матанал / Chast_3

Лекции по математическому анализу для студентов ф-та КНиИТ. Направления - фундаментальная информатика и информационные технологии, математическое обеспечение и администрирование информационных систем, системный анализ и управление. Третья часть.

Л.В. Сахно

Содержание

1.2Вычисление тройного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3Замена переменных в тройном интеграле . . . . . . . . . . . 8

2.1Поверхности в пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2Двусторонние поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3Площадь поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4Поверхностный интеграл первого рода. . . . . . . . . . . . . 16

2.5Поверхностный интеграл второго рода. . . . . . . . . . . . . 18

2.6Формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.7Формула Остроградского - Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . 22

1

3.1Тригонометрический ряд и ряд Фурье. . . . . . . . . . . . . 24

3.2Интеграл Дирихле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3Теорема Римана-Лебега и принцип локализации Римана. . 30

3.4Признаки поточечной сходимости рядов Фурье. . . . . . . . 34

3.5Некоторые особенности рядов Фурье . . . . . . . . . . . . . 36

3.6Метод средних арифметических и теорема Фейера. . . . . . 39

3.7Теоремы Вейерштрасса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.8Сходимость ряда Фурье в среднем квадратичном. . . . . . 46

3.9Полнота тригонометрической системы. . . . . . . . . . . . . 53

4.4Топология комплексной плоскости . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.5Бесконечно удаленная точка. Сфера Римана. . . . . . . . . 61

5.1Последовательности и ряды комплексных чисел . . . . . . . 62

5.2Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.1Определение функции комплексного переменного . . . . . . 65

6.2Предел и непрерывность функций комплексного переменного 65

7.1Комплексная дифференцируемость . . . . . . . . . . . . . . 67

7.1.1R2-дифференцируемость. . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.1.2C-дифференцируемость. . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.2Условия Коши-Римана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.3Голоморфные функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7.4Геометрический смысл производной. Конформные отображения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7.5Голоморфность и конформность отображений расширенной комплексной плоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2

9.1Многозначная функция Arg z: . . . . . . . . . . . . . . . . 76

9.2Логарифмическая функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

9.3Обратные тригонометрические функции . . . . . . . . . . . 79

10.1Определение интеграла от функции комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

10.2Интегральная теорема Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

10.2.1Теорема Коши для треугольника. . . . . . . . . . . . 83

10.2.2Теорема Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

10.2.3Теорема Коши для составного контура. . . . . . . . . 87

10.3Интеграл и первообразная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

10.4Интегральная формула Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

11.4Теорема Морера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

11.5Эквивалентные определения голоморфной функции . . . . 101

11.6Разложение голоморфной функции в окрестности нуля. . . 101

11.7 Теорема единственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

11.8Теорема Вейерштрасса о рядах голоморфных функий. . . . 103

11.9Понятие об аналитическом продолжении . . . . . . . . . . . 105

3

14.1Вычет в конечной точке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

14.2Вычисление вычета в полюсе. . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

14.3Вычет в бесконечно удаленной точке. . . . . . . . . . . . . . 123

14.4Теорема о полной сумме вычетов. . . . . . . . . . . . . . . . 124

15 Основы геометрической теории функций комплексного пе-

15.1Принцип аргумента. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

15.2Принцип сохранения области и обращение голоморфных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

15.3Принцип максимума модуля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

15.4Теорема Римана и принцип соответствия границ . . . . . . 133

16.1Дробно-линейные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

16.2Степенная функция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

16.3Функция Жуковского. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

16.4 Показательная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

16.5Тригонометрические и гиперболические функции . . . . . . 145

16.6Однозначные ветви многозначных обратных функций . . . 145

4

1Тройные интегралы

1.1Определение тройного интеграла

Пусть множество Q R3 является замкнутой областью. Множество Q назовем кубируемым, если верхняя грань V множества объемов всех включенных в Q многогранников равна нижней грани V множества объемов всех многогранников, включающих в себя Q; причем число V = V = V называют объемом множества Q:

Будем также говорить, что некоторое множество в R3 является ìíî-

жеством объема нуль, если его можно заключить внутрь многогранника сколь угодно малого объема. Используя это понятие, можно сформулировать критерий кубируемости : для кубируемости ограниченной замкнутой области необходимо и достаточно, чтобы ее граница имела меру нуль.

Важным классом кубируемых замкнутых областей являются те, которые ограничены конечным числом гладких поверхностей. Множества точек, принадлежащих таким поверхностям, имеет меру нуль.

Отметим, что для объема пространственной замкнутой области (как и для площади плоской замкнутой области) справедливы свойства неотрицательности, монотонности, аддитивности и инвариантности.

Пусть в кубируемой замкнутой области Q определена функция f(x; y; z): Рассмотрим разбиение T = fQ1; : : : ; Qng замкнутой области Q на частич- ные области Qi; i = 1; : : : ; n; каждая из которых имеет объем Vi > 0 и диаметр di: Диаметром разбиения T назовем число

d(T ) = max di:

1 i n

В каждой частичной области Qi выберем произвольную точку ( i; i; i) и составим интегральную сумму

n

X

S(T ) = f( i; i; i) Vi:

i=1

Функцию f(x; y; z) называют интегрируемой в кубируемой замкнутой области Q; если для любого числа > 0 существует такое число =( ) > 0; что для любого разбиения T с диаметром d(T ) < и любого выбора точек ( i; i; i) 2 Qi для соответствующей интегральной суммы

5

выполняется неравенство jS(T ) Ij < : Число I называют тройным интегралом от функции f по замкнутой области Q и обозначают

ZZZ

I = f(x; y; z)dxdydz:

Q

Как и в случае функций одного и двух переменных, необходимым условием интегрируемости функции является ее ограниченность.

Для функции f при заданном разбиении T кубируемой замкнутой области Q введем нижнюю и верхнюю суммы Дарбу

ãäå mi è Mi - нижняя и верхняя грани соответственно функции f в области Qi; i = 1; : : : ; n:

Свойства сумм Дарбу, сформулированные для функций двух переменных, можно дословно перенести на случай трех переменных. Эти свойства приводят к следующему

öèè.

Для того чтобы ограниченная в кубируемой замкнутой области Q функция f была интегрируема в Q; необходимо и достаточ-

но, чтобы для любого > 0 нашлось такое разбиение T области Q;

÷òî ñîîòâåтствующие этому разбиению суммы Дарбу удовлетворяют условию jS(T ) S(T )j < :

С помощью этого критерия можно установить некоторые классы интегрируемых функций.

Всякая непрерывная в кубируемой замкнутой области Q функция f была интегрируема в ней.

Теорема 1.1.3. Если функция f ограничена в кубируемой замкнутой области Q и непрерывна в Q всюду, кроме, быть может, некоторого множества точек объема нуль, то эта функция интегрируема в Q:

Теорема 1.1.4. Если ограниченные в кубируемой замкнутой области Q функции f и g отличаются друг от друга только на множестве объема

6

нуль, то интегрируемость в Q одной из них равносильна интегрируемости другой, причем

ZZZ ZZZ

Не будем перечислять свойства тройных интегралов, поскольку они аналогичны свойствам двойных интегралов.

1.2Вычисление тройного интеграла

Как и в случае двойных интегралов, основной прием при вычислении тройных интегралов заключается в их сведении к повторному интегралу.

Рассмотрим замкнутую область Q; которая снизу и сверху ограниче- на поверхностями z = '(x; y) и z = (x; y); где '(x; y) (x; y): (x; y) 2

D; и боковой цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси Oz: Здесь D - замкнутая область, являющаяся проэкцией Q на плоскость xOy: Такую область Q назовем правильной в направлении оси Oz:

Теорема 1.2.1. Если существует тройной интеграл от функции f(x; y; z) по замкнутой области

ный интеграл

(x;y)

Z

f(x; y; z)dz;

'(x;y)

то существует повторный интеграл

7

Если область интегрирования Q не является правильной в направле-

нии ни одной из координатных осей, то эту область следует разбить на части, которые являлись бы правильными.

1.3Замена переменных в тройном интеграле

Вопрос о замене переменных в тройном интеграле решается аналогично двумерному случаю. Приведем формулировки, не сопровождая их доказательствами.

Пусть функции

отображают область R3 на область Q R3 и удовлетворяют усло- âèÿì:

1)отображение является взаимно однозначным;

2)функции непрерывно дифференцируемы и в каждой точке ( ; ; ) 2 якобиан отображения

Пусть задано отображение (1), удовлетворяющее указанным условиям. Если функция f(x; y; z) непрерывна в кубируемой замкнутой области Q Q или же ограничена в Q и непрерывна в Q всюду, кроме некоторого множества объема нуль, то

где - прообраз области Q при отображении (1).

8

Наиболее употребительными криволинейными координатами в пространстве являются цилиндрические координаты и сферические координаты.

Цилиндрические координаты. Цилиндрические координаты r; '; h

связаны с декартовыми координатами x; y; z соотношениями

которые можно рассматривать как отображение замкнутой области

= (r; '; h) 2 R3 : r 2 [0; +1); ' 2 [0; 2 ]; h 2 R

íà Q = R3: Якобиан отбражения (3) легко вычисляется:

Сферические координаты. Сферические координаты r; '; связаны с декартовыми координатами x; y; z соотношениями

которые можно рассматривать как отображение замкнутой области

= (r; '; ) 2 R3 : r 2 [0; +1); ' 2 [0; 2 ]; 2 [ 2 ; 2 ]

íà Q = R3:

Якобиан отбражения (4) равен

2Поверхностные интегралы

2.1Поверхности в пространстве.

Поверхность в пространстве R3 может быть задана различными спо-

собами. Пусть в пространстве фиксирована прямоóгольная система координат Oxyz с ортонормированным базисом i; j; k:

9

Поверхность может быть задана как график некоторой непрерывной

функции

z = f(x; y); (x; y) 2 D R2;

èëè

x = f(y; z); (y; z) 2 D R2;

èëè

y= f(x; z); (x; z) 2 D R2:

Âэтих случаях поверхность называют явно заданной поверхностью. Поверхность может быть задана уравнением

F (x; y; z) = 0;

которое не разрешено относительно какой-либо из переменных. Тогда ее называют неявно заданной поверхностью.

Пусть F (x0; y0; z0) = 0; функция F непрерывно дифферкнцируема и

grad F (x0; y0; z0) 6= 0:

Тогда по крайней мере одна из производных Fx0; Fy0; Fz0 в точке (x0; y0; z0) отлична от нуля. Если, например, Fz0(x0; y0; z0) 6= 0; то согласно теореме о

неявной функции уравнение F (x; y; z) = 0 в окрестности точки (x0; y0; z0) разрешимо относительно переменной z; т. е. эквивалентно уравнению z = f(x; y):

Наконец, более общий способ задания поверхности - параметрическое представление.

Пусть поверхность задана следующими равенствами:

8

>x = x(u; v);

<

y = y(u; v); (u; v) 2 D R2;

>

:z = z(u; v):

Если поверхность задана в явном виде, например, уравнением z = f(x; y); то ее параметрическое уравнение в данном случае имеет вид

8

>x = u;

<

y = v;

>

:z = f(u; v):

В дальнейшем будем рассматривать поверхности, заданные параметри- чески. Причем будут выполнятся следующие условия:

10