матанал / Chast_3

Доказательство. Обозначим

Согласно равенству (52)

Теорема будет доказана, если мы установим, что

lim n = 0:

n!1

Прежде всего отметим, что последовательность ( n) является невозрастающей.

Пусть > 0: Согласно теореме (3.8.1) можно найти непрерывную на

Согласно второй теореме Вейерштрасса существует тригонометриче- ский многочлен ( порядка m)

51

< 2(4 + 4) =

(мы воспользовались неравенством (a + b)2 2(a2 + b2)). Далее, в силу теоремы (3.8.2) имеем

Следовательно, m < и, поскольку последовательность ( n) является

невозрастающей, n < ïðè âñåõ n m; ò. å. lim n = 0:

n!1

Определение 3.9. Равенство

называют равенством Парсеваля , или условием замкнутости тригонометрической системы.

Следствие 1. Обобщенная формула замкнутости. Пусть функции f; g интегрируемы на отрезке [ ; ]; и a0; an; bn (n = 1; 2; : : :) - коэффициенты Фурье функции f; а p0; pn; qn (n = 1; 2; : : :)- коэффициенты Фурье функции g: Тогда справедливо равенство

Доказательство. Согласно доказанной теореме имеем

52

3.9Полнота тригонометрической системы.

Определение 3.10. Пусть функции f и g интегрируемы на отрезке

[ ; ]: Åñëè

Z

f2(x)dx = 0;

то будем говорить, что функция f эквивалентна нулю, и писать f(x) 0:

Будем говорить, что функция f эквивалентна функции g(x), и пи-

ñàòü f(x) g(x); åñëè f(x) g(x) 0:

Заметим, что в случае, когда f(x) непрерывна на [ ; ]; то из условия f(x) 0 вытекает, что f(x) = 0 при всех x 2 [ ; ]; и в случае, когда функция g(x) тоже непрерывна, то из условия f(x) g(x) вытекает, что f(x) = g(x) при всех x 2 [ ; ]; Для разрывных функций это

íå òàê.

Опираясь на данное определение и теорему (3.8.3), можно прийти к следующим выводам.

Теорема 3.9.1. Пусть функция f интегрируема на отрезке [ ; ]: Все коэффициенты Фурье функции f равны нулю тогда и только тогда, когда f(x) 0:

53

Теорема 3.9.2. Пусть функции f и g интегрируемы на отрезке [ ; ]:

Все коэффициенты Фурье у этих функций совпадают тогда и только тогда, когда f(x) g(x):

Теорема 3.9.3. (о полноте тригонометрической системы). Тригонометрическую систему

1=2; cos x; sin x; cos 2x; sin 2x; : : : ; cos nx; sin nx; : : :

нельзя дополнить никакой непрерывной и отличной от тождественного нуля функцией '(x); которая была бы ортогональна всем функциям

системы.

Теорема 3.9.4. Пусть функция f непрерывна на отрезке [ ; ];

f( ) = f( ): Если ряд Фурье функции f(x) равномерно сходится на [ ; ]; то его сумма S(x) = f(x) при всех x 2 [ ; ]:

Доказательство. Так как ряд Фурье функции f(x) равномерно сходится на [ ; ] к функции S(x); то этот тригонометрический ряд в силу теоремы (3.1.3) в то же время является рядом Фурье функции S(x);

т. е. функции f(x) и S(x) имеют один и тот же ряд Фурье. Следовательно f(x) S(x): Но поскольку f(x) и S(x) непрерывны на [ ; ]; то

S(x) = f(x) ïðè âñåõ x 2 [ ; ]:

Теорема 3.9.5. Если функция f(x) на отрезке [ ; ] имеет непрерывную производную f0(x) и f( ) = f( ); то f(x) на отрезке [ ; ] разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье.

Доказательство. Пусть an è bn - коэффициенты Фурье функции f(x); аи - коэффициенты Фурье функции f0(x): Тогда применяя формулу

интегрирования по частям будем иметь

54

Èòàê,

Непрерывная по условию производная f0(x) интегрируема на отрезке [ ; ]; следовательно для ней выполняется равенство Парсеваля, т. е.

сходится ряд

1

X

( n2 + n2):

n=1

Поскольку ряд

1

X 1

n2

n=1

сходится, то в силу признака мажорации ряд

1

X

(janj + jbnj)

n=1

сходится.

Так как для любого n 2 N и для всех x 2 [ ; ]

то в силу признака Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда заключаем, что ряд

1

a20 + X an cos nx + bn sin nx

n=1

сходится равномерно на отрезке [ ; ]: Тогда по теореме (3.9.4) функция f(x) на отрезке [ ; ] разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье.

55

4Комплексная плоскость

4.1Определение комплексных чисел

Рассмотрим множество R2 упорядоченных пар z = (x; y) действительных чисел x; y 2 R: Введем на этом множестве операции, превращающие его в поле, обозначаемое C и называемое полем комплексных чисел .

Комплексное число (0; 1) называют мнимой единицей и обозначают i = (0; 1): Согласно (59), имеем

i2 = (0; 1)(0; 1) = ( 1; 0); i(y; 0) = (0; 1)(y; 0) = (0; y):

Каждую упорядоченную пару (x; 0) отождествим с вещественным числом x: Тогда каждое комплексное число представим в виде

Равенство z = x + iy называют алгебраической или декартовой вормой записи комплексного числа. При этом x называют действительной ча- стью комплексного числа z и обозначают Re z; а y - мнимой частью и обозначают Im z:

Комплексное число z = 0 в том и только том случае, если

Re z = Im z = 0

Комплексному числу z = x+iy соответствует точка M(x; y) плоскости R2: Далее эту точку с координатами x и y будем обозначать так же, как и соответствующее ей комплексное число z = x + iy:

Нетрудно убедится в том, что операции сложения и умножения обладают свойствами коммутативности и ассоциативности, а умножение обладает свойством дистрибутивности относительно сложения.

56

Используя алгебраическую форму записи перепишем равенства (58) и (59) в следующем виде

z1 + z2 = (x1 + iy1) + (x2 + y2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2);

z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + y2) = (x1x2 y1y2) + i(x1y2 + x2y1):

Числа z = x + iy и z = x iy называют комплексно сопряженными. Отметим, что

z + z = 2x = 2Rez; zz = x2 + y2; z z = 2iy = 2iImz:

Для сложения и умножения существуют обратные операции: вычи- тания и деления (кроме деления на нуль) соответственно, которые в декартовой форме записываются следующим образом

4.2Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Воспользуемся полярными координатами точки z. Полярный радиус r равен длине радиус-вектор точки z; а полярный угол ' равен углу между положительным направлением оси Ox и радиус-вектором точки z: Поскольку

x = r cos '; y = r sin ';

òî

Эта форма записи комплексного числа называется тригонометрической. Полярный радиус r и полярный угол ' называют соответственно мо-

дулем и аргументом комплексного числа и обозначают jzj и Argz: Отме-

тим, что модуль комплексного числа определен однозначно, а аргумент - с точностью до слагаемого, кратного 2 : Нетрудно увидеть, что

jzj = r = px2 + y2; tg(Argz) = tg ' = xy ïðè x 6= 0:

57

Главное значение аргумента комплексного числа, обозначаемое argz; есть значение аргумента, удовлетворяющее условию

< argz :

Тогда

Argz = argz + 2 k; k 2 Z:

Используя тригонометрическую функцию arctg x; можно записать

>

>

>

>

>

:

Очевидно, что два комплексных числа, записанных в тригонометри- ческой форме, равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на слагаемое, кратное 2 :

Пусть z1 = r1(cos '1 + i sin '1) è z2 = r2(cos '2 + i sin '2): Используя тригонометрические формулы, легко доказать равенства

Применяя метод математической индукции, можно доказать формулу Муавра

Число w называют корнем степени n из числа z и обозначается сим- p

волом n z; åñëè wn = z: Обозначим w = (cos + i sin ): Тогда wn = n(cos n + i sin n ) = z = r(cos ' + i sin '):

58

Отсюда

n = r; n = ' + 2 k;

и, следовательно,

этом радиус-вектор одной из вершин образует с осью Ox угол argz=n:

4.3Показательная форма записи комплексного числа

Следуя Эйлеру, обозначим

которые называют формулами Эйлера.

Равенства (64),(65) и (66) можно переписать в показательной форме

4.4Топология комплексной плоскости

На комплексной плоскости будем использовать известную евклидову метрику, в которой под расстоянием между точками z1 = x1 + y1 è z2 = x2 + y2 понимают

p

d(z1; z2) = jz2 z1j = (x2 x1)2 + (y2 y1)2:

59

Эта метрика определяет естественную топологию на C; в которой база окрестностей произвольной точки z0 2 C задается кругами с центром в z0 :

U (z0) = z 2 C : jz z0j < ; > 0:

Приведем некоторые понятия, которые потребуются далее.

Путь и кривая на комплексной плоскости.

Определение 4.1. Непрерывное отображение отрезка [a; b] действи- тельной оси в R2 называют путем. Будем его записывать в комплекс-

íîì âèäå z = (t); ãäå (t) = 1(t) + i 2(t): Точки A = (a) и B = (b)

будем называть соответственно началом и концом пути.

Определение 4.2. Пусть : [a1; b1] ! C è : [a2; b2] ! C два пути. Назовем их эквивалентными, если найдется непрерывное возрастающее отображение отрезка [a1; b1] на отрезок [a2; b2] такое, что

(t) = ( (t))ïðè âñåõ t 2 [a1; b1]:

Класс эквивалентных путей называют кривой.

Определение 4.3. Путь называют простым или жордановым, еслиосуществляет взаимно однозначное отображение отрезка [a; b] на его образ ([a; b]):

Путь называют замкнутым жордановым путем, если (a) = (b) и осуществляет взаимно однозначное отображение полуинтервала [a; b) на его образ ([a; b)):

Рассматривая путь : [a; b] ! C как отображение в евклидову плоскость, определим понятие гладкого и кусочно гладкого пути.

Определение 4.4. Путь называют непрерывно дифференцируемым, если функция непрерывно дифференцируема, т. е. непрерывно дифференцируемы функции 1 è 2:

Путь называют гладким, если он непрерывно дифференцируем и при всех t 2 [a; b] 0(t) = 10 (t) + i 20 (t) 6= 0:

Путь называют кусочно гладким, если отрезок [a; b] можно раз-

бить точками

a = t0 < t1 < : : : < tn = b

на конечное число отрезков [ti 1; ti] так, что сужение на каждый из них является гладким путем.

60