Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2321 22 23 > Следующая >>>

200

ФОРМУЛЫ НАИВЫСШЕЙ СТЕПЕНИ ТОЧНОСТИ

[ГЛ. 10

В соответствии с этим будем рассматривать правило, равносильное (10.2.1):

	Q
	** t	A j{\+ xj)-sF (xj) =					£ AfF (.x,). (10.2.10)
	/ = l						i = i
При	построении (10.2.1) параметры xk и Ak выбирались
так,	что равенство		выполнялось				точно, когда X (х) была
					2л — 1
любой функцией видаХ (х) =						^	су(1 + x)_s_/.	Для	пра-
вила	(10.2.10)	это			/ = 1		тому, что оно дает точ
вила	(10.2.10)	это	эквивалентно				тому, что оно дает точ
ный результат для			функции F вида
		2л —1
	F(x)= Z		M l - M		- '- ^ W O + x ) - ! ] .
		/ = i
Заменим переменную х,					положив -у— = t,			х = -(— 1,
для	При	этом		(10.2.10)		перейдет в новое правило
для	конечного	отрезка		[0, 1]:
	1
1с = \ (1 + cos х) ts~2F* (t) dt Яа
	о
					AJF(tk) = Q(F*),			(10.2.11)
				/ = i
							< . - т ф т -
Равенство выполняется точно всякий раз, когда									F* (t)
есть	многочлен	степени 2п — 1				от	t:
			F* (t) = P*n+i(t).
Отсюда следует,			что (10.2.11)				есть квадратурное		пра

вило наивысшей алгебраической степени точности для

отрезка [0, 1] и весовой функции	р (/) =	(1 -fcos*) is_а.
Относительно таких правил известно,		что	при	оо
последовательность приближенных	значений		Q* (F*)	схо

дится к точному значению интеграла	11с для всякой функ
ции F* (г), ограниченной на [0, 1]	и такой, что множе

§ 10.2]		ПОСТРОЕНИЕ ФОРМУЛЫ	201
с т в о т о ч е к р а з р ы в а ее и м е ет м ер у н у л ь * ) ,			в ч ас тн о с ти
д л я в с я к о й ф у н к ц и и F*, о гр а н и ч ен н о й н а [0 ,			1] и н е п р е
р ы вн о й в н у т р и э т о г о о т р е з к а .
Э то д а е т в о з м о ж н о с т ь в ы с к а з а т ь т е о р е м у о сх о д и м о с т и
п р и п — со к в а д р а т у р н о г о п р о ц е с с а (1 0 .2 .1 ) .
Т е о р е м а	1.	Если функция X (х) представима в виде
(1 0 .1 .4 ) , где	F (х)	непрерывна на полуоси 0 ==£ х==£ ею , то

квадратурный процесс, определяемый правилом наивысшей

степени точности (1 0 .2 .1 ) ,	сходится при п - > с о к точ
ному значению интеграла.
А н а л о г и ч н а я т е о р е м а в е р н а д л я к в а д р а т у р н о г о п р а в и л а
н а и в ы с ш е й степ ен и то ч н о с ти	(1 0 .2 .9 ) д л я	с и н у с - п р е о б р а з о
в а н и я Ф у р ь е .
*) Для всяких функций, интегрируемых		на [0, 1] по Риману
в собственном смысле.

Ч А С Т Ь Т Р Е Т Ь Я

ВЫДЕЛЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ФУНКЦИИ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИЯХ

В первой и второй частях книги были рассмотрены две связанные между собой задачи: обращение преобразо вания Лапласа и вычисление интегралов Фурье. Каждая из задач решается в своих условиях и своими методами, поэтому способы выделения особенностей функции при вычи&лениях для этих задач не совпадают и будут рас сматриваться нами отдельно.

ГЛАВА11

ВЫДЕЛЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ИЗОБРАЖЕНИЯ F( p)

§ 11.1. Введение

Для определенности будем говорить о методах обраще ния, основанных на вычислении интеграла Меллина, но некоторые соображения, высказанные для этой задачи, могут быть перенесены и на другие методы обращения.

Вычисление оригинала f (х) было основано на интер полировании изображения F (р) или функции <р (р), свя занной с изображением равенством F (р) = <р (р) (р — a)'s. Интерполирование выполнялось при помощи многочлена от (р —а )'1 или более общей рациональной функции.

Напомним, что F (р) является аналитической функцией р, регулярной в полуплоскости Re р > у и стремящейся к нулК> при удалении точки р в бесконечность в этой полуплоскости. При вычислении интеграла Меллина

с-\~ i со

[ F(P)epxdp

( 1 1 . 1 . 1 )

c—i со

прямая интегрирования	R ep = c' выбиралась так, чтобы
выполнялось неравенство	с > у . Узлы интерполирования

§ п.П

ВВЕДЕНИЕ

203

брались на линии интегрирования Rер = с, либо на дей ствительной оси, либо в полуплоскости Rер2> с, при этом интерполирующая рациональная функция избиралась так, чтобы ее полюсы лежали слева от прямой Rер^>у и, кроме того, чтобы функция стремилась к нулю при

р -> - оо.

Можно предвидеть, что такое интерполирование будет, вообще говоря, тем более точным, чем более гладким будет изменение F (р) и ср(р) в полуплоскости R e p ^ c . Гладкость же зависит, во-первых, от положения особых

точек	F:	чем дальше	они	удалены	от	полуплоскости
R e p ^ c ,		тем более гладким будет там			изменение F и ф.
Гладкость		поведения F и	ф зависит, во-вторых, от харак
тера	особых точек, или,		если	употребить		не вполне точ

ный термин, но достаточно наглядно описывающий содер жание вопроса, от влияния их на поведение F и ф.

Наконец, на точность интерполирования будет оказывать

влияние поведение F и ср				вблизи бесконечно		удаленной
точки	*)	плоскости	р, в	частности скорость		убывания
\| F (р) \|	при	р -к оо.					F (р),
Можно		пытаться	улучшить поведение		функции
а вместе с ней и ср (р) в				полуплоскости	Re р	с,	если
устранить у F (р) особые				точки, ближайшие к прямой
Rep = c, или по меньшей				мере ослабить их влияние на
изменение F. Делают это обычно при помощи разложения
функции F		на два слагаемых: F(p) = Fl {p)-\-Ft {p),					кото

рые выбирают так, чтобы функция Fr{p) имела такие же особенности, которые мы хотим устранить у F (р), или


главные	части	этих особенностей, когда мы хотим осла
бить их	у F (р). Кроме того, функция ГДр) должна быть
такой, чтобы она была			изображением и оригинал для нее
/] (х) мог быть найден			точно. Второе же слагаемое F2(р)
определяется		равенством F2(p) = F{p) — F1(p). Можно

*) Если говорить о принципиальной стороне вопроса, то все указанные выше факты, влияющие на поведение F, можно было бы учитывать заранее при построении метода вычислений. Сделать это можно, например, при помощи выбора системы функций, которые положены в основу интерполирования. Авторы отказались от этого пути, так как он привел бы к созданию большого числа узко специа лизированных методов вычислений, и учли заранее в грубой форме только скорость убывания F при удалении точки р в бесконечность, когда представили F в виде F(p) — (p— аГ^ф(р).


204	В Ы Д Е Л Е Н И Е О С О Б Е Н Н О С Т Е Й И З О Б Р А Ж Е Н И Я F ( р )		[ Г Л . II
ожидать,	что F2 (р)	будет изменяться в полуплоскости
R ep = a ^ c более		плавно, чем F (р), и оригинал f2(x)
для нее может быть		найден приближенно с большей точ

ностью, чем для F (р).

§ 11.2. Устранение и ослабление особенностей изображения F{p)

11.2.1. Устранение полюсов у изображения. Допустим, что функция F (р) в точках pk (k=\, ... , п) имеет полюсы порядков mk (k= 1, ... , п) соответственно. Предположим также, что известны полярные части степенных разложе ний в окрестностях полюсов

	1	m	k
Gk	1	_	X	a	k v
Gk	P- Pk	^	( P	—	P k F '
					( 1 1 . 2 . 1 )
Положим		V =	1
Положим
		2 °	‘ Ш		( 1 1 . 2 . 2 )
		2 °	‘ Ш
и		k= \
и

F A p ) = F ( p ) - F 1 (p ).

Для F2(p) т о ч к и pk (&=1, ... , ri) будут точками регу лярности.

Оригинал для F1(p) находится точно (см., например, [1], гл. V, 5.2, стр. 209) и имеет значение

2	flfcv ' Г (v) epkx
fe=lV=1

11.2.2. Ослабление влияния особенностей ветвления. Рассмотрим случай степенной особенности ветвления и положим, что F (р) имеет следующий вид:

F (P) — (P — a)'l G(p), G(а) Ф 0,

где р есть действительное число и а есть значение, не

принадлежащее		полуплоскости		регулярности F (р), так
что R e a s S y C c ,		и G (р) — функция, регулярная в откры
той	односвязной		области, содержащей полуплоскость
R e p > у и точку а.			Выберем произвольную точку Ь, лежа
щую	левее точки	а ,	т. е, так,	чтобы Re (а — Ь) > 0.

§ 11,2]	У С Т Р А Н Е Н И Е		И О С Л А Б Л Е Н И Е О С О Б Е Н Н О С Т Е Й F (р)	205
Функцию		(р),	близкую к F (р) около точки а, будем
искать	в форме
	Fi (Р) =		z^ ± c* + Z w CmZm- # R (г),	(11.2.3)
где z = p — а.		Ft (p)	должна быть изображением и должна,
Так	как

следовательно, стремиться к нулю при удалении точки р

на бесконечность,			показатель		степени делителя г				должен
удовлетворять условию г>т-\-р.								... ,	т) так,
Выберем теперь коэффициенты ck {k —0, 1,
чтобы в разложениях
G (р) = G (			z а) = £о+£1г + • • .+ gm2m +					. ..,
гДе gk = ^ G M (a),			и
	R (z) = ( р - b)-r(с0 +					cxz + . . . + cmzm)
совпадали	коэффициенты при степенях г от нулевой до т.
Если заметить,			что
(р -& )-' = ( а - & г ( 1 + ^ Г =
	= ( « - & ) - ' 2 ( - 1								z	\л
									a—b '
				n= 0
можно просто получить разложение R(z) по степеням										z.
Сравнение	же	коэффициентов				при	zk (k = 0, 1.........т)
в разложениях		G(z +		a) и R (г)		даст следующую			систему
уравнений для		вычисления Cj (/ = 0,					1.........т):
со — §о( а — Ь)г,
Ci - г (а -	b y 1 с0 = g1( a - b)r,
C s- г (ос - 6 )1с1 + г (г+ 1) (а - &)-2с0 = й ( а -
с3 - г (а - ьу1с2 + ^ г (г + 1) (а — 6)-2 -
-	/•(/• +	1) (/• +		2) (а -	&)-3 с0 =		g3 (а - 6)г,		(11.2.4)
- г (а -	б )'1 cm-i +			~ г (/•+	1) (а -		b y 2ст _2—...
. . . + ( - 1 ) “ ^ г ( г + 1 ) . . . ( г + т -						1 ) х

X ( a - b y mc0 = gm( a - b ) r.

206 В Ы Д Е Л Е Н И Е О С О Б Е Н Н О С Т Е Й И З О Б Р А Ж Е Н И Я F (р) [ Г Л . И

Из нее последовательно могут быть найдены с0, с1г ...

ст. После нахождения ck для Fx(р) получаем следую щее выражение:

	F M	= ( Р - ccf.R.ip -			а) = ^		с,		•
						/= о
Оригинал для Flip) вычисляется точно (см. [1],										гл. V,
5.4,	(8), стр. 215):
	т
fi (х) = 2		О		lFl		r ~ V ~ F			(b~ a) xl
	i= о								(11.2.5)
									(11.2.5)
Здесь XFXесть вырожденная гипергеометрическая функция
		iF i ( “	;	Г(Р) V Г (ос + £) гк
		iF i ( “	;	Р	;	г	)	=
				Г (а) Li		T($ + k)k I
					k=Q
Функция F (p) — F1(p) — F2(p)						будет		в	точке	р = а
иметь	производную		порядка		на m - fl единиц выше,						чем
F {р),	и оригинал		f2(х)	для	нее может			быть найден			при

помощи приближенных методов, как правило, с меньшей

затратой труда и с лучшей	точностью, чем для	F ip).
В частном случае, когда	показатель степени р	является

отрицательным числом, ослабление влияния точки ветвле ния на изменение функции можно получить более просто, не вводя вспомогательную точку Ь. Выберем т таким, что р - |- т < ;0 , и положим

Fi ip) = 2 /Г G(/> (“ ) (Р “ аУ+>1- /= oJ

Оригинал /у для Fx имеет более простой вид, чем выше:

x-i-v- 1 рЛХ
M * ) = 2 ^ r V / - H . ) ea
i=o
Остаточная функция F2(p)=Fip)—F1ip)		в этом слу
чае будет следующей:
in
Fa ip) = i p - a f g ip) - 2 / t G(/>	(p -	аУ

1=0

§ 1 1 . 2 ]	У С Т Р А Н Е Н И Е И О С Л А Б Л Е Н И Е О С О Б Е Н Н О С Т Е Й		F ( р )	207
и, если т выбрано так, что — 1		+ < 0,	она	будет
равна	нулю в точке р = а.

Теперь рассмотрим задачу ослабления логарифмической особенности ветвления. Ограничимся простейшим случаем, когда изображение F (р) имеет вид

Р (Р) = (Р ~ « Г In (p - a )G (р),

G(a) Ф 0,	R ea с у ,
v — действительное число и	G(p) —функция, регулярная

в некоторой односвязной открытой области, содержащей полуплоскость Rе р > у и точку а.

Чем большее значение имеет v, тем более быстрым будет изменение F при р, близком к а, и, чтобы сделать изменение F более плавным, по крайней мере вблизи точки а , можно прибегнуть к следующему преобразо ванию F.

Возьмем целое число т такое, чтобы было — v - f m < 0, затем построим разложение G (р) около точки р = а по степеням p — a = z и рассмотрим отрезок разложения

gQ-\-glZ+ -.. + gmZm.

Положим

Pi (р) = 2 gj (Р —a)~v+/ In (р —a).

		/= о
Оригинал	для	Fх является табличным	(см.	[1], гл. V,
5.7, (4), стр.	225):
	т
h W =	2 gi	г (v- л "xV~J~leax (v -	J) ~	ln xl

Что же касается функции

Ft(P)=F(p)-Fi(P) =

= (Р~ a )'"v In (p - a) (g (p) - Д] gj (p - a y j ,

то она будет иметь в точке р = а степенную особенность слабее, чем у F (р), так как величина, стоящая в скоб ках, при р, близких к а, имеет порядок малости не ниже,

чем О [(р —a)m+1J.

208	ВЫДЕЛЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ИЗОБРАЖЕНИЯ F ( р) [ГЛ. И

В предыдущем изложении были рассмотрены только некоторые типичные способы устранения и ослабления особенностей у изображения при помощи выделения из него «особой части» (р). Вид же Fx (р) зависит от типа особенностей F (р) и не обязательно имеет форму, указан ную в нашем изложении. В § 11.4 приведена небольшая таблица изображений F и соответствующих им оригина лов f, которая может в некоторых случаях оказать помощь при построении Fx (р).

§11.3. Замечание об увеличении скорости стремления

кнулю изображения F(p)

Для приближенного обращения преобразования Лап ласа имеет значение скорость, с которой стремится к нулю изображение F (р), когда р со. Пояснить это достаточно наглядно можно на задаче приведения интеграла Меллина к интегралу Фурье. В интеграле Меллина линией интегрирования является прямая Rep = c и можно поло жить р = с + /т (— о о < т < о о ) . Если принять т за новую переменную, получится следующий комплексный интеграл Фурье:

			00
		f (х) — есх ^	jj F (е+	г'т) eixX dx.
Он будет, наверное, тем			удобнее для вычислений и тем
лучший	по	точности результат		может	быть	получен,
чем более быстро будет убывать F ( c - \ - i T )					при	неограни
ченном	росте	\| т \|.

Как и в § 11.2, можно пытаться усилить скорость стремления к нулю F (р) (р->оо) при помощи разложе

ния F (р) на два слагаемых:		F(p) — F1(p) + F2(p), выбирая
их так, чтобы первое	из них Ft (р) стремилось к нулю
столь же быстро, как F (р),		и оригинал для него вычис
лялся точно, второе же слагаемое F2 (р) стремилось к нулю
быстрее F (р). Например, когда функция			F (р) представима
в форме	В		У (Р)
F( P) :		р-\-1
р + а +'	р + Ь		+ „1+8>

У(Р)->о (р-»-оо), е> О,

§ П .4 ]	ТАБЛИЦА ДЛЯ ОСОБОЙ ЧАСТИ ИЗОБРАЖЕНИЯ			209
МОЖНО ПОЛОЖИТЬ
	+	+	+ m

Оригинал для Ft (р) находится точно:

fг (х) = Ае~ ах+ Ве~Ъх + . . . + Ler1х.

Функция же F2(p) стремится к нулю быстрее F (р). Аналогично, когда изображение F (р) имеет вид

	;Г,(р + а ) ‘	(Р + а ) т
Y (Р)	0 (р->со), 0 < k 1< k 2< . . . < k m,
можно принять
	т
Fi (Р) = У ~ * Ч , .		(Р) = F ( p ) ~ F, (р);
	(Г ,0 Ч -а) ‘
оригинал для	Ft также вычисляется точно:
	т

Ш - 1 r f e * * '- '* - " - i—1

§11.4. Таблица изображений F (р)

исоответствующих оригиналов f (х)

для построения особой части изображения Ft (р)

	F(P)	fU)
	1	е~ах
	Р + а	е~ах
	Р + а	е-ах
	1	е-ах
	Ур + а	У их
	(р+а )~п ~ 1/2	2пхпе~ах
	(р+а )~п ~ 1/2	1 • 3 ... (2п— 1) У лх
		1 • 3 ... (2п— 1) У лх
	(Р+ a)~v,	х\~1е-ах
	Rev > 0	Г (v)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2321 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ