матанал / Chast_3

11.5Эквивалентные определения голоморфной функции

Теорема 11.5.1. Следующие условия попарно эквивалентны:

(1)функция f голоморфна в точке z0; т. е. C-дифференцируема в некоторой окрестности U точки z0;

(2)функция f аналитична в точке z0; т. е. разлагается в степенной ряд по степеням z z0 в некоторой окрестности U точки z0;

(3)функция непрерывна в некоторой окрестности U точки z0 è èíòå- грал от f по границе любого замкнутого треугольника, лежащего в U; равен нулю.

Доказательство. (1) ) (2) : теорема Тейлора (11.3.1).

(2) ) (3) : теорема о голоморфности суммы степенного ряда (11.2.3).

(1) ) (3) : интегральная теорема Коши.

(3) ) (1) : теорема Морера.

Замечание. Термин функция голоморфная в точке ( области) употребляется наравне с термином функция аналитическая в точке (области).

11.6Разложение голоморфной функции в окрестности нуля.

Теорема 11.6.1. Пусть функция f голоморфна в точке a 2 C; f(a) = 0; но f не равна тождественно нулю ни в какой окрестности точки a: Тогда в некоторой окрестности U точки a функция f представляется в виде

Доказательство. Функция f в окрестности KR точки a разлагается в степенной ряд

11

XX

101

поскольку c0 = f(a) = 0: Все коэффициенты ck не могут равнятся нулю (иначе, функция f будет тождественным нулем в окрестности точки a).

Пусть

n = minfk 1 : ck 6= 0g:

Тогда

f(z) = cn(z a)n + cn+1(z a)n+1 + : : : :

Рассмотрим ряд

g(z) = cn + cn+1(z a) + : : : ;

сходящийся в том же круге KR: Поскольку функция g непрерывна в KR è g(a) = cn 6= 0; то найдется окрестность U KR точки a; в которой g(z) 6= 0:

Осталось отметить, что f(z) = (z a)ng(z):

Определение 11.3. Натуральное число

n = minfk 1 : ck 6= 0g = minfk 1 : f(k)(a) 6= 0g

из теоремы (11.6.1) называется порядком нуля голоморфной функции f в точке a:

Следствие (изолированность нулей голоморфной функции). Если функция f голоморфна в области D и обращается в нуль в точке a 2 D;

то либо f тождественно равна нулю в окрестности a; либо существует окрестность U точки a такая, что f(z) 6= 0 для всех z 2 U n fag:

11.7Теорема единственности

Теорема 11.7.1. (единственности). Пусть функции f1; f2 голоморфны в области D; множество E D имеет, по крайней мере, одну предельную точку a 2 D и

Доказательство. Рассмотрим функцию f = f1 f2: Тогда f(z) = 0 при всех z 2 E:

102

X

f(z) = cn(z a)n:

n=0

Поскольку точка a является предельной точкой нулей функции f; то в силу следствия теоремы (11.6.1) функция f тождественно равна нулю в

некоторой окрестности точки a: Согласно формулам для коэффициентов

1

степенного ряда f(z) = P cn(z a)n âñå cn = 0; n = 0; 1; 2; : : : : Поэтому

n=0

функция f тождественно равна нулю в круге K 0 :

Докажем теперь, что f(b) = 0 в произвольной точке b 2 D: Соединим точки a и b кусочно гладкой кривой D: Пусть число является расстоянием между и : Очевидно, что 0 < 0: Разобьем кривуюна дуги точками a = z0; z1; z2; : : : ; zn 1; zn = b òàê, ÷òî jzi zi 1j <

K1 точка z1 принадлежит кругу K0 и, следовательно, является предельной точкой нулей функции f: По доказанному в первой части теоремы функция f тождественно равна нулю в круге K1: Далее по индукции функция f тождественно равна нулю и в круге Kn; а значит, и в точке b:

11.8Теорема Вейерштрасса о рядах голоморфных функий.

Определение 11.4. Говорят, что функциональный ряд

1

X

fn

n=1

сходится равномерно внутри области D; если он скодится равномерно на любом компакте K D:

Теорема 11.8.1. (Вейерштрасса). Пусть ряд

1

X

fn

n=1

103

сходится равномерно внутри области D и все его члены fn; n 2 N; являются функциями голоморфными в D: Тогда его сумма f(z) голоморфна в D и при каждом k = 0; 1; 2; : : : имеет место разложение

1

Доказательство. Рассмотрим произвольный круг U = fjz z0j < g, замыкание которого U D: Из равномерной сходимости ряда для f ясно,

что функция f непрерывна в U и для всякого замкнутого треугольника T D справедливо равенство

Z1 Z

Согласно теореме Морера функция f голоморфна в круге U; а в силу произвольности U голоморфна в D:

Далее, если z 2 U; то

причем ряд при фиксированном z сходится равномерно на окружности fj zj = g и его можно почленно интегрировать, то

1

Докажем теперь, что ряд P fn(k)(z) сходится равномерно на

n=1

U = fjz z0j g: Рассмотрим круг K = fjz z0j 0g; ãäå 0 > è

104

K D: Для каждой точки z 2 U имеем

11.9Понятие об аналитическом продолжении

Определение 11.5. Пусть выполнены следующие условия:

1)функция f(z) определена на множестве E C;

2)функция F (z) аналитическая в области D C;

3)F (z) = f(z) ïðè z 2 E:

Тогда функцию F (z) называют аналитическим продолжением функции f(z) (с множества E в область D).

105

Следствием теоремы единственности является следующее утверждение.

Теорема 11.9.1. Если множество E имеет предельную точку, принадлежащую области D; то аналитическое продолжение F (z) функции f(z) с множества E в область D единственно.

Пример. Степенной ряд

1

X

zn

n=0

сходится в единичном круге fjzj < 1g и его сумма f(z) = 1=(1 z): Функция F (z) = 1=(1 z) является аналитической на всей комплексной плоскости за исключением точки z = 1: Согласно определению (11.8.1) и теореме (11.5), функция F (z) является аналитическим продолжением функции f(z) из круга fjzj < 1g на область Cnf1g; причем единственным

продолжением.

Примером аналитического продолжения функций ex; cos x; sin x; определенных на множестве E = R; являются функции ez; cos z; sin z; аналитические на все плоскости C: Эти продолжения были получены заменой действительного переменного x в степенных разложениях этих функций комплексным переменным z:

12 Ряды Лорана

12.1Ряды Лорана.

Определение 12.1. Рядом Лорана называется ряд вида

+1

X

n=1

106

Ряд (127) является обычным степенным рядом. Тогда число

Если r < R; то ряд (126) сходится в кольце fr < jz z0j < Rg: Отметим так называемые вырожденные варианты кольца:

1)при r > 0; R = +1 кольцом сходимости является внешность окружности fjz z0j = rg;

2)при r = 0; R = +1 кольцом сходимости является вся комплексная плоскость, за исключением точки z0;

2)при r = 0; 0 < R < +1 кольцом сходимости является проколотый круг f0 < jz z0j < Rg:

Из равномерной сходимости степенного ряда внутри круга сходимости вытекает равномерная сходимость ряда Лорана внутри кольца. Так как каждый член ряда (126) в кольце сходимости является голоморфной функцией, то по теореме Вейерштрасса (11.8.1) сумма ряда Лорана

âкольце сходимости также является голоморфной, причем ряд Лорана

âэтом кольце можно почленно дифференцировать любое число раз и почленно интегрировать по любой кусочно-гладкой кривой, лежащей в кольце сходимости.

107

Теорема 12.1.1. (о разложении голоморфной функции в ряд Лорана). Пусть функция f(z) голоморфна в кольце V = fr < jz z0j < Rg; где 0 r < R +1: Тогда в этом кольце справедливо разложение

где - окружность fj z0j = g; r < < R; и не зависят от :

Доказательство. Независимость коэффициентов cn от вытекает из теоремы Коши для составного контура.

Возьмем произвольную точку z 2 V и выберем r1 è R1 такие, что

r < r1 < jz z0j < R1 < R: Обозначим 1 = fj z0j = R1g; 2 = fj z0j = R1g и построим окружность L = fj zj = r0g; которая лежит

в кольце fr1 < j z0j < R1g: По теореме Коши для составного контура имеем равенство

Åñëè 2 1; òî jz z0j < j z0j; и, следовательно, jz z0j=j z0j < 1: Поэтому, согласно (122),

108

Далее так же, как в доказательстве теоремы (11.3.1), имеем

+1

X

=cn(z z0)n;

n=0

ãäå

Тогда, опираясь на равномерную сходимость ряда на 2; получим

109

ãäå

Осталось заметить, что в формулах для вычисления коэффициентов контуры интегрирования можно заменить на любую окружность = fj z0j = g; r < < R:

Следствие.Если функция f голоморфна в круге KR(z0) = fjz z0j < Rg; то ее ряд Лорана с центром в точке z0 совпадает с ее рядом Телора с центром в точке z0:

Доказательство. Действительно, при n = 1; 2; : : : функция

f( )( z0) n 1 является голоморфной в круге KR(z0); и по теореме Коши интеграл от нее по замкнутому контуру равен нулю, т. е. cn = 0; n =

1; 2; : : :

Теорема 12.1.2. (неравенства Коши для коэффициентов Лорана). Пусть функция

голоморфна в кольце fr < jz z0j < Rg: Тогда для всех n 2 Z и всех2 (r; R) справедливы неравенства

Доказательство. Доказательство повторяет доказательство неравенств Коши для коеффициентов Тейлора.

Определение 12.2. Пусть

+1

X

cn(z z0)n

n=0

110