книги из ГПНТБ / Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга

! 32 ВВЕДЕНИЕ [ Г Л . 7

= i~[gc(x) + ihs(x)]. (7.2.3)

Изложенное дает возможность привести вычисление интег­ ралов Меллина к вычислению косинус-и синуспреобра­ зований Фурье. Преимущественно на этих последних пре­ образованиях мы остановим в дальнейшем свое внимание.

Предположим теперь, что оригинал / (/),а следовательно, и функция g(t) обращаются в нуль или имеют пренебре­ жимо малые значения всюду вне конечного отрезка [О, Т]. Разложим g(t) в ряд Фурье на [О, Т] и запишем разложе­ ние в комплексной форме:

о

Так как g(t) имеет вне [0,Т] исчезающе малую величину, можно приближенно считать

СО

00

у G {ka) - c k = ~ - ^ g (t) е~1Ш dt

т

и может быть оценена следующим неравенством:

значения изображения F в равноотстоящих точках c-{-ikm

стремления к нулю F (р) при р - у оо. Для ознакомления с задачей такой подготовки мы отсылаем читателя к третьей части книги, посвященной этой задаче.

нем есть регулярная аналитическая функция со значе­ ниями, равными нулю с принятой точностью на концах отрезка. Она может быть разложена в ряд Фурье. Разло­ жение запишем в комплексной форме:

СО

погрешность которого может быть грубо оценена при помощи неравенства

г

$ G(x)eixxdx

—т

-Т

1^ G (х) eiiad x ^ G (х) elxxdx

2я

чения на его концах. Ряд Фурье будет сходиться равномерно относи­ тельно т к G (т) на отрезке вида [— T-f-6, Т — б] при всяком положительном б и сходиться ограниченно к G(т) на полуинтервалах (— Г, — 7 -|-б], [7 — б, 7). Почленное интегрирование ряда является возможным.

136 ОБРАЩЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ РЯДА ФУРЬЕ [ГЛ, 8

Если принять во внимание равенство

т

для оригинала f(x) получим следующее приближенное выражение:

&= — СО

хф к — , — Т < х < Т .

Когда л: = = mQ, то, как следует сразу же из

равенств (8.2.2 —3), для функции f(x) получаем значение

Применение (8.2.5) к вычислению оригинала требует вычисления коэффициентов Фурье (8.2.2) функции F (с + г'т). Для ознакомления с методами таких вычислений мы отсы­ лаем к специальной литературе (см. [7], [9]).

Г Л А В А 9

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ для ВЫЧИСЛЕНИЯ

ИНТЕГРАЛОВ ФУРЬЕ

§ 9.1. Несколько предварительных замечаний

Для численного осуществления преобразования Фурье, т. е. для вычисления интегралов

_ C Q

могут быть применены многие известные классические пра­ вила интегрирования, такие, например, как формулы тра­ пеций, парабол и другие, основанные на формулах Котеса, Гаусса и т. д.

Мы не будем останавливаться на таких правилах по

подробно; во-вторых, все они имеют существенный недо­ статок, на который полезно обратить сейчас внимание, чтобы пояснить причины, побудившие не ограничиваться указанными правилами, а строить другие формулы, более удобные для вычисления интегралов Фурье.

Формулы, которые выше имелись в виду, получены при помощи замены интегрируемой функции на всем отрезке

того, чтобы более или менее точно проследить за измене­ нием произведения / (t) cos ut и получить значение инте­ грала с допустимой погрешностью, даже при медленно изменяющейся функции /(/), нужно будет взять в формуле квадратур большое число узлов. Последнее же может сделать вычисления трудными или даже невыполнимыми. Аналогичное можно сказать об интегралах (9.1.2 —3).

Применение общих квадратурных формул может иметь лишь ограниченное значение: они могут практически быть полезными для вычислений интегралов (9.1.1—3) только для небольших значений и.

Чтобы построить правила вычислений, пригодные при изменении и в широких границах, необходимо заранее

за весовые функции.

Кроме того, так как и может принимать много значе­ ний, часть из которых предвидеть заранее не всегда можно, правила вычислений желательно построить так, чтобы они содержали параметр и в буквенном виде и были удобны для счета при любых, в частности при больших, значе­ ниях и.

Будем считать функцию / (t) настолько быстро стремя­

О—оо

ности часто будем предполагать, что при больших значе­ ниях 111 выполняется неравенство

§ 9.2. Вычислительные формулы, основанные на алгебраическом интерполировании функции f ( x )

Алгебраическое интерполирование, т. е. интерполиро­ вание при помощи целых алгебраических многочленов, успешно применяется для приближения непрерывных и достаточно гладких функций на конечных отрезках. Если же отрезок, на котором надлежит приближать функцию /,

интегрируема там или даже удовлетворяет условию (9.1.4), то алгебраическое интерполирование не может дать хоро­ шего приближения. В основание интерполирования тогда должна быть положена другая система функций, напри­ мер система рациональных функций, непрерывных на оси или полуоси и стремящихся к нулю при неограниченном росте |?|. На таком интерполировании остановимся ниже. При применении же алгебраического интерполирования мы должны будем разделить полуось или ось на беско­ нечное множество конечных отрезков и прибегнуть к кусоч­ ному, не обязательно даже «сращенному» интерполирова­ нию*).

9.2.1. Вспомогательные формулы. Изложение начнем с получения простых вспомогательных формул, служащих

Если считать l (x) действительным многочленом, заме­ нить показательные функции их выражениями Эйлера через

*) Так, называют алгебраическое интерполирование, когда на каждом из отрезков строится свой интерполирующий многочлен, при этом многочлены выбираются .так, чтобы в точках соприкосновения двух соседних участков соответствующие им многочлены и производ­ ные от них до некоторого порядка имели одинаковые значения. Такое интерполирование иногда называют! сохраняя английский тер­ мин, сплайн-интерполированием.