книги из ГПНТБ / Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга

§ 5.2]

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

105

где

с,” 2ш' 5

R(fT-~t-i)

dt

= J - C

2s~2e‘

P * [ j V

2т J { V \-t+ \)s-2V ^ - t tnvi

22«re!

Следовательно,

P (/!_ /_ !)

=

2s-*e2

( |/l - ^

+ l)s“2| / l - /

2гпп I

Введя новую

переменную

h — pt/4

и

положив 1/р —х,

последнюю формулу

можно записать в виде

J- ( V l — 4 <j c — l )

СО . . .

=

=

у

п\

(5.2.15)

i V \ - t t x + \У~г V 1—4Мх/jc

bd

/2 =

0

пени 2п — 1 от

1/р, необходимо показать,

что корни мно­

гочленов аф0

или корни многочленов

(х), отлича­

§ 5.2]

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

107

Из (5.2.7) видно, что

многочлен Р'п (лг) удовлетворяет

рекуррентному соотношению

РТ (х) = 2 (2л - 1) х Р

(х) +

Рп-ъ (х),

(5.2.17)

причем Р0— 1,

Р1(х) = 2х— 1.

Теперь

найдем

рекуррентное соотношение для много­

членов Р<£’ (х). Запишем многочлен Р'п (х) в виде

где

Рп (х) — А„ (х) -j- Вп (х) + Сп {x)-\-Dn (х),

Ап(х) =

апхп+ are_4x"-4+

a ^ 8xn~s+ . . . ,

Вп (х) =

a,,-!*"-1 +

ап-ъхп~ъ+

а„_9хи- 9+ . . . ,

(5.2.18)

Сп {х) = ап-2хп~2+

ап-ьхп~ь+

а„_wxn~10+ . . . ,

Dn (х) = а„_sxn-s+ ап-7хп~7+ а ^ х '1-11 +■■■ .

Тогда многочлен

Р^> и) (*) можно

записать следующим

образом:

р (к Ю { х ) = Я [4 „ (х) - Сп ( х ) ] + р [Вп ( х ) - Dn (* )] .

Рекуррентное соотношение (5.2.17) примет вид

А п ( х ) + Вп ( х ) + Сп ( х ) 4- Dn(х) =

= 2 (2л — 1) х

[ А п-1 ( х ) -j- Вп- 1 (х) -f- Cn-i ( х ) 4- Dn~i (х)] -j-

4“ Ап-%(х)+

Вп-2(х) + Сп- 2 (х) +

Dп—2 (X).

Отсюда

и

из

равенств (5.2.18)

и подобных равенств для

P'n-i (х)

и Рп’ -ъ (х)

получаем

Ап (х) =

2 (2л -

1) x4„_j (х) 4 - Сп- 2 (лг),

(х) = 2 ( 2 л - \)х Вп-х (х) 4- Dn-а (х),

С„ (х) =

2 (2л -

1) хСя_х (х) 4- 4 „_2 (х),

Dn(х) =

2 (2л - 1) xD„_x (х) 4 -Вя_2(х).

Умножим

первое

и третье равенства соответственно на Я

и — Я, а

второе и четвертое на

р и — р и сложим их:

Я [Л„ (х) -

С„ (х)] 4-р [Я„ (х) - Dn(х)] =

= 2 (2л -

1) хЯ [Ап-! (х) - Сп-! М ] + Я [С„_2 (х) - А„-г (х)] 4

108

ОБРАЩЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ [ГЛ. 5

Полученному

равенству придадим вид

Я [Ап(х) - Сп(а)] + р [Вп {х) - Dn(а)] =

=

2(2я — \)х{%[Ап-1 (х) - Сл_а(х)] + р

(х) -

(л:)]}—

-

{Я [Ля_2 (х) — Сл—^(а)] +

р [В„_2(л:) - ZV, (а)]}.

Последнее

равенство

есть

не что иное,

как

рекуррентное

соотношение для Р&>м (х), а именно:

P f. в) (х) =

2 (2п -

1) хР ^ >

(х) -

P*Lri (х),

(5.2.19)

где

Р? "|Х>М = 2Ях — р

Я ф. О,

Ptf- ^ W = Я,

при

В<°. и) (х) =

0,

Р<°'В)(х) =

— р

при

Я =

0.

Случай р = О,

Я =

0 тривиален, и его

из

рассмотрения

исключаем. Таким образом, получаем последовательность

многочленов

Р(К ю (д-);

p<Mj) (д-),

. . . ,

р(К я) (х)

при Я ф 0

(5.2.20)

или

^

(

*

) .

Р

^

Д

?

w

> 0,

5. 2( . •21)• • >

Р фп

причем во второй последовательности Р®>»*>(х) будет мно­

гочленом

степени

п — 1 .

Эта последовательность многочленов обладает следую­

щими свойствами:

§ 5.2]

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

109

видно,

что если Р^'_^ (х) = 0, то

/М. Р) (X) = — Рп'-У^ (X).

Таким образом, эта последовательность многочленов

образует обобщенный ряд Штурма. Из алгебры

известно,

этих многочленов при заданном значении

х, а через г —

число вещественных корней многочлена

^ (х), то будем

иметь г ^ и (— со) —и (со). А так как

последовательность

р(К р) (х)

содержит многочлены

всех

степеней с коэффи­

циентами

при старших членах одного

и того же знака, то

и (со) —0,

а

и(— со) = ц в

последовательности (5.2.20) и

и (— оо) =

п — 1 в последовательности (5.2.21). Следователь­

но, все корни многочлена

^ (х) не только вещественны

при любых

вещественных к и ц,

но,

кроме того, просты

и корни

(х) взаимно разделяются с корнями *) Р&. р ) (*).

Отсюда

на основании

теорем

а)

и б)

(см. стр. 106)

корней

многочлена

Р„’ (х) одного знака. Этот знак может

быть

только

плюсом,

так

как

коэффициент

при

х’1"1

в Рп'(х) отрицательный. Таким

образом, доказано, что

все

корни многочлена

Р ^ (х) при s = 2 лежат в правой

полуплоскости.

Перейдем теперь

к

параметру

s = 3. Из явного выра­

жения

(5.2.1)

для

многочленов Р& (х) видно,

что много­

член

Р’п (х) можно

получить

из

многочлена Р'п(х),

если

для

s =

2 многочлен РТ (х)

имеет вид (5.2.16), тогда для

s —3

многочлен Рп'(х) имеет следующий вид:

р п' М =

апх" + jjqpj- ап^х»-' +

2 я - 1

n-j-2

п + 1

+

я +

1 а11-гхп~2-f ...

я + 1 ахх

я -f-1

(5.2.22)

Для дальнейшего нам потребуется следующая

известная

из анализа теорема**).

*) См. Ф.

Г а н т м а х е р ,

Теория матриц, М., «Наука», 1967,

стр. 471.

П о л н а , Г.

С е г е , Задачи

и теоремы из анализа,

**) См. Г.

т. II,

М.,

Гостехиздат, 1956,

стр.

77.