||
хр + х%+ --- + х%= ~ |
^ |
^ |
epp-sp~ndp |
|
|||
Г (s + я) |
|
||||||
|
|
e — ico |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
Из полученной системы можно было бы находить зна |
|||||||
чения хк и, следовательно, |
рк. Но так как эта |
система |
|||||
нелинейна, решение ее может вызвать некоторые вычисли
тельные |
затруднения. |
Поэтому можно попытаться найти |
|
другой |
способ вычисления |
хк, аналогично тому, как это |
|
делается |
для квадратур Чебышева в области действитель |
||
ной переменной (см. |
[6], |
стр. 192). Введем многочлен |
|
соя (х) степени п, корнями |
которого будут числа хк: |
||
Шл (X) = (Х —Xj) (х — х 2) . . . ( х - хп).
Разложим этот многочлен по степеням х:
соя (х) = хп-f Ai_xn~x + А2хп~2+ . . . + А„-!Х + А„.
Как известно, коэффициенты Ак будут элементарными симметрическими функциями корней. Равенства же (6.1.5) дают суммы степеней корней хк:
П
^ |
4 = г (['-|_s) |
(г ==1> ^......... |
л). |
(6. 1.6) |
4 = |
1 |
|
|
|
Запишем теперь хорошо известные в теории многочленов соотношения между элементарными симметрическими функ
§ 6.1] |
ПОСТРОЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ |
123 |
|
циями |
корней Ak (k = \ , 2, ..... п) и функциями 5 г (г = |
||
= 1, 2.........«). Они определяются |
так называемыми со- |
||
отношениями Ньютона |
|
|
|
|
Sj -f- Лх = О, |
|
|
|
S2Н- Лх5г+ 2Л2= О, |
|
(6.1.7) |
|
Лх52+ Л 25хф-ЗЛ3= |
О, |
|
~Ь Лх5„_х + A2<Sra_2+ . . . 4- пАп = 0.
Подставив в систему (6.1.7) значения S; из (6.1.6), полу чим следующую систему уравнений:
г ( s + 1) 4
|
1 |
, |
г (S+ 2) |
1 |
|
Г (s |
1+ 3) |
,,1 |
r(s1+ n) |
tiT (s) A l |
=0, |
1 |
Лх + пГ (s) л ! -о, |
Г (s+ 1 ) |
1
Г (s+ 2 ) Лх +
1
Г (s + n -
1 |
\ . |
пГ (s) |
Л3— о, |
(6 . 1.8) |
r ( s + l ) |
2 |
3 |
1
1 _ r r ( s + n - 2 )с'Л2-Т- • •
. . . + Г(8+ 1)i^ " - 1 + n fr (i) y4,1 = 0.
Из этой системы последовательно могут быть найдены все Ak. Значение Ак можно выписать в явном виде в форме
определителя порядка k. Так как |
|
определитель систе |
||||||
мы |
(6. 1 .8) является треугольным |
и |
равен |
|
т0 |
|||
Л* |
пк [Г (s)p-А, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
k\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
Г(8+1) |
|
|
пТ (s) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
Г (s+ 1) |
яГ (s) |
|
|
|
|
Г (s + |
2) |
А = |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
Г(8 + 2) |
Г (s+1) |
яГ (s) |
|
|
|
Г (5+ 3) |
||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
я — 1 |
1 |
|
|
Г (s + й— 2) |
Г (s+ б —3) |
T(s + k — 4) |
••• |
яГ (s) |
r ( s + * - l ) |
||
|
1 |
1 |
I |
' |
|
l |
l |
|
|
Г (s+fe— 1) |
T(s + b— 2) |
T(s + k — 3) |
' ” |
Г (s+ 1) T(s + |
fe) |
||
для 2 ^ k ^ n , причем A1 = — n[s,
124 |
ФОРМУЛЫ С РАВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ |
[ГЛ. 6 |
Найдя все Ак, можно построить многочлен со„ (х). Определяя же его корни xk, найдем все узлы рк= \/хк квадратурной формулы (6.1.4).
|
§ 6.2. Замечание о расположении узлов |
||||
|
Для частного значения параметра s = |
l формула (6.1.4) |
|||
была построена Г. Солзером. |
Им |
же |
были |
вычислены |
|
для этого параметра s многочлены |
со„(х) при |
« = 1 (1)10 |
|||
и |
определены их корни хк и, |
следовательно, |
узлы рк = |
||
= |
1/хк квадратурной формулы. |
Узлы рк приведены в таб |
|||
лице с 8 верными знаками в книге [8]. |
|
||
По |
смыслу задачи узлы рк формулы (6.1.4) должны |
||
лежать |
в области |
определения и регулярности |
функ |
ции ф (р), т. е. в правой полуплоскости. |
п, две |
||
Как |
видно из |
таблицы, начиная с некоторого |
|
из точек рк переходят в левую полуплоскость. С воз растанием л, по-видимому, все больше точек рк будет переходить в левую полуплоскость, так как действитель ные части рк убывают с ростом «. Этот факт затрудняет применение формулы (6.1.4) к вычислениям.
Ч А С Т Ь В Т О Р А Я
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
К ОБРАЩЕНИЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
ГЛАВА 7
ВВЕДЕНИЕ
Как известно и как будет показано ниже, задача вычи сления интеграла Меллина может'быть приведена к пре образованию Фурье. Последнее же является классическим аппаратом исследования широкого круга прикладных задач, и было предложено много способов для его числен ного осуществления. Каждый из таких способов можно, принципиально говоря, применить к решению проблемы обращения. Обзор главнейших из них будет дан в гл. 9,
10. |
Сейчас же мы хотим еще раз обратить внимание на |
||
то, |
что все эти |
методы имеют один принципиальный недо |
|
статок, а именно, они |
не учитывают того, что под зна |
||
ком |
интеграла |
Меллина |
стоит не произвольная функ |
ция |
F (р) с |
комплексными значениями, а функция- |
|
изображение, которая заведомо обладает некоторыми зара |
|||
нее известными свойствами, такими, например, как регу
лярность |
в |
полуплоскости R e p > |
a (a sg с), стремление |
к нулю |
при |
удалении точки р в |
бесконечность и др. |
В этом отношении вычислительные методы обращения, которые рассматривались в первой части книги, являются более предпочтительными, так как в них в той или иной мере учитывались свойства изображения.
Несмотря на указанный недостаток, мы сохранили в книге вопрос о вычислении интеграла Меллина путем приведения его к интегралу Фурье на основании следую щих соображений. Во-первых, это есть один из возмож ных методов счета, когда узлы квадратурной формулы
берутся |
на линии |
интегрирования p = c-\-ix(— о о < т < ; |
< о о ). |
Во-вторых, |
этот метод может быть полезным |
в практике вычислений, хотя бы как параллельный и контрольный для других.
126 ВВЕДЕНИЕ [ Г Л . 7
§ 7.1. Преобразования Фурье
Ниже мы будем рассматривать двойной интеграл Фурье
СО |
с о |
|
^ ij du |
^ / (t) cos и (х — t)dt, |
(7.1.1) |
О— с о
считая функцию / абсолютно интегрируемой на числовой оси
— о о < Д < о о . Внутренний интеграл по аргументу t будет абсолютно сходиться при всех действительных значениях х и и, и при том равномерно.
Что же касается сходимости двойного интеграла (7.1.1) и его численного значения, то достаточной является при водимая ниже теорема 1 (см., например, [ 10], стр. 22). Для лучшего понимания ее полезно сделать следующее
замечание. |
|
|
[а, Ь\ задана функ |
|
З а м е ч а н и е . Пусть на |
отрезке |
|||
ция f(x) с конечными значениями. |
Разобьем [а, Ь) на |
|||
конечное |
число частей точками |
хй = а< .х1<... .< х п — Ь. |
||
Составим |
сумму |
П—1 |
|
|
|
v (*о. *1. ••• . *«)= |
I / (**+i) - f (jf*)|. |
||
|
2 ] |
|||
|
|
k = о |
|
|
Она имеет смысл суммы абсолютных |
значений изменения |
|||
f на частичных отрезках [xk+l, хй] и зависит от точек
xk(k= 1, |
2, |
..., |
п — 1). |
Верхняя грань всевозможных сумм |
|||||
V (х0, хх....... хп) |
|
|
|
|
V (х0, Хх........хп) |
|
|||
|
|
Var |
(/) = |
sup |
|
||||
|
а ^.х |
|
|
Xi, . . хп _ | |
|
|
|||
называется |
полным |
абсолютным изменением f на отрезке |
|||||||
[а, Ь]. Если |
|
Var |
(/) |
имеет |
конечное значение, |
то гово- |
|||
|
|
а^.х ^ b |
|
|
|
|
|||
рят, что / является |
функцией с ограниченным (конечным) |
||||||||
изменением на [а, Ь\. |
|
абсолютно интегрируема на |
|||||||
Т е о р е м а |
1. |
Пусть f(t) |
|||||||
оси — о э < Д < с о . |
Если f на некотором отрезке [а, 6], |
||||||||
содержащем внутри себя точку х, |
имеет ограниченное |
||||||||
изменение, то верно равенство |
|
|
|||||||
| [ / ( * + |
0) + . f ( x - 0 )] = |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
СО |
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
~ ^ |
d u ^ |
f ( t ) c o s и |
{х — t)dt, |
( 7 . 1 . 2 ) |
О— со
§ 7,1] |
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЁ |
127 |
Если же / имеет ограниченное изменение на [а, Ь] и непрерывна там, то
СО |
со |
|
f{x) = ~ ^ d u |
^ f (t) cos и (х—t) dt, |
(7.1.3) |
О—оо
при этом двойной интеграл сходится к f(x) равномерно относительно х вовсякой замкнутой внутренней части [а, ti\.
Равенства (7.1.2) и (7.1.3) называются формулами Фурье. В дальнейшем всюду будем считать, что f(t) имеет ограниченное изменение в любом конечном интервале оси t. Тогда для всех конечных значений х будет выполняться равенство (7.1.2). Кроме того, для упрощения записи будем считать, что все разрывы f являются «правильны ми» и во всех точках х выполняется соотношение f(x) —
[ / (а:+ 0) -h / (л:— 0)]. Равенства (7.1.2) и (7.1.3) будут
при этом условии иметь одинаковый вид, и ниже мы будем пользоваться равенством (7.1.3).
Интегралу Фурье можно придать более симметричную форму, если воспользоваться комплексными величинами и заменить тригонометрическую функцию ее выражением через показательные функции:
с о оо
~ jj du ^ / (t) cos u(x — t)dt =
О—со
|
с о |
со |
= 4 |
$ du J f{t) [eiu <*-<> + *-*« <*-«] dt. |
|
|
О |
—со |
Если выполнить почленное интегрирование и в первом из интегралов заменить переменную и на — и, можно привести формулу Фурье (7.1.3) к виду*)
|
|
|
|
|
оо |
|
о о |
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
|
^ |
erlxudu ^ |
f{t)eiuidt. |
(7.1.4) |
|||
|
|
|
|
|
— со |
— оо |
|
|
|
|
|
и, |
*) В |
формуле |
Фурье |
(7.1.3) |
под |
интегралом |
по |
переменной |
|||
взятым |
по |
полуоси |
0 |
и < оо, |
понимается предел, |
к которому |
|||||
стремится |
интеграл |
по |
отрезку 0 ^ и < Л , |
когда |
А неограниченно |
||||||
возрастает. |
В |
соответствии |
с этим |
в (7.1.4) |
интеграл по оси — оо < |
||||||
< |
и < со |
понимается в |
смысле его |
«главного значения» как предел, |
|||||||
к |
которому стремится |
интегралг взятый |
по симметричному отрезку |
||||||||
— А ^ и ^ Л, когда А -н оо.
128 |
ВВЕДЕНИЕ |
(ГЛ. 7 |
Это равенство кратко называют комплексной формулой Фурье. С ней связаны взаимные, или двойственные, соот ношения между парами функций
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
ф (и)= |
J |
f(t)eiuidt, |
|
(7.1.5) |
||
|
|
|
|
|
— СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
/ (*) = ^ |
5 |
(“) e-lxudu. |
|
(7.1.6) |
|||
|
|
|
|
|
— СО |
комплексным преобразова |
|||
Первое из равенств |
называется |
||||||||
нием |
Фурье *) |
и |
переводит |
оригинал / в |
изображение ф. |
||||
Второе равенство |
дает правило |
перехода |
от изображения |
||||||
Ф к оригиналу /. |
|
|
|
|
Фурье частного |
вида, но |
|||
Приведем еще две формулы |
|||||||||
такие, что они в совокупности |
равносильны общей фор |
||||||||
муле |
(7.1.3). |
Если |
воспользоваться известным |
выраже |
|||||
нием для косинуса разности двух аргументов, равенству (7.1.3) можно придать вид, аналогичный разложению функции в ряд Фурье:
СО |
|
|
|
f(x) — \ [а {и) cos их-\-b (и) sin их] du, |
(7.1.7) |
||
о |
|
|
|
СО |
|
|
|
а(ы)=-^- |
^ |
/ (t) cos ut dt, |
|
— |
СО |
|
|
|
со |
|
|
b(u) = |
^ |
f (t) sin utdt. |
|
—00
*) Чтобы придать формулам преобразования и его обращения более симметричный вид, равенства (7.1.5 — 6) часто изменяют и записывают несколько иначе:
»<“>=гк
— со со
/Ч*) = у = = ^ <f(u)e~ixad u .
—00
Так как численный множитель в первом равенстве для нашего из ложения значения не имеет и лишь осложняет запись, мы избрали для правил форму (7.1.5—6). Аналогичные замечания можно сделать о приводимых ниже косинус- и синус-преобразованиях Фурье.
§ 7.1! ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ 129
Когда / есть |
четная функция, |
то |
|
00 |
|
|
5 / ( 0 zosutdt, |
b(u) = О |
|
о |
|
и (7.1.7) переходит в косинус-формулу Фурье; |
||
СО |
0 0 |
|
f(x) = ^ ^ c°s хи du ^f(t) cos ut dt |
(0 < x < o o ). (7.1.8) |
|
о |
0 |
|
Аналогично, если / есть нечетная функция, то (7.1.7)
переходит в синус-формулу Фурье:
СО |
0 0 |
|
|
|
|
f (х) = Цsin uxdu j f(t) sinut dt |
(OsgA:<oo). |
(7.1.9) |
|||
Общую формулу Фурье (7.1.3) можно рассматривать |
|||||
как комбинацию |
частных |
формул |
(7.1.8 — 9). |
В |
самом |
деле, всякую функцию / |
можно |
представить |
как |
сумму |
|
ее четной и нечетной частей; |
|
|
|
||
f(x) = g (х) + |
h (х), |
g (x )= ± |
[/' (х) + f (— х)\, |
|
|
М*) = | [ /( * ) - / ( - * ) ] •
Внутренний интеграл формулы (7.1.3) будет иметь следующее выражение через g и h:
00 |
|
00 |
|
|
$ / (0 cos и (х — t)dt = |
2 cos хи $ g (t) cos ut dt -f- |
|||
— со |
|
0 |
|
|
|
|
|
CO |
|
|
|
|
"H 2 sin xu ^ |
h (t) sin ut dt. |
|
|
|
о |
|
Поэтому из формулы (7.1.3) получим |
|
|||
|
ОО |
|
00 |
|
f(x) — g (х) + h (лг) = |
[ cos хи du |
^ g (t) cos ut dt + |
||
|
о |
|
0 |
|
|
|
0 0 |
0 0 |
|
|
-f |
^ sin xu du j |
h (t) sin ut dt |
|
6 |
B f И , К р ы л о в , H . С , С к о б л я |