Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2317 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

160	ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ			[ГЛ. 9
160
Умножая	(9.2.39) на	cos их,	интегрируя по	отрезку
[kh, (k+ l )h]	и суммируя	результаты по k = 0, 1, 2, . .,
построим представление срс (и), из			которого путем	отбра

сывания остаточного члена получается вычислительное
правило для нахождения срс (и) по значениям fk и /*:
Фс (и) = J / {х) cos их dx = a\f0 — y'j'o + 2а[ ^ fk cos Ш —
					k—i
				■26;	2 f'ksmkQ + Rc(u),	(9.2.40)
где					k= \
где		= uh,
0		= uh,
Игга[ =		120“4(1 — cos 6) — 60~3sin0,				(9.2.41)
hr*y[ =		6'2-			-	(9.2.41)
hr*y[ =		6'2-		68-4+ 20-3 sin 8+ 68~4 cos 0>
hr26J = 48-3 -				60-4 sin 8+ 28-3 cos 8.
В представлении Rc{u) переменная x заменена на кано
ническую переменную l = hr1(x — xk), x = xk-{-h^:
i	i
Rc (и) = 4	$ {(£ -		Т)3 Е( i -		т) - И 2 (1 - т)2 [ ( 3 - 2 6 ) т- g ] } х
о;	О
		со	/ IV (xk+ hx)cos и (xk+ hl) dxdl.
	X 2		/ IV (xk+ hx)cos и (xk+ hl) dxdl.			(9.2.42)
		4 = 0

Для оценки Rc выясним сначала некоторые свойства ядра двойного интеграла, которое стоит в фигурных скобках.

Обозначим	его К (£, т):
к<р > = I	(6 -T )8 + £ i(1 -T )J[(3 _ 2 5 )T ”	51* ° < т < ^ < 1>
\	Е2 (i — т)2 [(3 — 2\|) т — 6],	0 < 6<	т < 1.
Заметим сначала, что предельные значения ядра на
границе квадрата интегрирования [0 ^		\| , т < ; 1]	равны

нулю (рис. 2). Это сразу же следует из приведенных выра жений ядра. Отметим также, что на диагонали ОБ квадрата ядро имеет положительные значения:

К (&, £) = 2 [ |( 1-|)]3> 0

(0 < 6 < 1).

§ 9.2] АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ f ( х ) 161

Знак ядра в треугольнике ОВС, лежащем выше диаго


нали		ОВ,		определяется				знаком билинейного		многочлена
(3 — 21) х —£.					При любом				фиксированном	£ ( 0 - < £ < 1 )
при		росте		т	от	£ до 1 мно
гочлен			возрастает,				начиная
от	значения				(3 — 2£) £—£ =
= 2 £ ( 1 - \|) > 0 д о З ( 1 - £ ) > 0 .
Поэтому				ядро		К (5,	т) 2э= О
при £ «£ т				1, 0		£ с	1. Кро
ме того,			обычными средствами
анализа			доказывается,					что	в
Д	ОВС ядро достигает своего
наибольшего значения в сре
дине		диагонали				О (1/ 2,		1/ 2),
при		этом
	шах		1 К (£,			т) =

В треугольнике ОАВ, лежащем ниже диагонали ОВ,

ядро есть многочлен от т третьей степени:

(I-т)3+£2(1-- т)2[(3—2£)т—£] ==(1- £)2т2[3£-(1+2Е)

Знак его определяется выражением, находящимся в квад

ратных			скобках. Так как £ s g l			и tsS I, т о
				3 £ - ( 1 + 2£ )т = г 2£ - 2£2; > 0.
Поэтому в				области	0 «с т	1 ядро	неотрицательно.
	Обычными способами разыскания экстремумов функции
в	замкнутых			областях показывается, что			ядро достигает
своего		наибольшего			значения в точке D ( 1/2, 1/2) и
				шах	K(i, т) =	k (t . t ) = s -
	Наконец,			легко вычисляется двойной интеграл от ядра:
1	1					[(3-2g) т - g ] } =
j dl j dT { (\| -T )2 E (g - т ) + Е» (1 - T f
= $			(£ -т )3+ £ 2 § (1 -T )» [(3 - 2 E )T -E ]d i\|= i.					(9.2.43)
	0	l	0		0		)
	Указанные выше свойства ядра позволяют получить
оценки			Rc (и), сходные с теми, которые				были	найдены

6 В . И . К р ы л о в , Н , С , С к о б л я

162 ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ЦЛ. 9

в случае интерполирования по значениям функции. Если

в представлении	(9.2.42) для Rc(u) заменить		ядро и
\| cos и (xk-f hi) \| превосходящими величинами 1/32			и 1 соот
ветственно, то получим		оценку
1	1	СО
О	0	2 \ f W{Xk+hT)\=
О	0	£ = 0
со
= Щ	1 Г М 1		(9.2.44)

Если же в интеграле заменить все слагаемые беско нечной суммы их абсолютными значениями, заменить | cos и (хк+ hi,) ! единицей и затем, пользуясь положитель ностью ядра, применить к интегралу теорему о среднем взвешенном значении, найдем неравенство

СО

k =0

1	1
X J dg J dx {(& -		г)3E (l - т) +	(1 — г)* [(3 -			2g) т -	l] } =
0	0
	oo
	2	l/IV(** + AG)\|,		0 « X		1 .	(9.2.45)
	A= 0
Аналогичные рассуждения			для	синус-	и комплексного
преобразований		Фурье дадут	следующие		их выражения
через значения fk и Д:
Ф Л «)=$ f(x) sinuxdx = Pi/ 0+ 6;;/6+ 2a;					2	/*sin £0 +
				k	=	\
		+ 26/ 2	Д cos Ш+		Rs («),		(9.2.46)
		k= l

Rs(u)=~ § dl j d x { { l - T f E ( l - T ) +

ои

- K 2 ( 1 - t )2 [ ( 3 - 2 £ ) t - | ] } X

x 2 ] f(xk+ hx) sin u(xk + hl)	( 9 . 2 . 4 7 )
k—O

§ 9,2!

А Л Г Е Б Р А И Ч Е С К О Е И Н Т Е Р П О Л И Р О В А Н И Е f (*)

163

		\| Р ( * *	+	А О )\|,	0 < «	< 1	,
	о о	£ = 0	о о
	о о		о о
ф (« )=	5 f(x)e~iuxdx = 2a[		%	fke~ikQ-
	— со	k — — со
			00
		— 2*6;	2	/fc -“ 0+	/?(«).		(9.2.48)
		& =	— оо
Значения <х[, у[, SJ, 9 указаны в равенствах							(9.2.41),
кроме	того,
	/ г хР( =	69*3 cos 6 - 129"1 sin 6 + 6~3 (6 +				02),

Я(и) = ^ dg ^ d%{ ( l - x ) 3 Е (ё — т) +

Оо

+ ё2 (1 — Т)2 [(3 — 2ё) т — ё] 2 f(Xk+ hT)e-ia(xk+ hl)},
			к = — со	(9.2.49)

\R(U)\- h*		СО	\tlvf^(x)\dxх)\йх = йъ
		\		Var f " '( x ) ,
	192		^-2
		* J	— -COсо< <Xх< <COсо
	h>	2	\|P(**+Ad)\|,	OcOd.
\|^(«)!<~
		& = — CO
V.	П р а в и л о в ы ч и с л е н и я , о с н о в а н н о е на

и н т е р п о л и р о в а н и и ф у н к ц и и с т р е м я д в у

к р а т н ы м и	у з л а м и .			Возьмем точки хк, хк+1, хк+2 и
интерполируем / по значениям fk, fL fk+и Д +ii						fk+2>Д+г:
V ______ ю* W				х
X	1	~ 7 7	~ Т ---------~ . Г ( * - * * + / )		/fe+y +
			(**+у)
			+	(* — xk+f)fk+j^j-\-rk (*)>		(9.2.50)
Щ (x) =		( x -	xk) (x - x * +1) (x -		xk +2).

6»

164

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ

[ГЛ. 9

Для изучения погрешности интерполирования отка жемся от интегрального ее представления, которое при меняли в предыдущих случаях, ввиду его относительной сложности, и воспользуемся известным выражением rk {х) в форме Лагранжа:

(х) = ^ Г Ч х * + Ш	О-	; 2, (9.2.51)
Оно быстрее приведет нас к цели,	но даст	несколько

более грубую оценку, так как точное значение 'в* не известно.

Если умножить (9.2.50) почленно на cos их, интегри ровать по отрезку [хи, хА+2] и суммировать затем резуль

таты по четным значениям k			(£ = 0, 2, 4, ...), получится
следующее выражение для <рс (и):
СО				с о
фс ( « ) = $ / (*) cos их dx =		а 2/0+	у;		/г*+1 cos (2k -f 1) 0+
0				A = 0
со				со
+ 2«I г 2	hk COS 2kB -	62f'0— Tia		2 ]	/«+1 sin (2A+	1) 0 -
k= 1		CO		A= o
		CO
	- 2Й ^		й * sin 2^0+ Де (и).			(9.2.52)
		A=1
Значения	коэффициентов a 2,			y2,	• • ■ приведены в конце
параграфа, и
2			оо
Rc (и) =	£■ (g - I)2 (6 -	2)^ 2		Г	( + ^А) X
о		£ = 0

х cos ы (л:2А+ /г|) d\. (9.2.53)

Отсюда вытекает следующая равномерная относительно и оценка Rc(u)i

I Rc (и) | =

л	СО
U a( ! - 1)#(E-	2)Ч % У шах \Г '( хл+ Щ \ =
00
1	\|/Vl(*ft+ M )\|.	(9.2.54)
*.“ л0<тХ2
А~ О

§ 9.21 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ f (х ) 165

Для синус-преобразования Фурье сходное правило вычислений и его погрешность будут следующими:

со

Ф* ( « ) = $ / (х) sin их dx =

Рг/о +

Та 2

hk+i sin {2k +

1)6 +

оо

/г* sin 2Ш+

оо

+ 2ос3

й/о +

Лз

/2*+1 cos (2£ +

1)6 +

ft = 1

ft=о

+ 2Й I ;

f[k cos 2Ш+

/г, (и),

(9.2.55)

a= i

ЯЛи) =

оо

/VI (*2ft+

A^aft) Sin и (x2k+ hi)dl,

(9.2.56)

к=0

| # ,( « ) ! < g ig А*

max

| / V1 (x2k + h$) \

аади

Ad o<#<3

ft= о

Для комплексного преобразования Фурье аналогичные

правило и оценка имеют вид

ОО

оо

Ф(И)= $

f{x)e-laxdx = 2а'% 2

hke~i2kQjr

— СО

СО

—

0 0

Y-;

I ]

hk+i^ ‘ (2Н1)0 — 2Да

/ ^ * е -

& = — СО

6 = — 00

Г*ше-,(2М)в + *(« ),

(9.2.57)

k =

— СО

Д(«) =

5 Е»(£— i)» ^ —2)а X

оо

/VI(^ft +

^2ft)e~f“ (x2ft + ftl ) ^ )

(9.2.58)

k=3 —00

0 0

] #(И ) |SS g^Q A’

l/V I(^ft + ^ )| .

ft= —oo°^

" '1

166	ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ		[ГЛ. 9
Параметры а'ъ, ^ ........0, входящие в равенства (9.2.52,
55, 57), имеют следующие значения:
	б = uh,
А»и»а£ =	0 (156 - 702) sin 0 cos б +
Нъи% =	+ 3 (6 0 -	1702) cos2 9 -	15 (12 — 562),
	0 (б4+ 802 - 24) + б (762 -	156) cos2 б +
		+ 3 (60— 1702) sin 0 cos б,
	Ньиву!г = 160 (3 — 02) sin 0 — 48б2 cos 0,
№и?Ь'г= 20 (б2— 24) sin 0 cos 0 +		4) cos20 +	б4- 2702 + 60,
	+ 15 (б2-
/г4ы6^з = б (5б2— 12)+ 15 (4- б 2) sin б cos 0 +
		+ 20 (03— 24) cos2 0,

AV t^ = 160 (б2- 15) cos б + 48 (5 - 202) sin 0.

§ 9.3. Вычислительные формулы, основанные на интерполировании рациональными функциями

9.3.1. Введение. Выбор интерполирования, его погреш ность. В начале главы мы обращали внимание на то, что интерполирование алгебраическими многочленами хотя и приводит к практически полезным вычислительным пра вилам, но не всегда является удобным средством для вычислений. Оно требует разбиения полуоси или оси интегрирования на бесконечное число конечных отрезков, количество которых зависит, в частности, от скорости

убывания		функции /		при \| х \|	оо. Если	убывание /
недостаточно			быстрое,	то таких отрезков может потребо
ваться	много,		и это затруднит вычисления или сделает
их в некоторых случаях невозможными.
Чтобы избежать необходимости деления области интег
рирования		на	конечные части, нужно изменить систему
функций,		на	которой основано интерполирование. Выбор
такой	системы зависит,			во-первых, от области		интегриро
вания,	что в		нашей задаче означает, будет			ли это вся
ось х	или	полуось х ^ О . Мы будем рассматривать только
косинус- и синус-преобразования					Фурье и в соответствии

с этим считать, что областью интегрирования является полуось xs*0. Такое предположение не является ограни чением задачи, так как комплексное преобразование Фурье

л егк о п ри води тся к к о си н у с - и с и н у с -п р е о б р а зо в а н и я м .

§ 9.3] ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

16?

Во-вторых, выбор зависит от свойств множества функций, подлежащих интерполированию. Выше мы условились рас

сматривать функции f,		удовлетворяющие при больших х
условию	\|f (х) \| Axrs,	s >		1. Среди них выделим функ
ции, часто встречающиеся в			приложениях и представимые
в форме
	^ ) = ( Г ^ >			s > 1 ’	(9-з л >
где F (х) непрерывна на полуоси [0, со) и имеет конечный
предел	lim F (х) = F (оо).		Функцию F (х),		обладающую

X - * СО

такими свойствами, будем называть непрерывной на зам кнутой полуоси [0, оо] и предельное значение F (оо) считать ее значением в бесконечно удаленной точке.

Для приближения таких функций F могут быть приняты многие системы простейших функций, ограниченных на полуоси [0, оо). Чтобы сделать вычисления возможно более простыми, примем за основные функции систему

простых дробей ^ _ ^ т ( т = 0, 1, 2 , ...) и будем интер

полировать при помощи многочленов от аргумента

гг

р . м - 2

<9'3'2)

т ~ о

Такие многочлены в множестве функций F (х), непре рывных на замкнутой полуоси [0, оо], образуют полную систему в метрике С. В самом деле, преобразование

аргумента г = у ^ переводит полуось [0, оо] в замкнутый

отрезок [0, 1] оси г. Функция F (х), непрерывная на [0, оо], перейдет в функцию ф(г), непрерывную на [0, 1], рацио нальные функции Рп(х) перейдут в многочлены рп(z) от г. После этого остается сослаться на теорему Вейерштрасса о полноте множества алгебраических многочленов в классе функций, непрерывных на конечном замкнутом отрезке.

(О с	Возьмем	теперь	на	полуоси [0,	оо)	п + 1 точек xk
(О с	х0< хх < . . . <		х„ <	оо) и коэффициенты ak функции
Рп выберем		так, чтобы ее значения в точках хк совпадали
со	значениями F:
				(А =	0,1	.......я). (9.3.3)

1 = 0

168	ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ	[ГЛ. 9
	Эти равенства дают линейную систему	уравнений для

коэффициентов а;. Определитель ее является определителем

Вандермонда от		аргументов	г -с... (£ = 0, 1, .... я),	он
отличен	от нуля,	так как все xk различны между собой.
Система	имеет единственное		решение, и существует,	сле

довательно, единственная рациональная функция Рп(х) вида (9.3.2), удовлетворяющая условиям (9.3.3).

При решении системы (9.3.3) коэффициенты а,- будут

найдены

как

линейные

функции

величин

F (хк)

(k = О,

1.........п). Подстановка

их

в (9.3.2)

покажет,

что Рп есть

также линейная функция F (xk):

Рп (х) = /0(х) F (х0)+

h (х) F(Xl)+ ... + la (х) F (хп).

(9.3.4)

Здесь lk (х) — многочлены степени п от

Они являются

функциями

влияния

узлов

интерполирования

xk и удов

летворяют,

очевидно,

условиям

(

при

i Ф k,

U (хк) = \

при

i = k,

определяющим их единственным образом.

Сразу

же

видно,

что

М*)=П \

- f - X

IT 1 + xk

1-Н •*/,

(9.3.5)

1= о

/ = о

1фк

АФ k

После несложных преобразований для lk {х) получатся другие выражения, показывающие, что коэффициенты 1к (х) отличаются весьма простыми множителями от хорошо известных интерполяционных множителей Лагранжа:

к(	О + х )" ( x - x k)u'n+1(xky
	П	(9.3.6)
®n+i (*) =	Y[	(x-Xj).

/= о

Вдальнейшем для вычислений с рациональными функ циями Рп (х) полезно найти разложение Рп (х) по степеням

Вудобной форме оно может быть построено следую-

§ 9.3] ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

169

щим простым путем Разложим многочлен

пеням 1 +х:

®п+1 (х)

X — Xk 2 с\к) о + хУ> I=0

и внесем разложение в (9.3.6) и (9.3.4):

Оя+1 (*)	по сте-
x - x k

Р, М - 2 F Ы	2	. (9.3.7)
k — 0	l — О

Bo внутренней сумме множители, стоящие перед (1 -\-х)~п+1, зависят только от узлов х,- (г' = 0, 1, п), и для упо требительных систем узлов они могут быть вычислены заранее и табулированы.

Обратимся теперь к исследованию погрешности интер полирования rn(x) = F (х) — Рп(х). Ее точные интегральные представления для классов функций достаточно высокой гладкости через производные от функции F построены для интерполирования по любой системе координатных функций *). Нужное нам представление может быть полу чено из этих общих результатов как частный случай. Но такой путь требует знания читателями общих результатов или их изложения авторами, что заняло бы много места, и мы предпочли получить необходимые представления иным, более коротким путем, воспользовавшись связью нашей задачи с интерполированием алгебраическими мно гочленами. Напомним, что если заменить переменную,

положив z = y~ x, х — ^— 1 , то полуось			перей
дет в единичный отрезок	1^ г ^	0 оси г, многочлен Р„ (х)
(см. (9.3.2)) перейдет в	целый	алгебраический	многочлен
от 2 степени п:		П
		П
Р п ( х )= Р п {\~ 1		^ akzk — рп(г).	(9.3.8)
	4 = 0

Функция F (х) преобразуется в некоторую функцию аргу мента г:

F ( x ) = f {- j - - 1 ) = ф ( 2 ) ,

*) См.,	например,	И.	С. Б е р е з и н и Н. П. Ж и д к о в , Методы
вычислений,	изд. 2-е,	т.	I, гл. 2, § 4, М. «Наука», 1966.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2317 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ