книги из ГПНТБ / Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга

Для этого сравним коэффициенты при хк в выражениях (5.2.24) и (5.2.25) для многочлена Q(x). Коэффициент

при хк в выражении (5.2.24) равен ——^ j —Cn- Вычислим

коэффициент при хк в выражении (5.2.25):

Следовательно, многочлен Q(x) действительно имеет вид (5.2.25). Из (5.2.25) сразу видно, что все корни много­

ные вещественные части, совершенно аналогично можно доказать, что корни многочлена Рп‘(х) тоже имеют поло­ жительные вещественные части, и т. д.

’0

=n (n-\- s— 1) Pn—f (x). (5.2.26)

Известно, что если корни многочлена расположены в не­ которой полуплоскости, то все корни его производной

112 ОБРАЩЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ [ГЛ. 5

расположены в той же полуплоскости. На основании

мулой наивысшей степени точности для обращения пре­ образования Лапласа.

§ 5.3. Методы вычисления коэффициентов и узлов квадратурной формулы

В § 5.1 было указано, что коэффициенты Ak квадра­ турной формулы наивысшей степени точности для обра­ щения преобразования Лапласа имеют значения (5.1.6) или в другой записи

в —ico

где производная от многочлена Р„] берется по пере­

менной х = 11р.

Для вычисления этого интеграла воспользуемся ра­ венством, являющимся аналогом известного тождества Кристоффеля — Дарбу. Получим это равенство.

116 ОБРАЩЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ [ГЛ, 5

Отсюда

«о

Вп- 1

(—1 )" - 1 (п - 1)1 (2 re + s-2 ) (2ra + s— 4) ... (2 + 5 ) s _

(2 « + s —4)... (2 + s) s(re+ s —2) ( n + s —3 )... (1 -f-s,) s —

(—l)™-! (rt— 1)! (2n + s— 2)

(я -f s —2) (n-f-s—3)... (1 + s ) s

-( - l ) '1" 1 (я— 1)1 (2n+ s — 2) Г (s)

которой можно пользоваться для вычисления коэффициен­ тов квадратурной формулы.

Перейдем теперь к методу вычисления узлов квадра­ турной формулы рк. Обратные степени этих узлов —числа

xk — ~ , как было найдено выше, являются корнями много-

Pk

членов Рп](х). Поэтому для их вычисления можно на­

ходить коэффициенты многочленов Р ^ (х), а потом тем или иным методом находить их корни. Но этот способ связан с большими вычислительными трудностями: во-пер­ вых, для каждого значения параметра s нужно определять

коэффициенты многочленов Рп} (х) по рекуррентной фор­

муле, а во-вторых, вычисление корней многочлена Р® (х) по методу Ньютона связано с большой потерей точности, особенно при больших значениях п.

Чтобы избежать вычисления коэффициентов многочле­

нов Рп'1(х) и избавиться от большой потери точности при вычислениях, можно воспользоваться другим методом вы­ числения узлов квадратурной формулы. Для корней xk

многочленов Рп] (х) можно построить простую систему алгебраических уравнений, содержащую лишь xk и пара­ метр s. Для этого достаточно исходить из дифферен­ циального уравнения, которому удовлетворяют много­ члены P(ns) (х):

x2P f (х) + (sx - 1) P f {х) - п (п + s - 1) Р*>(х) = 0. (5.3.9)

В уравнении (5.3.9) положим х = хк, тогда в нем ис­ чезнет третий член левой части. Полученное уравнение

разделим на х1Р„{ (хк), что возможно, так как много­

член P f (х) не имеет нулевого корня и не имеет кратных корней. Действительно, из явного выражения (5.2.1)

отличная от нуля постоянная. Следовательно, P f (хк)Ф 0. Уравнение (5.3.9) после указанных преобразований

примет вид

p W (X )

118 ОБРАЩЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ [ГЛ, 5

Теперь уравнение (5.3.10) можно записать в виде

П

(5.3.11)

\фЬ

Заменим xk на — и сделаем несложные преобразования

вравенстве (5.3.11):

", Г1/—

}фк

У 2Р/ -ь S — = 0,

\фк

2 2 (1 +?йт)+8-л=0'

№

Записав равенство (5.3.12) для всех k (k= 1, 2, ... , п), получим систему уравнений для определения узлов квад­ ратурной формулы рк.